高等數(shù)學上復旦第三版課后習題答案

1、高等數(shù)學上（修訂版）（復旦出版社）習題六無窮數(shù)級答案詳解寫出下列級數(shù)的一般項:113遼2(1)7l；x一x46227T8L；12n1'nx22n1n1a1-2n1求下列級數(shù)的和:153(1)u1xn1xnxn11111.(1)解:2.(1)解:從而£11-2xx111xnxnx1xnxn1因此limSnn12xx1,故級數(shù)的和為12xx1因為Un、一n2、n1n1,n從而Sn2.2.?.5、.4.4.3n2'、百1.21.3.3、2n2、n1、n1n所以limSnn1，23，即級數(shù)的和為因為Sn15151孑115151n5從而limSnn14丄，即級數(shù)的和為43. 判

2、定下列級數(shù)的斂散性：(1)1661111165n45n1精品文檔5；135L丄L；n5解:(1)S.、2J1,3,2L,n1、nJn11從而limSnn，故級數(shù)發(fā)散.s-111111L115661111165n45n111155in1從而limSnn15，故原級數(shù)收斂，其和為1.5此級數(shù)為q2的等比級數(shù)，且|q|<1，故級數(shù)收斂.3Unn1，而limUn10,故級數(shù)發(fā)散.75n4. 利用柯西審斂原理判別下列級數(shù)的斂散性：(1)cosnxk；3n13n23n解:(1)當P為偶數(shù)時,Un1Un2LU1np2np1np當P為奇數(shù)時,精品文檔pn41n1n1n2Un1UnIn2丄|n1|丄n11

3、n11n13n因而，對于任何自然數(shù)Un1Un2P,都有1n>0,則當n>N時，對任何自然數(shù)P恒有Un1Un2成立，由柯西審斂原理知，級數(shù)n1收斂.n1n(2)對于任意自然數(shù)P,都有1n1Un2Lcosn1x2*111,7L2*12n2112*112p,11-211n12Unpcosn?n212*p212cosnpx2*p于是，£>0(0<£<1),?N=Iog21，當n>N時，對任意的自然數(shù)P都有UmUn2LUnp成立，由柯西審斂原理知，該級數(shù)收斂.取卍門，則Un1Un2LUnp13n1113n11n6n1丄1211n123n13132n

4、1132n1132n2132n3從而取112,則對任意的都存在P=n所得Unp由柯西審斂原理知，原級數(shù)發(fā)散.5.用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性.(1)1213221221321衛(wèi)Ln2(5)解:(1)UnA收斂，由比較審斂法知1nUn收斂.11n1n1-Un廿尸n1發(fā)散，由比較審斂法知,1n原級數(shù)發(fā)散.nn13n.nsm飛3nllmnnnn匚收斂，故131sin3n也收斂.11：一3n2n2丄收斂，故1n2(5)當a>1時,丄收斂，故1a亠也收斂.11a當a=1時，limU1I21na0,級數(shù)發(fā)散.limn2.lim-n1綜上所述，當a>1時，原級數(shù)收斂，當0<aw1時，原

5、級數(shù)發(fā)散.當0<a<1時，limUn10,級數(shù)發(fā)散.(6)由12X12n1limln2知lim-x0xX1nln21而1發(fā)散，由比較審斂法知1n112nn11發(fā)散.6.用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性:(1)2n折;n133322122233323nn2n(1)n2n!nn1n解:(1)Ulimn2n13n1由比值審斂法知,級數(shù)收斂.精品文檔01,limn3nlimnn1!3n1n!11113'3n所以原級數(shù)發(fā)散.limnlimn所以原級數(shù)發(fā)散.limnn123nn2n3n2n1lim2n2limn故原級數(shù)收斂.nn11n1nnnn2n!7.用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性

