高等數(shù)學(xué)第9章試題

1、高等數(shù)學(xué)院系學(xué)號班級姓名得分題號選擇題填空題計(jì)算題證明題其它題型總分題分2020202020核分人得分復(fù)查人一、選擇題(共20小題，20分)1、設(shè)I1，I2，I3三者大小關(guān)系是I2>I1>I3;D.I3>I2>I1.是由z及x2+y2+z2w1所確定的區(qū)域，用不等號表達(dá)A.I1>I2>I3;B.I1>I3>I2;C.2、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則積分可交換積分次序?yàn)榇?)3、設(shè)是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1所圍第一卦限部分的有界閉區(qū)域，且f(x,y,z)在上連續(xù)，則等于(A) (B)(C)(D)答()4、設(shè)u=f(t)是(g，+

2、g)上嚴(yán)格單調(diào)減少的奇函數(shù)，是立方體：|x|<1;|y|<1；|z|<1.I=a,b,c為常數(shù)，則(A)I>0(B)I<O(C)I=0(D)I的符號由a,b,c確定答()5、設(shè)Q為正方體Owx<1;0wyw1;0<z<(x,y,z)為Q上有界函數(shù)。若，則(A)f(x,y,z)在Q上可積(B)f(x,y,z)在Q上不一定可積(C)因?yàn)閒有界，所以I=O(D)f(x,y,z)在Q上必不可積答()6、由x2+y2+z2w2z,zwx2+y2所確定的立體的體積是(A)(B)(C)(D)答()7、設(shè)Q為球體x2+y2+z2w1,f(x,y,z)在Q上連續(xù)，

3、1=x2yzf(x,y2,z3),則(A)4x2yzf(x,y2z3)dv(B)4x2yzf(x,y2,z3)dv(D)(C)2X2yzf(x,y2,z3)dv8、函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上有界是二重積分存在的(A)充分必要條件；(B)充分條件，但非必要條件；(C)必要條件，但非充分條件；(D)既非分條件，也非必要條件。答()9、設(shè)是由3x2+y2=z,z=1-x2所圍的有界閉區(qū)域，且f(x,y,z)在Q上連續(xù)，則等于(A)(B)(C)(D)答()10、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序后的結(jié)果為答()11、設(shè)Q1,Q2是空間有界閉區(qū)域，Q3=QiUQ2,Q4=QiAQ2,f

4、(x,y,z)在Q3上可積,則的充要條件是(A)f(x,y,z)在Q4上是奇函數(shù)(B)f(x,y,z)=0,(x,y,z)Q4(C)Q4=?空集(D)答()12、設(shè)Q1：x2+y2+z2wR2；z>0.Q2：x2+y2+z2wR?;x>0;y>0;z>0.貝U99999999(A)zdv=4xdv.(B)ydv=4zdv.99999999(C)xdv=4ydv.(D)(xyz)dv=4(xyz)dv.答()13、設(shè)Q為正方體0wx<1;0wy<1;0<z<(x,y,z)在Q上可積，試問下面各式中哪一式為f(x,y,z)在Q上的三重積分的值。nii

5、i1(A)(B)limf(,)ni1nnnn(C)(D)答()14、設(shè)，則I滿足答()15、函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)是二重積分存在的(A)充分必要條件；(B)充分條件，但非必要條件；(C)必要條件，但非充分條件；(D)既非充分條件，又非必要條件。答()16、若區(qū)域D為|x|w1,|y|w1,則1(A)e;(B)e；(C)0;(D)n.答()217、二重積分(其中D0wywx,0wxw1)的值為答()18、設(shè)有界閉域D與D2關(guān)于oy軸對稱，且DQD2=?,f(x,y)是定義在DUD2上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分答()19、設(shè)為單位球體x6、設(shè)積分區(qū)域D的面積為S,(r,e)為D中點(diǎn)的極坐標(biāo)

6、，貝U.7、根據(jù)二重積分的幾何意義22其中Dx+y<a,y>0,a>0.8、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界，把D任意分成幾個(gè)小區(qū)域0i(i=1,2,-,n)，在每一個(gè)小區(qū)域6上任取一點(diǎn)(Ei,ni),如果極限存在(其中入是)，則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分，記作9、設(shè)積分區(qū)域D的面積為S,則10、設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)，則由平面z=0,柱面x2+y2=1和曲面z=f(xy)2所圍立體的體積可用二重積分表示為.11、設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Q上可積，Q=Q1UQ2,貝UI=f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+。12、設(shè)Q為空間有界閉區(qū)域，其上

