高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題教案：第6講分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用

1、第6講分類(lèi)討論思想在解題中的應(yīng)用一、知識(shí)整合1.分類(lèi)討論是解決問(wèn)題的一種邏輯方法，也是一種數(shù)學(xué)思想，這種思想對(duì)于簡(jiǎn)化研究對(duì)象，發(fā)展人的思維有著重要幫助，因此，有關(guān)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)命題在高考試題中占有重要位置。2所謂分類(lèi)討論，就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，然后對(duì)每一類(lèi)分別研究得出每一類(lèi)的結(jié)論，最后綜合各類(lèi)結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。實(shí)質(zhì)上，分類(lèi)討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略3分類(lèi)原則：分類(lèi)對(duì)象確定，標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重復(fù)，不遺漏，分層次，不越級(jí)討論。4. 分類(lèi)方法：明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行分類(lèi)；逐類(lèi)進(jìn)行討論，獲取階段性

2、成果；歸納小結(jié)，綜合出結(jié)論。5. 含參數(shù)問(wèn)題的分類(lèi)討論是常見(jiàn)題型。6. 注意簡(jiǎn)化或避免分類(lèi)討論。二、例題分析例1.一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（5,2），且在x軸，y軸上截距相等，則這直線(xiàn)方程為（）A.xy70B.2x5y0C.xy70或2x5y0D.xy70或2y5x0分析：設(shè)該直線(xiàn)在x軸，y軸上的截距均為a,2當(dāng)a=0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)方程為y-x,即2x5y0；5當(dāng)a0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為-1,則求得a7，方程為xy70。aa例2.1ABC中，已知sinA-，cosB，求cosC213分析:由于C(AB)cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB因此，只要根據(jù)已知條件，求出cosA,sin

3、B即可得cosC的值。但是由sinA求cosA時(shí)，是一解還是兩解這一點(diǎn)需經(jīng)過(guò)討論才能確定，故解本題時(shí)要分類(lèi)討論。對(duì)角A進(jìn)行分類(lèi)。解52120cosB，且B為ABC的一個(gè)內(nèi)角45B90，且sinB13213若A為銳角，由sinA丄，得A30，此時(shí)cosA3221若A為鈍角，由sinA,得A150，此時(shí)AB1802這與三角形的內(nèi)角和為180相矛盾?？梢?jiàn)A150cosCcos（AB）cos（AB）351121253cosAcosBsinAsinB21321326例3已知圓x2+y2=4，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,4），且與圓相切的直線(xiàn)方程。分析：容易想到設(shè)出直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程y-4=k（x-2）再利用直線(xiàn)與圓相

4、切的充要條件：“圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑”，待定斜率k,從而得到所求直線(xiàn)方程，但要注意到：過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)中，有斜率不存在的情形，這種情形的直線(xiàn)是否也滿(mǎn)足題意呢因此本題對(duì)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)分兩種情形：（1）斜率存在時(shí)，（2）斜率不存在解（略）：所求直線(xiàn)方程為3x-4y+10=0或x=2例4.解關(guān)于x的不等式：loga（1丄）1分析：解對(duì)數(shù)不等式時(shí)，需要利用x對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為不含對(duì)數(shù)符號(hào)的不等式。而對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值不同而不同，故需對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論。解:若a1，則原不等式等價(jià)于11a1x0x1a10若0a1，則原不等式等價(jià)于x1x11a1xa綜上所述，當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解

5、集為xx0;當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為x1x応例5.解不等式54xx2x分析：解無(wú)理不等式，需要將兩邊平方后去根號(hào)，以化為有理不等式，而根才不改變不等號(hào)方向，因據(jù)不等式的性質(zhì)可知，只有在不等式兩邊同時(shí)為正時(shí),此應(yīng)根據(jù)運(yùn)算需求分類(lèi)討論，對(duì)x分類(lèi)解：原不等式等價(jià)于4x4x2x2xx0或2x4xx20x1.142或、142原不等式的解集為x例6.解關(guān)于x的不等式：ax2但1)x10分析：這是一個(gè)含參數(shù)a的不等式，一定是二次不等式嗎不一定，故首先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a分類(lèi)：(1)a0(2)a=0,對(duì)于(2)，不等式易解；對(duì)于(1)，又需再次分類(lèi)：a0或a0，令Tn蠱，求nlimTn。分析：對(duì)于等比數(shù)列的前n

6、項(xiàng)和&的計(jì)算，需根據(jù)q是否為形：1分為兩種情當(dāng)q=1時(shí)，Snna1;當(dāng)q1時(shí),Sna(qn)另外，由于當(dāng)|q|1時(shí)，nlimq故還需對(duì)q再次分類(lèi)討論。0,而已知條件中q解:當(dāng)q1時(shí)，Snna1，Sn1(n1)a1nlimlim一nn1時(shí)，Sna,1qn)，Sn1n1、a,1q)q1時(shí),nlim1時(shí)，limnTnlimnq1nqq綜上所述，知nlimTn1，(0丄，(qq1)1)例8.設(shè)kR,問(wèn)方程(8k)x2(k4)y2(8k)(k4)表示什么曲線(xiàn)?分析：容易想到把方程變形為1,但這種變形需要k4，且要進(jìn)行分類(lèi):k(，4），k4，k(4，8)，k8，k（8，），又注意到k48k0與k48k(k

