參數(shù)方程圓錐曲線的參數(shù)方程學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1參數(shù)方程參數(shù)方程(fngchng)圓錐曲線的參數(shù)方圓錐曲線的參數(shù)方程程(fngchng)第一頁，共59頁。橢圓橢圓(tuyun)(tuyun)的參數(shù)方程的參數(shù)方程第1頁/共59頁第二頁，共59頁。為參數(shù)）為參數(shù)） (sincosryrx為參數(shù)）為參數(shù)） (sincosrbyrax復(fù)習(xí)(fx)圓的參數(shù)(cnsh)方程1.圓心在原點,半徑(bnjng)為r的圓的參數(shù)方程:2.圓心為(a, b),半徑為r的圓的參數(shù)方程:12222byax3.橢圓的標準方程：它的參數(shù)方程是什么樣的？它的參數(shù)方程是什么樣的？第2頁/共59頁第三頁，共59頁。如圖,以原點為圓心(yunxn),分別以a, b(ab

2、0)為半徑作兩個圓,點B是大圓半徑(bnjng)OA與小圓的交點,過點A作ANOx,垂足(chu z)為N,過點B作BMAN,垂足為M,)(sincos為參數(shù)為參數(shù)的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 byaxM0,2 )第3頁/共59頁第四頁，共59頁。OAMxyNB橢圓的標準(biozhn)方程:1bya2222 x橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何(j h)意義:)(sinbycosa為參數(shù)為參數(shù) xxyO圓的標準(biozhn)方程:圓的參數(shù)方程: x2+y2=r2)(sinycos為參數(shù)為參數(shù) rrx的幾何意義是AOP=PA橢圓的參數(shù)方程:是AOX=, 不是MOX=.第4頁/共59頁第五頁，共59頁。1

3、2222 byax sincosbyax2 , 012222 aybx sincosaybx第5頁/共59頁第六頁，共59頁。練習(xí)練習(xí) 把下列普通把下列普通(ptng)方程化為參數(shù)方程方程化為參數(shù)方程. 22149xy(1)22116yx (2)3 cos5 sinxy(3)8 cos10 sinxy(4)把下列參數(shù)把下列參數(shù)(cnsh)方程化為普通方程方程化為普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx第6頁/共59頁第七頁，共59頁。)(sin2cos3為參數(shù)為參數(shù) yx9322331tan 6 sin2cos3yx)1,233

4、( 第7頁/共59頁第八頁，共59頁。xyOM(3cos ,2sin)3cosy2sinx5min d14922 yx第8頁/共59頁第九頁，共59頁。14922 yx第9頁/共59頁第十頁，共59頁。yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX22110064xy 例2、已知橢圓 有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。第10頁/共59頁第十一頁，共59頁。雙曲線的參數(shù)雙曲線的參數(shù)(cnsh)方程方程第11頁/共59頁第十二頁，共59頁。 )0, 0( 12222 babyax第12頁/共59頁第十三頁，共59頁。,1上上在在圓圓因因為為點點CA ,sin,cos baA的坐標為的坐標

5、為 ,sin,cos baOA 所所以以 sin,cosaaxAA , AAOA 因因為為從從而而所所以以, 0 AAOA . 0sincoscos2 aaxa記記解解得得.cos ax .sec,seccos1 ax 則則,的終邊上的終邊上在角在角因為點因為點 B.tan,tan byby 即即由由三三角角函函數(shù)數(shù)定定義義有有的軌跡的參數(shù)方程為的軌跡的參數(shù)方程為點點所以所以M, 1cossincos1222 因為因為, 1tansec22 即即,的的軌軌跡跡的的普普通通方方程程為為后后得得到到點點從從消消去去參參數(shù)數(shù)所所以以M ,這是中心在原點這是中心在原點.軸軸上上的的雙雙曲曲線線焦焦點點

6、在在x .23,2,2 , 0 且且的的范范圍圍為為通通常常規(guī)規(guī)定定參參數(shù)數(shù) 由圓的參數(shù)方程得點由圓的參數(shù)方程得點.tan,sec byax 為為參參數(shù)數(shù) 第13頁/共59頁第十四頁，共59頁。baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y設(shè)| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosasec ,asec()tanxaMyb所以的軌跡方程是為參數(shù)所以的軌跡方程是為參數(shù)2a22222 2xyxy消去參數(shù)后，得-=1,消去參數(shù)后，得-=1,b b這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線。第14頁/共59頁第十五頁，共59頁。1.

