魯棒控制系統(tǒng)設(shè)計

1、.魯棒控制設(shè)計報告學院專業(yè)報告人.目錄1 緒論31.1 控制系統(tǒng)設(shè)計背景31.2 本文主要工作分配42 一級倒立擺模型建立52.1 一級倒立擺的工作原理52.2 一級倒立擺的數(shù)學模型53 H魯棒控制器設(shè)計83.1 基于 Riccati 方程的 H控制93.2 基于 LMI 的 H控制104 一級倒立擺系統(tǒng)的仿真124.1 一級倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計124.2 閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真及分析135 結(jié)論16.1 緒論1.1 控制系統(tǒng)設(shè)計背景一級倒立擺系統(tǒng)是一個典型非線性多變量不穩(wěn)定系統(tǒng)，在研究火箭箭身的姿態(tài)穩(wěn)定控制、機器人多自由度運動穩(wěn)定設(shè)計、直升機飛行控制等多種領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，因此以倒立擺作為被控

2、對象進行控制方法的研究具有重要的現(xiàn)實意義。為解決一級倒立擺系統(tǒng)的非線性、強耦合、多變量、自然不穩(wěn)定問題，本文利用 H魯棒控制實現(xiàn)對一級倒立擺的控制。yxLmgxF導(dǎo)軌Mg圖 1.1 一級倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖本文采用的直線一級倒立擺的基本系統(tǒng)如圖 1.1 所示，它是由沿直線導(dǎo)軌運動的小車以及一端固定于小車上的材質(zhì)均勻的擺桿組成，它是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，當?shù)沽[出出現(xiàn)偏角后，如果不給小車施加控制力，倒立擺會傾倒。所以本文采用 H魯棒控制方法的目的是通過調(diào)節(jié)水平力F 的大小控制小車的運動，使倒立擺處于豎立的垂直位置。控制指標為： 倒立擺系統(tǒng)的從初始狀態(tài)調(diào)節(jié)到小車停留在零點、并使擺桿的擺角為0 的穩(wěn)定狀態(tài)。

3、.1.2 本文主要工作分配第一章：對一級倒立擺系統(tǒng)的特點、結(jié)構(gòu)以及控制要求進行闡述。第二章：根據(jù)一級倒立擺的結(jié)構(gòu)， 利用機理建模法建立被控對象的精確數(shù)學模型，并在系統(tǒng)平衡點處進行線性化，得到系統(tǒng)簡化的狀態(tài)方程。第三章：首先 H魯棒控制的基本原理，然后分別利用Riccati 方程和 LMI方法設(shè)計 H狀態(tài)反饋控制器。第四章：首先使用 MATLAB 計算基于 Riccati 方程的 H狀態(tài)反饋控制器和基于 LMI 的 H狀態(tài)反饋控制器，然后進行閉環(huán)控制系統(tǒng)的仿真并控制系統(tǒng)的性能分析。第五章：對本次設(shè)計進行總結(jié)。.2 一級倒立擺模型建立2.1 一級倒立擺的工作原理如圖 1.1 所示，倒立擺裝置主要由

4、擺桿、小車以及導(dǎo)軌組成。導(dǎo)軌的一端裝有用來測量小車位移的電位計，擺桿與小車的連接處安裝測量擺角的裝置，小車可以沿著有界軌道直線移動， 同時擺桿可以在垂直平面內(nèi)自由運動。直流電動機通過傳送帶拖動小車運動， 從而使倒立擺穩(wěn)定在豎立的垂直位置。為簡化系統(tǒng)分析，在實際模型建立過程中， 忽略空氣流動的阻力以及各種摩擦力，這樣可以將倒立擺抽象為由小車和均勻材質(zhì)的剛性擺桿組成的系統(tǒng)。小車質(zhì)量為 M，擺桿質(zhì)量為 m，小車位置 x，作用在小車上力大小為F，擺桿的長度為 L2l ，均勻材質(zhì)的擺桿質(zhì)心是擺桿的中心。2.2 一級倒立擺的數(shù)學模型被控對象的數(shù)學模型是過程中的輸入量和輸出量之間的函數(shù)關(guān)系，常用的有機理建模

5、法和實驗建模兩種方法。本文采用的是機理建模的方法，根據(jù)過程的內(nèi)在機理，利用相關(guān)的平衡方程，獲得所需要的數(shù)學模型。對擺桿進行受力分析， 轉(zhuǎn)動慣量與加速度的乘積等于剛體主動力對該軸力矩的代數(shù)和，則擺桿繞其重心的轉(zhuǎn)動方程為：J & Fyl sinFxl cos(2.1)擺桿在水平方向上受到的合力為：Fxm d 2( xl sin)(2.2)dt 2擺桿在垂直方向上受到的合力為：Fymgm d 2( xl sin )(2.3)dt 2小車在水平方向上受到合力：.F FyM d 2 x(2.4)dt 2將等式 (2.2)(2.3)分別帶入等式 (2.1)和 (2.4)中：J ml2&&a