7、40且8k0）表示的曲線(xiàn)是不一樣的，因此還應(yīng)有一個(gè)“分界點(diǎn)”，即k6，故恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)為（，4），4，（4，6），6,（6，8），8，（8,)k8,而且k4與8k的正負(fù)會(huì)引起曲線(xiàn)類(lèi)型的不同，因此對(duì)k（)解：（1）當(dāng)k=4時(shí)，方程變?yōu)?x2=0，即x=0,表示直線(xiàn);（2）當(dāng)k=8時(shí)，方程變?yōu)?y2=0，即y=0，表示直線(xiàn)；(3) 當(dāng)k4且k8時(shí)，原方程變?yōu)榻?c；C33c：c3ofC33C43C3c4c|21C3C3309或:C33c；c3c；c：C3c3c；33C3C4309（i）當(dāng)k4時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)；（ii）當(dāng)4k6時(shí)，方程表示橢圓；（iii）當(dāng)k=6時(shí)，方程表示圓；（iv）當(dāng)6k8時(shí)，方程

8、表示雙曲線(xiàn)。例9.某車(chē)間有10名工人，其中4人僅會(huì)車(chē)工，3人僅會(huì)鉗工，另外三人車(chē)工鉗工都會(huì)，現(xiàn)需選出6人完成一件工作，需要車(chē)工，鉗工各3人，問(wèn)有多少種選派方案分析：如果先考慮鉗工，因有6人會(huì)鉗工，故有Q3種選法，但此時(shí)不清楚選出的鉗工中有幾個(gè)是車(chē)鉗工都會(huì)的，因此也不清楚余下的七人中有多少人會(huì)車(chē)工，因此在選車(chē)工時(shí)，就無(wú)法確定是從7人中選，還是從六人、五人或四人中選。同樣，如果先考慮車(chē)工也會(huì)遇到同樣的問(wèn)題。因此需對(duì)全能工人進(jìn)行分類(lèi)：（1）選出的6人中不含全能工人；（2）選出的6人中含有一名全能工人；（3）選出的6人中含2名全能工人；（4）選出的6人中含有3名全能工人。213213213222C4C

9、3C3C3C3C4C3C4C3C3C4P3三、總結(jié)提煉分類(lèi)討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是一種數(shù)學(xué)解題策略，對(duì)于何時(shí)需要分類(lèi)討論，則要視具體問(wèn)題而定，并無(wú)死的規(guī)定。但可以在解題時(shí)不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。如果對(duì)于某個(gè)研究對(duì)象，若不對(duì)其分類(lèi)就不能說(shuō)清楚，則應(yīng)分類(lèi)討論，另外,數(shù)學(xué)中的一些結(jié)論，公式、方法對(duì)于一般情形是正確的，但對(duì)某些特殊情形或說(shuō)較為隱蔽的“個(gè)別”情況未必成立。這也是造成分類(lèi)討論的原因，因此在解題時(shí),應(yīng)注意挖掘這些個(gè)別情形進(jìn)行分類(lèi)討論。常見(jiàn)的“個(gè)別”情形略舉以下幾例：（1）“方程ax2bxc0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“b24ac0”時(shí)忽略了了個(gè)別情形：當(dāng)a=0時(shí)，方程有解不能轉(zhuǎn)化為0;（2）等比數(shù)列a

10、Qn1的前n項(xiàng)和公式Sn珮1a。中有個(gè)別情形：q1時(shí)，1q公式不再成立，而是S=nai。（3）設(shè)直線(xiàn)方程時(shí)，一般可設(shè)直線(xiàn)的斜率為k,但有個(gè)別情形：當(dāng)直線(xiàn)與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)無(wú)斜率，應(yīng)另行考慮。（4）若直線(xiàn)在兩軸上的截距相等，常常設(shè)直線(xiàn)方程為-丄1,但有個(gè)別情形:aaa=0時(shí)，再不能如此設(shè)，應(yīng)另行考慮。四、強(qiáng)化練習(xí)：見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)0【模擬試題】一.選擇題:1.若a0,且a1,ploga(a3a1),qloga(a2a1），則p、q的大小關(guān)系為（)A.pqB.pqC.pqD.a1時(shí),pq;0a1時(shí)，pq2.若Ax|x2(p2)x10,xR，且AR，則實(shí)數(shù)中的取值范圍是（)A.p2B.p2C.p2D.p4

