數(shù)學(xué)221雙曲線的定義及其標準方程1湘教版選修11

1、雙曲線的定義及其標準方程教學(xué)目標1通過教學(xué)，使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標準方程，理解雙曲線的定義，雙曲線的標準方程的探索推導(dǎo)過程2在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，培養(yǎng)學(xué)生會合情猜想，進一步提高分析、歸納、推理的能力3培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習興趣，獨立思考、勇于探索精神及實事求是的科學(xué)態(tài)度教學(xué)重點與難點雙曲線的定義和標準方程及其探索推導(dǎo)過程是本課的重點定義中的“差的絕對值”，a與c的關(guān)系的理解是難點教學(xué)過程師：橢圓的定義是什么？橢圓的標準方程是什么？(學(xué)生口述橢圓的兩個定義，標準方程，教師利用投影儀把橢圓的定義、標準方程和圖象放出來)師：橢圓的兩個定義雖然都是由軌跡的問題引出來的，但所采用的方法是不

2、同的定義二是在認識上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來，在掌握了坐標法基礎(chǔ)上利用坐標方法建立軌跡方程這是通過方程去認識軌跡曲線定義中設(shè)定的常數(shù)2a，|F1F2|=2c，它們之間的變化對橢圓有什么影響？生：當a=c時，相應(yīng)的軌跡是線段F1F2當ac時，軌跡不存在這是因為a、c的關(guān)系違背了三角形中邊與邊之間的關(guān)系師：如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和”改寫為“平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差”，那么點的軌跡會怎樣？它的方程又是怎樣的呢？(師生共同做一個簡單的實驗，請同學(xué)們把準備好的實驗用具拿出來，一起做實驗教師把教具掛在黑板上，同時板書：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之差為常數(shù)的

3、點的軌跡是什么曲線？邊畫、邊操作、邊說明)師：做法是：適當選取兩定點F1、F2，將拉鎖拉開一段，其中一邊的端點固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2(F1F2)，作為動點M到兩定點F1和F2距離之差而后把它固定在F2處這時將鉛筆(粉筆)置于P處，于是隨著拉鎖的逐漸打開鉛筆就徐徐畫出一條曲線；同理可畫出另一支如圖2-36師：通過這個實驗，你們發(fā)現(xiàn)了什么？生：所畫的曲線不是橢圓，是兩條相同的曲線，只是位置不同其原因都是應(yīng)用“平面內(nèi)與兩個定點的距離之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常數(shù)的條件畫圖的師：所畫出圖象與橢圓完全不同，能說出屬于哪一類曲線嗎？生：屬于雙曲型曲線師：很

4、好！我們把這類曲線就叫做雙曲線我們思考以下幾個問題：1|MF1|和|MF2|哪個大？生：不一定當點M在雙曲線右支時，有|MF1|MF2|，當點M在雙曲線左支時，|MF1|MF2|師：2點M與點F1、F2距離之差是否就應(yīng)是|MF1|-|MF2|？生：未必是也可以是|MF2|-|MF1|師：如何表示這兩種情況？生：若要同時表示這兩種情況，正確的表示是應(yīng)|MF1|-|MF2|無論哪種情況總是成立的師：3點M與點F1、F2的距離之差的絕對值與|F1F2|的大小關(guān)系怎樣？生：由三角形的兩邊之差小于第三邊可知，應(yīng)是小于|F1F2|否則作不出圖形在上述討論的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線的定義，教師板書課題(

5、學(xué)生試敘述，教師協(xié)助完成)一、雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)2a(a0且小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，這兩個焦點間的距離叫做焦距，記作2c(c0)通過學(xué)生自己動手畫圖，得到了雙曲線定義，同時進一步讓學(xué)生在實驗中觀察定義中兩個常數(shù)間大小關(guān)系對于動點M的軌跡的影響激發(fā)學(xué)生探求知識的興趣，調(diào)動學(xué)生的求知的渴望師生共同歸納：師：由定義知|MF1|-|MF2|=2a，|F1F2|=2c，并設(shè)動點為M，請大家討論以下幾個問題：(1)當0ac時，動點M的軌跡是什么？學(xué)生略思考一下，回答出是雙曲線(2)當a=c時，動點M的軌跡是什么？分析&#

6、160; 若a=c，也就是|MF1|-|MF2|=2a=2c，如圖2-37所示：可以看出，動點M的軌跡是分別以點F1、F2為端點，方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線(3)當ac0時，動點M的軌跡是什么？由前面歸納已知動點M的軌跡不存在這是因為a、c的關(guān)系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)二、雙曲線的標準方程師：現(xiàn)在來研究雙曲線的方程我們可以參照求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程首先建立直角坐標系，即以兩定點連線為x軸，兩定點的垂直平分線為y軸然后，觀察雙曲線的特征，猜測雙曲線方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類似之處？(如圖2-38)當點M移動到x軸上點A1、A2時，如何求點A1、A2的坐標？生