7、已知參數(shù)方程11xttytt(t 是參數(shù)是參數(shù)(cnsh), t 0)化為普通化為普通(ptng)方程方程, 畫出方程的曲線畫出方程的曲線.2.參數(shù)方程sectanxayb(,)22是 參 數(shù)表示什么曲線表示什么曲線?畫出圖形畫出圖形.練習(xí)(linx):的兩個焦點坐標。的兩個焦點坐標。、求雙曲線、求雙曲線 tan34sec323 yx( 2 15,0)13yx 3sec2()_tanxy、雙曲線為參數(shù) 的漸近線方程為4第15頁/共59頁第十六頁，共59頁。 ?,.,0,122222以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論由此可由此可的面積的面積探求平行四邊形探求平行四邊形兩點兩點近線交于近線交于分別與兩漸

8、分別與兩漸行線行線作雙曲線兩漸近線的平作雙曲線兩漸近線的平過點過點為原點為原點上任意一點上任意一點為雙曲線為雙曲線，設(shè)，設(shè)如圖如圖例例MAOBBAMObabyaxM AMBOxy第16頁/共59頁第十七頁，共59頁。AMBOxy. xaby 雙曲線的漸近線方程為雙曲線的漸近線方程為解解 ,tan,sec ba )sec(tan axabby 代代入入把把xaby )tan(sec2 axA )tan(sec2 axBB點點橫橫坐坐標標同同理理 aAOx 設(shè)設(shè)ab tan 2sin|OBOASMAOB 平行四邊形平行四邊形 2sincoscos BAxx 2sincos4tansec2222 a

9、.22tan222ababaa 第17頁/共59頁第十八頁，共59頁。sec()tanxayb為參數(shù)2222-1(0,0)xyabab的參數(shù)方程為：30,2 )22通常規(guī)定且，。22221xyab22sec1tan 第18頁/共59頁第十九頁，共59頁。222222minmin(sec ,tan )sec(tan2)tan1tan4tan42(tan1)35tan1,34431QOQOQPQ 解：設(shè)雙曲線上點的坐標為先求圓心到雙曲線上點的最小距離當即或時22221:(2)11OxyPxyQPQ例 、已知圓上一點與雙曲線上一點，求 、兩點距離的最小值例例3第19頁/共59頁第二十頁，共59頁。)

10、,tan,sec( aaB)tan,sec( aaA 則則222ayx ,sectan,sectan22aaakaaakBAAA 122 BAAAkk第20頁/共59頁第二十一頁，共59頁。)0, 0( 12222 babyax)0 ,(0 xabax220| )tan,sec( ba)tan,sec( ba)tan(tan2 b)sec(sec2( a )sec(sec2)tan(tan)sec(sec)tan(tan2 axbaby)0(,0 xP)sec(sec2220 abaxabax220| 2|secsec| 第21頁/共59頁第二十二頁，共59頁。第22頁/共59頁第二十三頁，共

11、59頁。)10000(215001002gttgtytx 為參數(shù)，且為參數(shù)，且pxy22 第23頁/共59頁第二十四頁，共59頁。)2,2( tan xypxy22 tan2tan22pypx第24頁/共59頁第二十五頁，共59頁。 tan1 t), 0()0 ,( t ptyptx222 tan2tan22pypx),( t ptyptx222第25頁/共59頁第二十六頁，共59頁。2121212121212121,1,)(,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx 、，、所在直線的斜率是所在直線的斜率是則弦則弦所對應(yīng)的參數(shù)分別是所對應(yīng)的參數(shù)分別是，上異于原點的不同兩點上