11、3.設(shè)A=x|xa0,Bx|ax10，且ABB,則實(shí)數(shù)a的值為()A.1B.1C.1或1D.1,1或04.設(shè)是的次方根,則236的值為()A.1B.0C.7D.0或75.一條直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（5,2）,且在x軸，y軸上截距相等，則這直線(xiàn)方程為（）A. xy70B. 2x5y0C.xy70或2x5y0D.xy70或2y5x06.若sinxcosx1，貝ynsinxcosnx(nN）的值為()A.1B.1C.1或1D.不能確定7.已知圓錐的母線(xiàn)為1,軸截面頂角為，則過(guò)此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（）112A.lsin2C.l2sinB.丄|22D.以上均不對(duì)8.函數(shù)f(x)mx2(m3)x1的圖象與x

12、軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A.0，B.1C.0，1D.(0，1).填空題9. 若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為4和2的矩形，則圓柱的體積是210. 若loga1，貝Ua的取值范圍為。311. 與圓X2（y2）21相切，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程為12. 在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任抽取5件，至少有件次品的抽法共有中（用數(shù)字作答）13. 不等式vlogaX22logaX1（a0且a1）的解集為。三解答題：14. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，集點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，焦距為2-一3，另一雙曲線(xiàn)與此橢圓有公共焦點(diǎn)，且其實(shí)軸比橢圓的長(zhǎng)軸小8,兩曲線(xiàn)的離心率之比為3:7,求此橢圓、雙

13、曲線(xiàn)的方程。15. 設(shè)a0且a1，試求使方程loga(xak)loga2(x2a2)有解的k的取值范圍理想的書(shū)籍是智慧的鑰匙.爾斯泰【試題答案】二選擇題1.C2.D3.D4.D5.C6.A7.D8.B提示：1.欲比較p、q的大小，只需先比較a3a1與a2a1的大小，再(a3a1)(a2a1)a2(a1)0的勺a值:a=1，當(dāng)a1時(shí)，a3a12a1還是0aq。2.若A，即(p2)240，4p0時(shí)，AR；0若A，則p2np0時(shí),AR20可見(jiàn)當(dāng)4p0或p0時(shí)，都有AR，故選(D)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。而決定a3a1與a2a1的大小的a值的分界點(diǎn)為使3.若B，則ABB，此時(shí)a0若B，則a0,B，由AB

14、B知BAA,1-a0，解得a1或1,故a0,1或1a4. 由是1的7次方根，可得71;顯然，1是1的7次方根，故可能若1,則10,1，則故選（D）5. 設(shè)該直線(xiàn)在x軸，y軸上的截距均為a,2當(dāng)a=0時(shí)，直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)方程為y-x,即2x5y0；5當(dāng)a0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為$1,則求得a7，方程為xy70aa6.由sinxcosx當(dāng)sinx0時(shí),1，得(sinxcosx)21,即卩sinxcosx0cosx1;當(dāng)cosx0時(shí)，sinx1,于是總有sinnxcosnx1，故選（A）7. 當(dāng)90時(shí)，最大截面就是軸截面，其面積為-l2sin；2當(dāng)90時(shí)，最大截面是兩母線(xiàn)夾角為90的截面，其面積為-l

15、2211可見(jiàn)，最大截面積為-12或-I2Sin，故選（D）2218. 當(dāng)m0時(shí)，f（x）3x1,其圖象與x軸交點(diǎn)為（-，0）滿(mǎn)足題意3當(dāng)m0時(shí)，再分m0,m0兩種情形，由題意得m0或1X1X20mm00m32m綜上可知，m0或m0或0m1,m1故選（B）.填空題228（提示：若長(zhǎng)為4的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖，則V柱一）22;若長(zhǎng)為2的邊作為圓柱底面圓周的展開(kāi)圖，貝UV柱丄）244）210.0a或a13（提示：對(duì)a分：0a1與a1兩種情況討論）11.y、3x或y3x或xy（2、2）0或xy（2、2）0（提示：分截距相等均不為0與截距相等均為0兩種情形）12.4186種（提示：對(duì)抽取5件產(chǎn)品中

16、的次品分類(lèi)討論：（1）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有3件次品；（2）抽取的5件產(chǎn)品中恰好有4件次品，于是列式如下：C；C46C：C46=4140+46=4186）2313. 若a1，則解集為xa3xa4或xa32若0a1，則解集為xa4xa3或0xa（提示：設(shè)logaxt，則原不等式可簡(jiǎn)化為.3t22t12解之得2t3或t1，即-logaX-或logax1343423對(duì)a分類(lèi)：a1時(shí)，a3xa4或xa;0a1時(shí)，a23x3a4或0xa)三解答題14. 解：（1）若橢圓與雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)它們方程分別為2222筈$1（ab0），豈匕1（a0，b0），依題意ababcc132.22a7abca”，、222215. 解：原方程可化為loga(xak)logaxaxakxa令f(x)xak，g(x)x2a2(xak0且x2a20)則對(duì)原方程的解的研究，可轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)f(x)、g(x)圖象的交點(diǎn)的研究下圖畫(huà)出了g(x)的圖象，由圖象可看出c2b2b6a32a82ab2cc3：7aa2222兩曲線(xiàn)方程分別為xy1，xy14936942Xp1(ab0)b22(2)若焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)橢圓方程為爲(wèi)acc、1322.2a7cab.22.2b6caba32a8