6、:(1)5n.n13n12nnn13n1nbr，其n1an解:(1)limn.U7n故原級數(shù)發(fā)散.limnUnlimnnn11lnn1lim旦n3n1ania(nix),an,b,a均為正數(shù).精品文檔11故原級數(shù)收斂.(3)limnU?limn甘nn3n1故原級數(shù)收斂.nban當b<a時，b<1,原級數(shù)收斂；當b>a時，->1,原級數(shù)發(fā)散;aa時，b=1，無法判定其斂散性.a8判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂?nimnlimnan當b=a(1)1.12I-IL；111111113532533534n!；(6)解:(1)(5)4，級數(shù)是交錯級數(shù)，且滿足

7、17n1nn0，由萊布尼茨判別法級數(shù)收斂，又級數(shù)，所以Un發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂.Unn11Inn111lnn1錯級數(shù)，1Inn11,limInn2n1lnn1由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂,但由于UnInn1n1精品文檔所以，Un發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂.n1Un53n民顯然Unn153n什是收斂的等比級數(shù)，故Un|收斂，所以原級數(shù)絕對收斂.n1U22n1(4)因為limlim.nUnnn1故可得Un1Un，得HmUn0,二limUn0，原級數(shù)發(fā)散.n(5)當a>1時，由級數(shù)丄收斂得原級數(shù)絕對收斂.n1n當0<a<1時，交錯級數(shù)n11n1丄滿足條件：nn由萊布尼茨判別法知級數(shù)

8、收斂,但這時n1丄發(fā)散，所以n1n原級數(shù)條件收斂.當aw0時，limUn0，所以原級數(shù)發(fā)散.n(6)由于123l丄丄丄nnn而1發(fā)散，由此較審斂法知級數(shù)n1n111L1丄發(fā)散.n123nn記Un111L11，則23nnUnUn1121213131n1n1丄nn11nn1112n112n1Jnn1即UnU又limUnlim-1nn1n1dxn0x由lim1Tdxlim10xt1知limUn0,由萊布尼茨判別法,原級數(shù)n收斂,n而且是條件收斂.9.判別下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性.(1)：,x-3,3;nX,x0,1;1nsinnx,x(-o，+o)；(4)13nx鑫，|x|<5;

9、(5)cosnx,x(-OO+oo)_352inx解:3n汽,x-3,3而由比值審斂法可知3nn1!收斂所以原級數(shù)在卜上一致收斂.nx2n1T,x0,1,n丄收斂，所以原級數(shù)在0,1上一致收斂.insinnxI3n1壬,x(-8，+8),31是收斂的等比級數(shù)，所以原級數(shù)在（-8，+8）上一致收斂.i3因為nxen!5nen!x(-5,5),由比值審斂法可知5n收斂，故原級數(shù)在（-5,5）上一致收斂.n1n!(5)v1n3cosnx32.nx而2是收斂的P-級數(shù)，所以原級數(shù)在（-8，+8）上一致收斂.n1n310.若在區(qū)間I上，對任何自然數(shù)n.都有|U（x）|<Wx），則當Vnxn1在I上

10、一致收斂時，級數(shù)Unx在這區(qū)間I上也一致收斂.n1證：由Vnx在I上一致收斂知，？£>0,?N£）>0，使得當n>Nn1時，？xI有|V+1（x）+V+2（x）+V+p（x）|v£,于是，？£>0,?N（£）>0，使得當n>N時，？xl有|U+1（x）+U+2（x）+U+p（x）|wV+1（x）+V+2（x）+Vt+p（x）w|V+1（x）+V+2（x）+V+p（x）|v£,因此，級數(shù)Unx在區(qū)間I上處處收斂，由x的任意性和與x的無n1關性，可知UnX在I上一致收斂.11.求下列幕級數(shù)的收斂半徑及收

11、斂域:(1)x+2x2+3x3+nxn+;(2)2n1nIX.n!n1nnX1.n22n；解：(1)因為limnan1anlimnn1，所以收斂半徑R丄1收斂區(qū)間(3)n詁；為(-1,1)，而當X=±1時，級數(shù)變?yōu)?nn，由lim(1)nn0知級數(shù)xn(1)nn發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為n1(-1,1).因為limnan1anlimn1!nnn!limnn1limn所以收斂半徑R丄e,收斂區(qū)間為(-e,e).當x=e時，級數(shù)變?yōu)閚limx0竿；應用洛必達法則求得1nan1故有l(wèi)imn1-nan21由拉阿伯判別法知，級數(shù)發(fā)散；易知x=-e時,級數(shù)也發(fā)散，故收斂域為(-e,e).(3)級數(shù)