12、異于原點的不同兩點為參數(shù)為參數(shù)、若曲線、若曲線212221212122221ttptptptptkMM 的軌跡方程。的軌跡方程。的中點，求點的中點，求點為線段為線段點點，上的動點，給定點上的動點，給定點為拋物線為拋物線、設(shè)、設(shè)PMMPMxyM002)0 , 1(22 C練習(xí)練習(xí)(linx)，和和別是別是兩點對應(yīng)的參數(shù)方程分兩點對應(yīng)的參數(shù)方程分解：由于解：由于2121,ttMM的坐標分別為的坐標分別為和和則可得點則可得點21MM，)2 ,2(),2 ,2(22221211ptptMptptM第26頁/共59頁第二十七頁，共59頁。)0(22 ppxy1, 0)2()2(21212221 tttt

13、ptpt所以所以即即),(,yxBAM的坐標分別為的坐標分別為解：設(shè)點解：設(shè)點)0,)(2 ,2(),2 ,2(2121222121 ttttptptptpt且且)2 ,2(),2 ,2(),(222121ptptOBptptOAyxOM 則則)(2),(2(122122ttpttpAB , 0, OBOAOBOA所以所以因為因為三點共線，三點共線，且且BMAyptxptMB,)2 ,2(222 , 0, OBOMABOM所所以以由由0)(2)(2122122 ttpyttpx, 0)(21 yttx)0(21 xxytt即即),2,2(121ptyptxAM 第27頁/共59頁第二十八頁，共

14、59頁。的軌跡方程的軌跡方程這就是點這就是點即即Mxpxyx)0(0222 )2)(2()2)(2(122221ptyxptyptptx 02)(2121 xtpttty化簡，得化簡，得02)( xpxyy.42pAOB的面積最小，最小值為的面積最小，最小值為 12)2()2(21121221 ttpptptOA12)2()2(22222222 ttpptptOB)1()1(22221212 ttttpSAOB2222212 ttp4)(22212 ttp24p 軸對稱時，軸對稱時，關(guān)于關(guān)于，即當點，即當點當且僅當當且僅當xBAtt,21 第28頁/共59頁第二十九頁，共59頁。）點）點）為半

15、徑的圓（除去（為半徑的圓（除去（為圓心，為圓心，）的軌跡方程是以（的軌跡方程是以（另一個交點另一個交點的兩根，的兩根，為方程為方程即即為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為以以為直徑的圓的方程為為直徑的圓的方程為則以則以（）設(shè)）設(shè)（法（法0 , 00 ,)0(0212)(022,022022)2 ,2(),2 ,22222221222212222212122222121ppQxpxyxpxyxttyxpytpxtttyptxptyxOByptxptyxOAptptBptptA 第29頁/共59頁第三十頁，共59頁。 練習(xí)練習(xí) 已知橢圓已知橢圓C1: 及拋物及拋物線線C2: y2=6(x-3/2)

16、；若；若C1C2，求，求m的取值范圍。的取值范圍。)(sin3cos2為參數(shù)為參數(shù) ymx代入得代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以所以(suy) t2+4t+2m-1=0 在在-1, 1內(nèi)有解；內(nèi)有解；第30頁/共59頁第三十一頁，共59頁。平平分分線線段段所所以以拋拋物物線線的的頂頂點點的的中中點點為為原原點點因因為為DEODE),0 , 0(),2 ,2)(2 ,2(,222121ptptptptBA的坐標分別為的坐標分別為證明：設(shè)點證明：設(shè)點)2,2(222ptptC 的坐標為的坐標為則點則點)2(1221211ptxttptyAB 的方程為的方程為直線直線)0 ,2(21t