7、各點(diǎn)的體密度為該點(diǎn)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離。則Q關(guān)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三重積分公式為.13、設(shè)D:x2+y2<4,y>0,則二重積分14、設(shè)Q1:x2+y2+z2wR2,Q2：x2+y2+z2<R;x>0;y>0;z>=f(t)是(一g，+g)上的偶函+y2+z2<1,Qi是位于z>0部分的半球體，I=(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv,貝H(A)I>0(B)I<0222(C)I=0(D)I=2(x+y+z)f(x2+y2+z2)dv答()20、設(shè)Q為一空間有界閉區(qū)域，f(x,y,z)是一全空間的連續(xù)函數(shù)，由中值定理而

8、V為Q的體積，則：(A) 若f(x,y,z)分別關(guān)于x,y,z為奇函數(shù)時(shí)f(E,n,Z)=0(B) 必f(E,n,Z)豐0222(C) 若Q為球體x+y+z<1時(shí)f(E,n,Z)=f(0,0,0)(D) f(E,n,Z)的正負(fù)與x,y,z的奇偶性無必然聯(lián)系答()二、填空題(共20小題，20分)1、根據(jù)二重積分的幾何意義=.其中D：x2+y2<1.2、設(shè)Q是一空間有界閉區(qū)域，其上各點(diǎn)體密度為該點(diǎn)到平面Ax+By+Cz=D的距離平方。則Q質(zhì)量的三重積分公式為.3、設(shè)Dx2+y2w2x,由二重積分的幾何意義知=.4、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，且f(x,y)>0,則的幾

9、何意義是5、二次積分f(x,y)dy在極坐標(biāo)系下先對r積分的二次積分為數(shù)，且在(0,+8)上嚴(yán)格單調(diào)增加，則(A)xf(x)dv=4xf(x)dv(B)f(x+z)dv=4f(x+z)dv(C)f(x+y)dv=4f(x+y)dv(D)f(xyz)dv=4f(xyz)dv答()15、二次積分f(x,y)dy在極坐標(biāo)系下先對r積分的二次積分為.16、=。17、設(shè)平面薄片占有平面區(qū)域D,其上點(diǎn)(x,y)處的面密度為口(x,y)，如果口(x,y)在D上連續(xù)，則薄片的質(zhì)量.18、設(shè)區(qū)域D是x2+y2w1與x2+y2w2x的公共部分，試寫出在極坐標(biāo)系下先對r積分的累次積分.19、設(shè)為一有界閉區(qū)域，其上各

10、點(diǎn)的體密度為p(x,y,z).設(shè)M為其質(zhì)量，而(x,y,z)為其重心，關(guān)于xoy平面的靜矩定義為：My=XMMy的三重積分計(jì)算式為.20、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有界，把D任意分成n個(gè)小區(qū)域厶廳i(i=1,2,n),在每一個(gè)小區(qū)域厶*任意選取一點(diǎn)(i,ni),如果極限(其中入是厶c(i=1,2，n)的最大直徑)存在，則稱此極限值為的二重積分。三、計(jì)算題(共20小題，20分)1、計(jì)算二重積分其中2、設(shè)是由x=0,y=0,z=0,x=1-y2及所圍的有界閉區(qū)域。計(jì)算1=.3、設(shè)D是由直線x+y=a,x+y=b,y=ax,y=3x所圍的有界閉區(qū)域(0<a<b;0<a<

11、;3)，試計(jì)算e(xy)dxdy.D4、設(shè)是由x2+y2=R?;z=0;z=1;y=x;y=所圍恰好位于第一卦限部分的一立體。試求積分I=.5、設(shè)是由曲面x2+y2=1,z=0,z=1所圍的有界閉區(qū)域，計(jì)算.6、設(shè)是由bz<x2+y2+z2waz(a>b>0)所確定的閉區(qū)域。試計(jì)算7、計(jì)算二重積分其中D0<ywsinx,.8、計(jì)算二重積分其中D是由拋物線y2=2px和直線x=p(p>0)所圍成的區(qū)域。9、設(shè)是由曲面z=x+y,z=2(x+y),xy=1,xy=2,y=2x及x=2y所圍位于x>0及y>0部分的閉區(qū)域。試計(jì)算I=10、計(jì)算三重積分1=，其

12、中是由所圍位于部分的立體11、設(shè)是由a2wx2+y2w2a2(a>0),y>0,zw0以及所確定的閉區(qū)域。試計(jì)算12、計(jì)算二重積分其中Dx2+y2w1.13、由二重積分的幾何意義，求14、計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域D是x2+y2wa2(a>0).15、設(shè)是由以及0wzwsin(x+y)所確定的立體。試計(jì)算16、計(jì)算二次積分17、計(jì)算二重積分其中18、計(jì)算二重積分其中D：x<yw,0<xw1.19、設(shè)是由,y=0,z=0及所圍的有界閉區(qū)域。試計(jì)算20、計(jì)算二重積分其中D是由直線x=-2,y=0,y=2及左半圓x=所圍成的區(qū)域。四、證明題(共20小題，20分)1、試證：