6、mp;&&mgl sin(2.5)mlx cosFMm x&&ml&& cos&2sin(2.6)整理得到系統(tǒng)精確模型為：Jml2FmlJml222l2g sincos&& sinmxJml2Mmm2l 2 cos2(2.7)Mm mlgsinmlF cosm2l 2 &2 sin&cosJml 2Mmm2 l 2 cos2式中，轉(zhuǎn)動慣量 Jml 2。3由等式 (2.7)得知，一級直線倒立擺系統(tǒng)的動力學模型為非線性微分方程，因此選擇工作點00 、 x00 對系統(tǒng)進行線性化，即可近似認為&0 、sin

7、、cos1，得到進一步的簡化模型：&&Mm m glml2 FJ Mm mMl2J M m mMlm2 gl 2Jml 2(2.8)&&22 FxJ M mmMlJ M m mMl以擺桿與豎直向上方向的偏角，小車的位移 x 、擺桿擺角變化 &和小車的速度 x&作為四個狀態(tài)變量， 考慮控制輸入干擾，將(2.8)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程的形式：&AxB1B2u(2.9)x001000式中， u F ， xx， A000100&k100， B1， B2，其中 b 1 、0b 1k 3x&k2000b2k4b2為不大于 1 的正數(shù)， k1M

8、m m g l， k2m2 gl2，J Mm mMl 2J M mmMl 2.mlJml 2k32， k4。J M m mMlJ Mm mMl 2.3 H魯棒控制器設(shè)計對于圖 3.1 所示的系統(tǒng)， u 為控制輸入， y 為被控量， z 為被控對象輸出，為控制輸入干擾，由輸入 u ， 到輸出 y ， z 的傳遞函數(shù)陣 G(s) 稱為增廣被控對象，控制器為 K (s) 。zG(s)uyK(s)圖 3.1 H 控制框圖傳遞函數(shù)陣 G(s) 的狀態(tài)空間表達式如下：&Ax B1B2uxzC1 x D11D12u(3.1)yC2 xD21D21u其中 x Rn ，Rr ， uR p ， zRm，

9、yRq 分別是系統(tǒng)的狀態(tài)、控制輸入擾動、控制輸入、系統(tǒng)輸出和被控量。H 魯棒控制器設(shè)計問題可以描述為， 設(shè)計一個控制器 u Ky ，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足：a) 閉環(huán)內(nèi)部穩(wěn)定，即閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的所有特征值均應(yīng)在左半開復(fù)平面中。b) 從控制輸入干擾到輸出 z 的閉環(huán)傳遞函數(shù) T z( s)的 H范數(shù)小于，即1T z (s)1。針對本次設(shè)計的一級倒立擺控制系統(tǒng)：&AxB1B2uxzCxD11D12u(3.2)yx.取 D11 0 ，本控制系統(tǒng)的設(shè)計要求為：(1) x 0 是閉環(huán)系統(tǒng)的局部漸進穩(wěn)定平衡點，對于任何初始狀態(tài)的x(0) ，都有 x(t) 0 。(2) 對于任意擾動L2 0，閉環(huán)系統(tǒng)又抑

10、制擾動能力。 即 T z (s)1。3.1 基于 Riccati 方程的 H控制設(shè)增廣被控對象 G( s) 的狀態(tài)空間表達式為：&AxB1B2 uxzCxD12u(3.3)yxAB1B2即 G( s) COD12 ，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器：IOOu Kx K R p m(3.4)定理 1：對于給定的0 ，存在狀態(tài)反饋陣 K 使閉環(huán)系統(tǒng) (3.3)和(3.4)內(nèi)部穩(wěn)定且T z( )成立的充分必要條件是存在正定陣X 0滿足Riccati不等式：sATX XA2 XB1B1T X CTC ( XB2 CD12 )( D12TD12 ) 1( B2T X D12TC) 0若上述不等式成立且有正定解

11、X 0，則使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且( )成立的控T z s制器為：K(D12T D12 ) 1(B2T X D12TC)(3.5)推論 1：設(shè)增廣被控對象 (3.3)滿足正交條件， H 標準設(shè)計問題有基于狀態(tài)反饋陣 (3.4)的充分必要條件 Riccati 等式：ATX XAX B1 B1TB2 B2TXCTC0(3.6)有正定解 X 0 。若上式有正定解，則 H標準設(shè)計問題的解為：K(D12T D12 ) 1(B2T XD12TC)(3.7)若上述不等式成立且有正定解X0，則使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且( )成立T z s的控制器為：KB2T X(3.8).3.2 基于 LMI 的 H控制線性矩陣不等式（ LM