17、ptD 的坐標為的坐標為所以點所以點)2(1221211ptxttptyAC 的方程為的方程為直線直線)0 ,2(21tptE的坐標為的坐標為所以所以練習(xí)練習(xí)(linx)第31頁/共59頁第三十二頁，共59頁。 4 經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線y2=2px(p0)的頂點的頂點O任作兩條互相任作兩條互相垂直的線段垂直的線段OA和和OB，以直線，以直線OA的斜率的斜率(xil)k為參數(shù)，為參數(shù)，求線段求線段AB的中點的中點M的參數(shù)方程。的參數(shù)方程。解：直線解：直線OA的方程為的方程為y=kx，直線，直線OB的方程為的方程為xky1- 由y2=2px和y=kx，得A點坐標為點坐標為)2,2(2kpkp同理同

18、理B點坐標點坐標(zubio)(2pk2,-2pk)(22為為參參數(shù)數(shù)kpkkpypkkpx 則則的坐標為的坐標為設(shè)點設(shè)點),(yxM,2222222pkkppkkpx pkkppkkpy 222的軌跡的參數(shù)方程是的軌跡的參數(shù)方程是的中點的中點所以，線段所以，線段MAB第32頁/共59頁第三十三頁，共59頁。12222 byax第33頁/共59頁第三十四頁，共59頁。1 kxy), 0(sincos5為為參參數(shù)數(shù) mmyx)5 , 1()5,0( ,55 , 1 ,1A B C D)1 ,0(1 m1 m第34頁/共59頁第三十五頁，共59頁。第35頁/共59頁第三十六頁，共59頁。直線的參數(shù)

19、直線的參數(shù)(cnsh)方方程程第36頁/共59頁第三十七頁，共59頁。請同學(xué)請同學(xué)(tng xu)們們回憶回憶:我們學(xué)過的直線的普通我們學(xué)過的直線的普通(ptng)方程都有哪些方程都有哪些?兩點式兩點式:112121yyxxyyxx 點斜式點斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般一般(ybn)式式:0()AxByCA B， 不不同同時時為為零零2121yyxx tan 第37頁/共59頁第三十八頁，共59頁。000()Mxy 已已知知一一條條直直線線過過點點， ，傾傾斜斜角角 ，求求這這條條直直線線的的方方程程. .00tan()yyxx 解解：直直線線的的普普通通方方程程為為00s

20、in()cosyyxx 把把它它變變成成00sincosyyxx 進進一一步步整整理理，得得：00.sincosyyxxtt令令該該比比例例式式的的比比值值為為 ，即即00cos()sinxxttyyt 整整理理，得得到到是是參參數(shù)數(shù)第38頁/共59頁第三十九頁，共59頁。M0(x0，y0)M(x,y)e (cossin )，00000()()()M Mx yxyxxyy，解：在直線解：在直線(zhxin)上任取一點上任取一點M(x，y)，則，則(cossin)ele 設(shè)設(shè)是是直直線線 的的單單位位方方向向向向量量，則則，00/M MetRM Mte因因為為，所所以以存存在在實實數(shù)數(shù)，使使，即

21、即00()(cossin)xxyyt，00cossinxxtyyt所所以以，00cossinxxtyyt即即，00cossinxxttyyt 所所以以，該該直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程( (為為為為參參數(shù)數(shù)) )xOy第39頁/共59頁第四十頁，共59頁。0M Mtelt 由由，你你能能得得到到直直線線 的的參參數(shù)數(shù)方方程程中中參參數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義嗎嗎？| t | = | M0M |M0Me00| |M MteM Mte解解：，|1ee又又因因為為 是是單單位位向向量量，0| | |.M Mtet所以所以(suy)，直線參數(shù)方程中參，直線參數(shù)方程中參數(shù)數(shù)t的絕對值等于直線上動點的絕對值

22、等于直線上動點M到定點到定點M0的距離的距離.這就是 t 的幾何意義(yy)，要牢記xOy第40頁/共59頁第四十一頁，共59頁。21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直線線與與拋拋物物線線交交于于， 兩兩點點，求求線線段段的的長長度度和和點點， 到到 ，兩兩點點的的距距離離之之積積. .分析分析(fnx):3.點點M是否是否(sh fu)在直在直線上線上1.用普通方程去解還用普通方程去解還是是(hi shi)用參數(shù)方用參數(shù)方程去解；程去解；2.分別如何解分別如何解.ABM(-1，2)xyO第41頁/共59頁第四十二頁，共59頁。解：因為把點解：因為把點M的坐標的