12、缺少偶次幕項.根據(jù)比值審斂法求收斂半徑.Un1lim2nX12n1Un|n2n12n1Xlim2n1X2n2n12Xlimn所以當x2<1即|x|<1時，級數(shù)收斂，x2>1即|x|>1時，級數(shù)發(fā)散，故精品文檔收斂半徑R=1.當x=1時，級數(shù)變?yōu)椋攛=-1時，級數(shù)變?yōu)椋蒼i2n1ni2n11lim耳I10知，丄發(fā)散，從而亠也發(fā)散，故原級數(shù)的收n12ni2n1ni2n1n斂域為(-1,1).(4)令t=x-1則級數(shù)變?yōu)閠n2n1n2nlimnan1anlimnn22nn122n1SXnx所以收斂半徑為R=1.收斂區(qū)間為-1<x-1<1即0<x<2

13、.當t=1時，級數(shù)”洼收斂，當t=-1時，級數(shù)1n出為交錯級數(shù),由萊布尼茨判別法知其收斂.所以，原級數(shù)收斂域為0<x<2,即0,212.利用幕級數(shù)的性質(zhì),求下列級數(shù)的和函數(shù):(1)nxn2；n12n2xno2n1'解:(1)由limnn3n1xn2nxx知，當|x|=<1時，原級數(shù)收斂，而當|x|=1時，nxn2的通項不趨于0,從而發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為(-1,1).n1記Sxnxn2x3nxn1易知nxn1的收斂域為(-1,1),記n1n1n1n1精品文檔則；S1x于是Sx3，所以Sxx2x11x1x(2)由limn2n4x2n3x22nnx2知，原級數(shù)當|X|&l

14、t;1時收斂，而當|x|=1時,數(shù)發(fā)散2n2x02n1故原級數(shù)的收斂域為(-1,1)2n1x°2n12n1x02n,易知級數(shù)2n1x°2n1收斂域為(-1,1)，記則S12nx011x2，1xdxIn2x,SxxS1xln故xS11x尹廠，5100，21x13.將下列函數(shù)展開成x的幕級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間:(1)f(x)=ln(2+x)；2f(x)=cosX；(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(5)fx總；_x2_Tx2；1 xx2 ee；(7)f(x)=excosx；(8)f解:(1)fxInIn2In1仝2由于Inn“厶,(-1<x<1)n1故I

15、n1n1旨,(-2<x<2)因此InIn2n11nJ,(-2<x<2)精品文檔21cos2x(2)fxcosx22n由cosx1x,(-sVXV5)no2n!得cos2xn02x2n2nn2nn4x1甘2nxx211n所以211cos2xcosx-2211n1n2n4x(-OO<x<+s)22n02n!f(x)(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)由ln(-1<x<1)所以由于0nxn1nn_x_nnnnnn11nx1nn1n2x1n1n1xn(-1<x<1)x2x2_1_1x22n1!2n!(-12n1!x2n入2n!精品文檔n0

16、n!2n1(-1<X<1)!2n(5)12X32X32n1nX_3n1(6)0n!x(-oo，+oo),x(-o，+o)所以fnn1Xn!n!(7)因為excosx為excosxisinxe1ix的實部,n!nX：2ncos-nisinn!44nnX2nnn-n!2n02nXcosisin44n0nn0n0n7t而e1iX0n!nX取上式的實部.Xecosxn22nncos一4nX(-<X<+o)精品文檔(8)由于nxn1|X|<11Xn0而fx一丄飛，所以41X216x2n02n1nxn1n02(Ix|<2)14.將fxxb展開成(x+4)的冪級數(shù).解:1