13、在平面薄片關(guān)于所有平行于oy軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中，對于穿過重心的軸所得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。2、設(shè)f(t)是連續(xù)函數(shù)，證明3、錐面x2+y2z2=0將閉區(qū)域x2+y2+z2w2az(a>0)分割成兩部分，試證其兩部分體積的大小之比為3:1.4、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且D可以分為兩個(gè)閉域D和D2,證明5、設(shè)f(u)為可微函數(shù)，且f(0)=0,證明6、設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉域D上連續(xù)，且Mm分別是f(x,y)在D上的最大值與最小值，證明：其中廳是D的面積。7、設(shè)為單位球體x2+y2+z2w1,試證可選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，使得(a+b+c=1)8、設(shè)f(x,y)為區(qū)域D：上的連續(xù)函數(shù)

14、，試證9、設(shè)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)在D上連續(xù)，且f(x,y)wg(x,y),(x,y)?D,利用二重積分定義證明：10、設(shè)f(x)是a,b上的連續(xù)正值函數(shù)，試證不等式：其中D：awxwb,awywb.11、設(shè)f(u)為連續(xù)函數(shù)，試證12、設(shè)是上半單位球體x2+y2=z2w1,z>0,f(x,y,z)在上連續(xù)，試?yán)们蛎孀鴺?biāo)積分方法證明(E,n,Z)Q使得f(x,y,z)dvf(,)：(22)(222)2.13、設(shè)p(x)是a,b上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，f(x),g(x)是a,b上的連續(xù)單增函數(shù)，證明14、設(shè)f(x)是0,1上的連續(xù)單增函數(shù)，求證：15、設(shè)為由w1所確定的立體(0vawb

15、wc)，其密度函數(shù)p=p(z)為關(guān)于z的偶函數(shù)。試證：對任意的(xo,yo,zo)Q,關(guān)于(xo,yo,Zo)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足I(xo,yo,Zo)=(xXo)+(y22yo)+(zzo)p(z)dvwI(0,0,c).16、設(shè)是由曲面(a1X+dy+c1Z)+(a2X+b2y+Qz)+(a3X+b3y+C3z)=1所圍的有界閉區(qū)域，,f(x,y,z)在上連續(xù)，試證：(E,n,Z)Q滿足17、18證明：其中n為大于1的自然數(shù)。設(shè)f(x,y,z)在有界閉區(qū)域Q上連續(xù)，若f(x,y,z)dv=f(xo,yo,zo)V,V為的體積，試證：當(dāng)f(xo,yo,zo)取到f(x,y,z)的最大值或最小值時(shí)f

16、(x,y,z)在必是一個(gè)常數(shù)。19、設(shè)Q為區(qū)域x2+y2+z2w1,P0(xo,yo,zo)為外的一點(diǎn)，試證：2O、設(shè)f(x)是O,1上的連續(xù)正值函數(shù)，且f(x)單調(diào)減少，證明不等式：五、其它題型(共2O小題，2O分)1、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序。2、按照三重積分的定義：.試問這里的X,(E.,n.,Z.)分別代表什么3、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，交換積分的積分次序。4、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序。5、Q是由x2+y2+z2<2Rz(F>O)所確定的立體，試將f(xy)d化成球面坐標(biāo)下的三次積分式。6、在形狀為z=x2+y2的容器內(nèi)注入

17、k立方單位的水，問此時(shí)水平面高度為多少，并求出高度對k的變化率。7、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，交換二次積分的積分次序。8、試求由封閉曲面(x2+y2+z2)2=az(x2+y2),(a>0)所圍立體的體積。9、設(shè)是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所圍的有界閉區(qū)域，試將I=分別化成直角，柱面及球面坐標(biāo)下的三次積分式。10、將積分化為在極坐標(biāo)系中先對r積分的累次積分。11、Q是邊長分別為a,b,c的長方體，若其內(nèi)任一點(diǎn)處的體密度等于該點(diǎn)到一頂點(diǎn)距離的平方，試求是質(zhì)量。12、F(t)=,其中f(u)為連續(xù)的偶函數(shù)，區(qū)域Qt:由|x+y+z|<t,|xy+z|<t,|x+yz|Wt來確定。求13、設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，交換積分14、.2平面薄片由曲線yexsinx,ysinx1x.2sinx1x2,x=O及所圍成，其面密度函的積分次序。數(shù)為p(x,y)=x.試求薄片質(zhì)量。D是由直線y=x,y=x15、將積分化為在極坐標(biāo)系中的累次積分，其中及y=1所圍成的區(qū)域。16、設(shè)Q是由以及1wx2+y2+z2