23、坐標(zubio)代入直線方程后，符合直線方程，代入直線方程后，符合直線方程，所以點所以點M在直線上在直線上.31cos4()32sin4xttyt 為為參參數(shù)數(shù)34 易易知知直直線線的的傾傾斜斜角角為為，所所以以直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程可可以以寫寫成成：21.:10( 1 2)lxyyxA BABMA B 例例已已知知直直線線與與拋拋物物線線交交于于， 兩兩點點，求求線線段段的的長長度度和和點點， 到到 ，兩兩點點的的距距離離之之積積. .M(-1，2)ABxOy第42頁/共59頁第四十三頁，共59頁。212()222xttyt 即即為為參參數(shù)數(shù)22220.yxtt 把把它它代代入入拋拋

24、物物線線方方程程，得得1221021022tt解解得得，t由由參參數(shù)數(shù) 的的幾幾何何意意義義得得12|10ABtt，121 2| | | |2.MAMBttt tM(-1，2)ABxOy第43頁/共59頁第四十四頁，共59頁。12121212()0.(1)(2)f x yMMttM MM MMt 直直線線與與曲曲線線，交交于于，兩兩點點，對對應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)分分別別為為 ，曲曲線線的的弦弦的的長長是是多多少少？線線段段的的中中點點對對應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù) 的的值值是是多多少少？121212(1)| |(2).2M Mttttt ；第44頁/共59頁第四十五頁，共59頁。001212121212co

25、s1.(sin().|.|.|.|xxttyytattABA BAttBttCttDtt 直直線線為為參參數(shù)數(shù)）上上有有參參數(shù)數(shù)分分別別為為 和和 對對應(yīng)應(yīng)的的兩兩點點 和和 ，則則 ， 兩兩點點的的距距離離為為B第45頁/共59頁第四十六頁，共59頁。 1212121212cos2()sin()|.2222xattybtB CttBCMttttttttABCD . .在在參參數(shù)數(shù)方方程程為為參參數(shù)數(shù) 所所表表示示的的曲曲線線上上有有 ， 兩兩點點，它它們們對對應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)值值分分別別為為 、 ，則則線線段段的的中中點點對對應(yīng)應(yīng)的的參參數(shù)數(shù)值值是是B1123.()3522 30(15)_.

26、xttytxy 一一條條直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程是是為為參參數(shù)數(shù) ，另另一一條條直直線線的的方方程程是是，則則兩兩直直線線的的交交點點與與點點 ，間間的的距距離離是是4 3第46頁/共59頁第四十七頁，共59頁。12444022043120lxylxylxy. .求求直直線線 ：與與 ：及及直直線線 ：所所得得兩兩交交點點間間的的距距離離. .9 17145. 動點動點M作勻速直線運動，它在作勻速直線運動，它在x軸和軸和y軸方向的軸方向的分速度分別是分速度分別是3cm/s和和4cm/s，直角坐標系的長度，直角坐標系的長度單位是單位是1cm，點，點M的起始的起始(q sh)位置在點位置在點M

27、0(2，1)處，求點處，求點M的軌跡的參數(shù)方程的軌跡的參數(shù)方程.32()41xttyt 為為參參數(shù)數(shù)325()415xttyt 為為參參數(shù)數(shù)第47頁/共59頁第四十八頁，共59頁。 sin2036()()cos20. 20. 70.110.160 xttytABCD . .直直線線為為參參數(shù)數(shù) 的的傾傾斜斜角角是是el 我我們們知知道道， 是是直直線線 的的單單位位方方向向向向量量，那那么么它它的的方方向向應(yīng)應(yīng)該該是是向向上上還還是是向向下下的的？還還是是有有時時向向上上有有時時向向下下呢呢？0tM M我我們們是是否否可可以以根根據(jù)據(jù) 的的值值來來確確定定向向量量思思考考的的方方向向呢呢？第4