17、x23x2精品文檔所以fx一x23x2nx4n1n03112*13“16x215.將函數(shù)fx展開成(x-1)的幕級數(shù).1mx1!2!mn1nxn!3121x1!332?2!33312222n!(-1<x-1<1)16.丄2nn!31222!2nx3233!13L3L2nn!2n0x2利用函數(shù)的幕級數(shù)展開式，求下列各數(shù)的近似值:(1)ln3(誤差不超過0.0001)；(2)cos20(誤差不超過0.0001)解:(1)1xIn2x1x352L2Ll352n1-L,X(-1,1)2n1令1x1x3，可得x-21,1,精品文檔1故In311In-11T232n1?2rn22n122n12

18、n12n122n322n32n122n12n322n3122n12n522n52n7t故cos2012n12n1222n122n12n232n1213112810.000120.00003.因而取n=6則112111.09862ncos20ncos-90n902!n904!n902n!L27C47C902!10410902!10.00060.999417.利用被積函數(shù)的幕級數(shù)展開式，求定積分0.5ar遜dx（誤差不超過0.001）的近似值.0x精品文檔352n1L,(-1<X<1)解：由于arctanxxx_L5nx1-2n1故0.50arctanx,dxx0.502x33x4L5

19、57xx1一2n0.52nx1Ldx而19因此130.0139,23°.5arctanxdx0x191251291戸1歹1925491125250.0013,18.判別下列級數(shù)的斂散性:(1)1n_nnIn014927114920.0002.0.4872nxcos3；In解:(1)n2n1n1n-nnnn1n2n2n而lim-n12n2nlimnn2n1n2故級數(shù)2n11n2發(fā)散,由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散.xncos一32n由比值審斂法知級數(shù)斗收斂，由比較審斂法知，原級數(shù)n122n收斂.精品文檔2n11n-0lnn2lnn2nTn13n由lnimUuInn33nlim百n3lnn2l

20、nn3lnn21lim3n13知級數(shù)lnnn13n-收斂，由比較審斂法知，原級數(shù)19.證:Tlimn2Un存在，?M>0,使|n2U|<M若limn2Un存在，證明：級數(shù)Un收斂.nUn絕對收斂.120.證明，若2收斂，則土絕對收斂.n1n證:.Unn而由Un1收斂,2收斂，知1n122Unn121 2收斂，故|Un收斂,2 nn1丨n丨因而b絕對收斂.n1nancosnxbnsinnx21.若級數(shù)an與bn都絕對收斂，則函數(shù)項級數(shù)n1n1精品文檔在R上一致收斂.證：Un(x)=ancosnx+bnsinnx,?xR有Unxancosnxbnsinnxancosnxbnsinnxa

21、nbn由于an與bn都絕對收斂，故級數(shù)n1n1an由魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項級數(shù)cosnxbsinnx致收斂.22.計算下列級數(shù)的收斂半徑及收斂域:(1)、3n1xn；xyn1n1.nn1sin7解:(1)an1anIlim込Lnn23n31limnlimn3n1nn2e1e3limn3n又當x寸時級數(shù)變?yōu)椤?n1n1n3n3n>3n3因為limnn3333e丁03n3所以當x子，級數(shù)發(fā)散,故原級數(shù)的收斂半徑R于，收斂域精品文檔所以Fx120(-limnan1alimn.nsin廠2.nsinn2nlimn又limsinn2nn2n.nsin孑limnnn莎所以當(x+1)=士2時，

22、級數(shù)n1sinpx1n發(fā)散，從而原級數(shù)的收斂域為-2<x+1<2，即-3<x<1，即(-3,1)(3)limnan1anlimnn2n/n212j1二122二R2，收斂區(qū)間-2<x-1<2，即-1<x<3.當x=-1時，級數(shù)變?yōu)?，其絕對收斂，當x=3時，級數(shù)變?yōu)閚丄，收斂.n1n因此原級數(shù)的收斂域為-1,323.將函數(shù)Fx解：由于arctant吐衛(wèi)dt展開成x的幕級數(shù).t2n1nt2nxarctantdt0旦dt2n1t2n-dt12n1x2n2n1(|X|<1)精品文檔24.判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性:n(1)1,x-3,+乂