7、：點A1、A2是關(guān)于原點對稱的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a所以點A1和A2的坐標分別是(-a，0)和(a，0)師：請同學(xué)們對照橢圓的定義及其標準方程推導(dǎo)過程導(dǎo)出雙曲線的標準方程生：1建立直角坐標系2設(shè)雙曲線上任意一點的坐標為M(x、y)，|F1F2|=2c，并設(shè)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)3由兩點間距離公式，得4由雙曲線定義，得|MF1|-|MF2|=±2a，即5化簡方程兩邊平方，得化簡得：兩邊再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)(為使方程簡化，更為對稱和諧起

8、見)由2c-2a0，即ca，所以c2-a20設(shè)c2-a2=b2(b0)，代入上式，得b2x2-a2y2a2b2，也就是師：利用橢圓標準方程推導(dǎo)類比地推導(dǎo)出雙曲線的標準方程，它同樣具有方程簡單、對稱，具有和諧美的特點，便于我們今后研究雙曲線的有關(guān)性質(zhì)這一簡化的方程稱為雙曲線的標準方程結(jié)合圖形再一次理解方程中ab0的條件是不可缺少的b的選取不僅使方程得到了簡化、和諧，也有實際的幾何意義具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處師：與橢圓方程一樣，如果雙曲線的焦點在y軸上，這時雙曲線的標準方程形式又怎樣呢？我們可以從所畫的圖形上觀察，對比來看一看互相間的轉(zhuǎn)化(圖2-39、圖2-40)生：

9、從圖形的對稱來看，只要交換一下x軸、y軸的名稱，然后逆時針翻轉(zhuǎn)90°使之y軸向上、下，x軸水平放置即可得到焦點在y軸上的雙曲線師：從方程上來分析，只要將方程(1)的x、y互換就可以得到它的方程此方程也是雙曲線的標準方程師：如何記憶這兩個標準方程？生：雙曲線的方程右邊為1，左邊是兩個完全平方項，符號一正一負，為正的項相應(yīng)的坐標軸為實軸，焦點在該軸上，且分母為a2負項相應(yīng)的坐標軸為虛軸，且分母為b2師：用一句話概括“以正負定實虛”三、舉例例1  已知兩點F1(-4，0)和F2(4，0)，曲線上的點到兩個焦點的距離之差為6，求曲線方程解  由焦點坐標可知c=4，2a=6

10、，所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7所以，所求的雙曲線方程為例2  求滿足下列條件的雙曲線方程1若a=4，b=3，焦點在x軸上；解  (1)因為a=4，b=3，并且焦點在x軸上，所以所求的雙曲線方程為(2)由題意設(shè)雙曲線的標準方程為：所以代入雙曲線方程得所以b2=16，所以所求的雙曲線的標準方程為例1和例2可由學(xué)生自行解答，黑板上板演，并對照檢查對錯四、小結(jié)(師生共同參與完成)1知識方面雙曲線的定義和雙曲線的標準方程；方程中的3個常數(shù)a、b、c間的關(guān)系：c2=a2+b2理解“以正負定實虛”的意義，會確定實軸、虛軸、焦點所在位置，會求雙曲線的標準方程2在教學(xué)中體會到

11、數(shù)學(xué)知識的和諧美，幾何圖形的對稱美五、作業(yè)：第XX頁XX題六、課后思考題2結(jié)合圖形的演示，試討論|MF1|-|MF2|=2a，在2a趨近于零的過程中雙曲線的變化趨勢設(shè)計說明1關(guān)于教學(xué)目標(1)由于雙曲線的定義及其標準方程是本章的重點之一，因而作為本節(jié)課的教學(xué)目標之一(2)MM教育方式的基本要求，其課堂教學(xué)要師生共同參與每個環(huán)節(jié)都應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會運用教具的演示，增強了數(shù)學(xué)教學(xué)的直觀性，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、抽象、歸納及數(shù)學(xué)語言的運用能力對全面提高學(xué)生素質(zhì)起著十分重要作用，待此制定了教學(xué)目標2和32關(guān)于教學(xué)重點為實現(xiàn)教學(xué)目標，把充分展現(xiàn)雙曲線的定義及其

12、標準方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過程和知識形成過程作為本節(jié)課的重點3關(guān)于教學(xué)方法按照MM教育方式“學(xué)習、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”，在教學(xué)中充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用運用問題性，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，使學(xué)生在開放、民主、愉悅和諧的教學(xué)氛圍中獲取新知識，提高能力，促進思維發(fā)展因此，采用討論式、啟發(fā)式的教學(xué)方法4關(guān)于教學(xué)過程(1)利用學(xué)生已清楚的知識，轉(zhuǎn)換條件提出問題，通過自己動手和聯(lián)想，為類比地探索雙曲線的定義奠定基礎(chǔ)，最后推出雙曲線的定義(2)在雙曲線的標準方程的推導(dǎo)過程中，揭示科學(xué)實驗的規(guī)律，巧妙地把學(xué)生從舊知識引向新知識，使知識過渡那么自然，學(xué)生學(xué)起來不感到困難體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、邏輯思維能力、科學(xué)思維方式、實事求是的科學(xué)態(tài)度及勇于探索的精神(3)例題比較簡