28、8頁/共59頁第四十九頁，共59頁。0sin0sin0eeee 由由于于 是是直直線線的的傾傾斜斜角角，因因此此，當當時時，又又因因為為表表示示 的的縱縱坐坐標標，所所以以的的縱縱坐坐標標都都大大于于 ，那那么么 的的終終點點就就會會都都在在第第一一，二二象象限限，所所以以 的的方方向向就就總總會會向向上上. .000000.tM MtM MtMM 此此時時，若若，則則的的方方向向向向上上；若若，則則的的方方向向向向下下；若若，則則點點與與重重合合第49頁/共59頁第五十頁，共59頁。例例: 動點動點M作等速直線運動，它在作等速直線運動，它在 x 軸和軸和 y 軸方軸方向分速度分別為向分速度分

29、別為 9，12，運動開始時，點，運動開始時，點 M 位于位于(wiy)A(1，1)，求點，求點 M 的軌跡的參數(shù)方程的軌跡的參數(shù)方程. 19()112xttyt為為參參數(shù)數(shù)請思考: 此時的t有沒有明確的幾何(j h)意義?沒有第50頁/共59頁第五十一頁，共59頁。直線的參數(shù)方程可以直線的參數(shù)方程可以(ky)寫成這樣的形式寫成這樣的形式:220221| |cossin.1abttM Mababt 當當時時， 有有明明確確的的幾幾何何意意義義，它它表表示示， 此此時時我我們們可可以以認認為為，為為傾傾斜斜角角. .當當時時， 沒沒有有明明確確的的幾幾何何意意義義. . 那那么么， 如如何何轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化

30、化，可可以以使使參參數(shù)數(shù)具具有有幾幾何何意意義義呢呢？00()xxattyybt 為為參參數(shù)數(shù)第51頁/共59頁第五十二頁，共59頁。 cos42cos7.()sin2sin()()53.664425.3366xtxtytyABCD直直線線為為參參數(shù)數(shù) 與與圓圓為為參參數(shù)數(shù) 相相切切，則則直直線線傾傾斜斜角角 為為或或或或或或或或 2248.()410 xattxyxybt 若若直直線線為為參參數(shù)數(shù) 與與曲曲線線相相切切，則則這這條條直直線線的的傾傾斜斜角角等等于于_._.233或或第52頁/共59頁第五十三頁，共59頁。222(2 1)1164yxMlA BMABl例例經(jīng)經(jīng)過過點點， 作作直

31、直線線 ，交交橢橢圓圓于于 ， 兩兩點點. . 如如果果點點恰恰好好為為線線段段的的中中點點，求求直直線線 的的方方程程. .22121222cos(2 1)1sin()(3sin1)4(cos2sin)80|4(cos2sin).3sin1xtMlytttttMAtMBtMtt 解解：設(shè)設(shè)過過點點， 的的直直線線 的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為為為參參數(shù)數(shù) 代代入入橢橢圓圓方方程程得得由由 的的幾幾何何意意義義知知，因因為為點點在在橢橢圓圓內(nèi)內(nèi)，這這個個方方程程必必有有兩兩個個實實根根，所所以以第53頁/共59頁第五十四頁，共59頁。1202cos2sin01tan211(2)240.2ttMABlklyxxy 因因為為點點為為線線段段的的中中點點，所所以以，即即，于于是是直直線線 的的斜斜率率為為，因因此此直直線線 的的方方程程為為，即即第54頁/共59頁第五十五頁，共59頁。例例3 當前臺風中心當前臺風中心P在某海濱城市在某海濱城市O向東向東300km處處生成，并以生成，并以40km/h的速度向西偏北的速度向西偏北45度方向移動度方向移動. 已知距臺風中心已知距臺風中心250km以內(nèi)的地方以內(nèi)的