23、);(2)3,x(2,+乂);1，x(-乂，+乂)；n1xnxn1解:(1)考慮n2時，當x>-3時，有x13n13n3由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)n1n在卜3,+-)上一致收斂.當x>2時,有Lin2nn1由lim疋1nn2歹1知級數(shù)n扌收斂'由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)斗在(2,+o)上一致收斂.n1x(3)?xR有nx2n2x2n12而2收斂，由魏爾斯特拉斯判別法知,n1n級數(shù)1x2n22n2x(oo,+)上一致收斂.25.求下列級數(shù)的和函數(shù):(1)2n1xo2n1'2n1_x2n1xn1；(1)可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1,且當|x|=1時，級數(shù)2n是收斂的

24、交錯級數(shù)，故收斂域為-1,1n1x2nn11xxSlx2n1則S(0)=0,S12n211x2所以SXSOdxarctanxx即S(x)二arctan1x,所以S(x)=xarctanx,x-1,1.(2)可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1,且當|x|=1時，原級數(shù)發(fā)散.記xdx所以Sxx10r1.1In21dxxxx由limnn1anaxxe2nx01x1ln1x(|x|<1)limnnn1!1則QxSxdxS(0)=0收斂域(-OOxxe,所以1xex,(-s<x<+s)1.n1n2limn1nn11知收斂半徑R=1,當x=1時，級數(shù)變?yōu)?知級數(shù)收斂，當x=-1時，級數(shù)變?yōu)?n

25、是收斂的交錯級數(shù)，故收斂域為-1,1則S(0)=0,xSxxn1xSxn1xn1所以xxSxdx0即xSxIn1In1dxx11xx0x0(X工1)xSxIn1xdx1In1xx即xSxxIn1Inx，又當x=1時，可求得S(1)=1(VIimSnlimn綜上所述0,Sx1,In11,0U0,126.設f(x)是周期為2n的周期函數(shù)，它在(-n,n上的表達式為fx23nx0,x30xn試問f(x)的傅里葉級數(shù)在x=-n處收斂于何值？解：所給函數(shù)滿足狄利克雷定理的條件，x=-n是它的間斷點，在x=-n處，f(X)的傅里葉級數(shù)收斂于-nf-1n32丄2n22227.寫出函數(shù)fx1nx0的傅里葉級數(shù)

26、的和函數(shù).x0xn解：f(x)滿足狄利克雷定理的條件，根據(jù)狄利克雷定理，在連續(xù)點處級數(shù)收斂于f(x),在間斷點x=0,x=士n處，分別收斂于f0f01fnfnn21fnfnn1，綜222，22，2上所述和函數(shù).1 nx02 小xOxn28. 寫出下列以2n為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)，其中f(x)在卜n，兀)上的表達式為:n0xn(1)fx4nnx0;4(2)fxx2nxn；nn,nx22nnx,x,22解：(1)函數(shù)f(x)滿足狄利克雷定理的條件,點，在間斷占處f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于x=nn，nz是其間斷bn0，在x工nn,有1nfn-nxcosnxdx10n,1nni小cosnxdxc

27、osnxdx0nn4n04xsinnxdx7tsinnxdx4sinnxdx40,n2,4,6,L1,n1,3,5,L.n于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為1 .sinn12n12n(XMnn)函數(shù)f(x)在(-s，+s)上連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)在(-S，+S)上收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，從而f(x)cosnx為偶函數(shù)，f(x)sinnx為奇函數(shù)，于是bnxsinnxdx0,a。丄nx2dx一-n1nfxcosnxdxn-n0,2cosnxdx1n弓(n=1,2，)n所以，f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為:2nfx3n11n¥cosnx(-s<x<s)n函數(shù)在x=(