12、I ）的一般形式為 F ( x) F0x1 F1 LxmFm 0 ，其中Fi FiTRn n ,i 1,2,L , m 是一組給定的實對稱陣； x x1 , x2 ,L , xm T 是待求變量。Schur 補性質(zhì)： 對于給定的矩陣 SRnn 并分塊表示為SS11S12S21S22其中，S11Rr r ，S12 Rr (n r ) ，S21R(nr ) r ，S22R( n r )( n r ) ，則 S0 等價于 S11 0且 S22 S12TS111S12 0 ，或等價于 S220且 S11S12 S221S12T0 。上述性質(zhì)可以用于將非線性不等式問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式問題?？紤]系統(tǒng)&

13、amp;AxBx(3.9)zCxD其中 x Rn ，Rr ， zRm ，分別是系統(tǒng)的狀態(tài)、輸入和輸出。定理 2：對于給定的常數(shù)0 ，則系統(tǒng) (3.9)是漸進穩(wěn)定的且從輸入到輸出z的傳遞函數(shù) T z (s)滿足T()當且僅當存在一個正定陣P0 滿足：zsAT PPAPBC TBT PI qD T0(3.10)CDI m對于本設(shè)計的控制系統(tǒng)(3.3)設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器(3.4)，使得閉環(huán)系統(tǒng)x&( A B2 K )xB1(3.11)z (C D12 K ) x是漸近穩(wěn)定的且從輸入擾動到輸出 z 的傳遞函數(shù) T z( s) 滿足：T z (s)(C D12 K ) Is( AB2K )

14、1B1(3.12)定理 3：系統(tǒng) (3.3)存在一個狀態(tài)反饋 H控制器使得閉環(huán)系統(tǒng) (3.11)是漸近穩(wěn)定的且滿足性能指標(3.12)當且僅當存在一個對稱正定陣PPT0 和矩陣P2使11得下面不等式成立 ：APP ATB PPTB T2BBT(CPD P)T1122221111220(3.13)CP1D12P2I如果 (3.13)有解，則 K P P1是系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H控制器。2 1.4 一級倒立擺系統(tǒng)的仿真4.1 一級倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計本文選取的一級倒立擺系統(tǒng)中，小車的質(zhì)量M1kg ，擺的質(zhì)量 m0.1kg ，擺的長度 l0.5m ，重力加速度 g9.8m / s2 ，考慮本文設(shè)計的控制系統(tǒng)

15、為：k2B1x&AxB1B2 uzCxD12u(4.1)yx00100式中， xx，A0001， B20，其中 k1Mm mg l&k1000k 3JM，m mMl 2&k2000k4xm2 gl 2， k3ml， k4Jml 2。令J MmmMl 2J MmmMl 2J MmmMl 20100000100000010 ， D0， C。0.5000100.500001方法 1：基于 Riccati 方程的 H控制器設(shè)計。使用 MATLAB求解，需要將 (3.6)轉(zhuǎn)化為下列等式：I0TAT XXA XB1B1T XCTC0(4.2)B2I0B2取 BB1B2， R10Xc

16、are( , ,TC, )，解得0，使用A BCR1158.051315.078628.051631.7054X15.07863.35992.71404.369728.05162.71405.06965.698331.70544.36975.69838.9394，由 (3.8)得，狀態(tài)反饋控制器.K 51.1701 3.6803 9.27857.9564 。方法 2：基于 LMI 的 H控制器設(shè)計。使用 MATLAB 中的 LMI 工具箱求解，由公式(3.13)解得0.12530.0042-0.6266-0.02660.00420.56500.0156-0.3558P10.01563.6427

17、-0.1747-0.6266-0.0266-0.3558-0.17470.5286P2 0.45830.0057-0.1069-0.8101由11得，狀態(tài)反饋控制器K36.30321.8751 6.3830 3.6678。K P2P4.2 閉環(huán)控制系統(tǒng)仿真及分析o&o/ s ， x(0)0&0 ，其中擺桿的角度初始條件取 (0) 30 ， (0)0.2， x(0)及角速度應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榛《戎?。并在t 15s時加入控制擾動1仿真結(jié)果 1：基于 Riccati 方程的 H控制。0.20.200)damr(-0.2置 -0.2度位角-0.4-0.4-0.651015202530-0.651

18、01520253000時 間 (s)時 間 (s)30.5)20s)/dsa/rm(1(-0.5度度速速角0-1-151015202530-1.55101520253000時 間 (s)時 間 (s)圖 4.1 基于 Riccati 方程的 H控制系統(tǒng)響應(yīng)曲線.50-5-10入輸制控-15-20-25-30510152025300時 間 (s)圖 4.2 基于 Riccati 方程的 H控制系統(tǒng)控制輸入由圖 4.1 可以看出，基于 Riccati 方程的 H控制設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器， 給小車施加控制， 使倒立擺系統(tǒng)的從初始狀態(tài)調(diào)節(jié)到小車停留在零點、并使擺桿的擺角為 0 的穩(wěn)定狀態(tài)。在 15s 時加入擾動，系統(tǒng)能快速調(diào)整到穩(wěn)定狀態(tài)。仿真結(jié)果 2：基于 LMI 的 H控制。0.20.200)d-0.2amr(-0.2度置位-0.4角-0.4-0.6-0.651015202530-0.8510