28、2n+1)n(nz)處間斷，在間斷點處，級數(shù)收斂于0,當xm(2n+1)n時，由f(x)為奇函數(shù)，有an=0,(n二0,1,2,)bn2nfxsinnxdxn0n2xsinnxdxonsinnxdx221n2nn1-sinn1,2,Lnnn2所以n111-2.nn2sinsinnxnn2fxn1(xm(2n+1)n,nz)因為fxcos|作為以2n為周期的函數(shù)時處處連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，有bn=0(n=1,2,),14n21n0,1,2,L1nx2:ftx3ncoscosnxdxcos-cosnxdx冗-n27t0217t11cosnxcosnxdx冗02

29、2117tsinnxsinnx122冗11nn220所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為:24_n1cosnxfx12nnn14n129. 將下列函數(shù)f(x)展開為傅里葉級數(shù):(1)(2)fxsinx0x2n解：(1)ao1nfxcosnxdx1"n-dx-n-nnn4221an冗nnxn42cosnxdx141cosnxdxxcosnxdx-n2n-n17tsinnx00n1,2,L4n精品文檔bn1nnnn41n1nx2sinnxdx-4n1nsinnxdxxsinnxdx-n2n-n故1nfxnsinnx1-(-n<x<n)4n1n所給函數(shù)拓廣為周期函數(shù)時處處連續(xù)，因此

30、其傅里葉級數(shù)在0,2n上收斂于f(X)，注意到f(X)為偶函數(shù)，有bn=0,a0n7txcosOxdx2nn0nsinxdxnsinxdx2nfxcosnxdxn0nsinxcosnxdxnsin1xsinn1xdx0,4nn21n1,3,5丄n2,4,6,L8所以4cos2nx(0<x<2n)1n1n4n230. 設f(x)=x+1(0<x<n)，試分別將f(x)展開為正弦級數(shù)和余弦級解:bn將f(x)作奇延拓，則有an=0(n=0,1,2，)n2nfxsinnxdxx1sinnxdx00n2 111n從而fx21nsinnx(0<x<n)Ttn1若將f(

31、x)作偶延拓,則有bn=0(n=1,2,)anao2nfxcosnxdxn00,4n1n1cosnxdx2,4,6L1,3,5,Ldxdx從而fcos1xJ(0<x<n)2n12n31.將f(x)=2+|x|(-1<x<1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并n由此求級數(shù)4,的和.n1n解:f(x)在(-g，+g)內(nèi)連續(xù)，其傅里葉級數(shù)處處收斂，由f(x)是偶函數(shù)，故bn=0,(n=1,2,)a。xdx2xdx5anxcosnxckcosnxdx0,2,4,6L1,3,5,L所以42ncos2n2n1n_2，x-1,1取x=0得，2n12n1n212n112n12n14n12

32、1n精品文檔所以-12n1n632.將函數(shù)f(x)=x-1(0<x<2)展開成周期為4的余弦級數(shù).解：將f(x)作偶延拓，作周期延拓后函數(shù)在(-o，+o)上連續(xù)，則有bn=0(n=1,2,3,)ao-2fxdx222x1dx00nn,cosdx21 n|anfxcosdx2 22£1n1nn0,n2,4,6丄822,n1,3,5,Lannn解：先對f(x)作偶延拓到-1,1,再以2為周期延拓到(-o，+o)將1x,0x-,2sxa0ancosnn<,-o<x<+o,其中12n122x,x1,281T2nn12n12n1ncos233.設fxxcosnTixdx，求s52f(x)展開成余弦級數(shù)而得到s(x)，延拓后f(x)在x1處間斷所以3-45-2f1-2.1-21-25-2Sbnsinnn,-00<x<+，其中34. 設函數(shù)f(x)=x(O<x<1)，而sx精品文檔1bnF1xsinnn<dx(n=1,2,3，)，求s.2解：先對f(x)作奇延拓到，卜1,1，再以2為周期延拓到(-乂，+乂),并將f(x)展開成正弦級數(shù)得到s(x)，延拓后f(x)在x-處連續(xù)，2故.1,35. 將下列各周期函數(shù)展開成為傅里葉級數(shù)，它們在一