數(shù)學(xué)物理方程小結(jié)52366

1、數(shù)學(xué)物理方程小結(jié) 第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題數(shù)學(xué)物理定解問題包含兩個部分：數(shù)學(xué)物理方程（即泛定方程）和定解條件。7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出一般方法： 第一確定所要研究的物理量u ,第二 分析體系中的任意一個小的部分與鄰近部分的相互作用,根據(jù)物理規(guī)律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在數(shù)學(xué)上為忽略高級小量.）第三 然后再把物理量u隨時間，空間的變?yōu)橥ㄟ^數(shù)學(xué)算式表示出來, 此表示式即為數(shù)學(xué)物理方程。（一） 三類典型的數(shù)學(xué)物理方程（1）波動方程： 此方程 適用于各類波動問題。（特別是微小振動情況.）（2）輸運方程： 此方程 適用于熱傳導(dǎo)問題、擴(kuò)散問題。（3）Laplace 方程： 穩(wěn)定的溫度和濃度分布

2、適用的數(shù)學(xué)物理方程為Laplace 方程, 靜電勢u在電荷密度為零處也滿足Laplace 方程 。7.2定解條件定解條件包含初始條件與邊界條件。（1） 初始條件的個數(shù)等于方程中對時間最高次導(dǎo)數(shù)的次數(shù)。例如波動方程應(yīng)有二個初始條件, 一般選初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而輸運方程只有一個初始條件選為初始分布u（x,o）,而Laplace 方程沒有初始條件。（2） 三類邊界條件第一類邊界條件： u( r ,t)| = f （1）第二類邊界條件： u n| = f （2）第三類邊界條件： ( u+Hun)|= f （3） 其中H為常數(shù).7.3 二階線性偏微分方程分類 判別式 波動方程

3、是雙曲型的,輸運方程為拋物型的,而拉普拉斯方程為橢圓型的.7.4 達(dá)朗貝爾公式對一維無界的波動方程,當(dāng)不考慮外力時,定解問題為對半無界問題作延拓處理:對第一類齊次邊界條件作奇延拓,而對第二類齊次邊界條件作偶延拓.第八章 分離變量法8.1 分離變量法 主要步驟: 1.邊界條件齊次化,對非齊次邊界條件首先把它化為齊次的.2.分離變量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） 以后對三維問題也是如此3. 將（1）式代入原方程得出含任意常數(shù)的常微分方程, (稱為本征方程) 而為本征值.4.由齊次邊界條件確定本征值,并求出本征方程.(得出的解為本征函數(shù))5.根據(jù)迭加原理把所有滿足方程的線性無關(guān)解迭加后

4、,就能得通解.6.再由初始條件確定系數(shù).一維波動方程在第一類齊次邊界條件下的一維波動方程在第二類齊次邊界條件下的通解:一維輸運方程在第一類齊次邊界條件下的通解:一維輸運方程在第二類齊次邊界條件下的通解: 對其他的齊次邊界條件,如本征函數(shù)已知也可直接求解,而對本征函數(shù)不熟則只能用分離變量法來求解.8.2 非齊次邊界條件的處理 常用方法有 1) 直線法 :對邊界條件為: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .令 ,可把邊界條件化為齊次,但一般情況下方程變?yōu)榉驱R次. 只有當(dāng)g,h為常數(shù)時,方程才不變.2) 特解法把 u化為兩部分,令 u=v+w 使v滿足齊次邊界條件與齊次方程,而使w滿

5、足齊次方程與非齊次邊界條件.下面通過實例來介紹此方法.例題求解下列定解問題 Utta2 Uxx = 0 U|x=0 =0, U|x=L= ASint U|t=0 = 0 , Utt=0 = 0( 其中A 、為常數(shù), 0xL , 0 t ）解：令 u=v+w ,使w滿足波動方程與非齊次邊界條件,得出 .第九章 二階常微分方程的級數(shù)解法本征值問題第九章一.拉普拉斯方程與亥姆霍斯方程在球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)下分離變量結(jié)果.1. 拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下的通解:其中Ylm為球函數(shù),拉普拉斯方程在球坐標(biāo)下的解不依賴于邊界條件.在軸對稱時(1)式退化為2. 拉普拉斯方程在柱坐標(biāo)下:(5)式其解為m階Bessel函數(shù)

6、,解依賴于邊界條件,當(dāng)側(cè)面邊界條件是齊次時,0.對應(yīng)的解是虛貝塞爾函數(shù).3. 亥姆霍斯方程在球坐標(biāo)與柱坐標(biāo)下分離變量結(jié)果.在球坐標(biāo)下: 其中Y為球函數(shù),R為球貝塞爾函數(shù).在柱坐標(biāo)下: .(5)式其解為m階Bessel函數(shù),二、常微分方程的級數(shù)解法1. 掌握常點鄰域的級數(shù)解法.2. 掌握正則奇點鄰域的級數(shù)解法.3.知道無窮級數(shù)退化為多項式的方法.三. 知道Sturm-Livouville本征值問題的共同性質(zhì)當(dāng)k(x),q(x)和(x)都只取非負(fù)的值(0), Sturm-Livouville方程共同性質(zhì)為:1)當(dāng)k(x),k(x)和q(x)連續(xù)且x=a和x=b最多為一階極點時,存在無限多個本征值及

7、對應(yīng)的本征函數(shù):2)所有本征值n03)對應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)帶權(quán)正交4)本征函數(shù)族構(gòu)成完備系第十章 球函數(shù)一、 對稱的球函數(shù)當(dāng)物理問題繞某一軸轉(zhuǎn)動不變時,選此軸為z軸這時物理量u就與無關(guān),m=0.那末球函數(shù)Y(,)就為L階勒讓德多項式.即Y=Pl (cos)1) 勒讓德多項式1. 勒讓德多項式級數(shù)形式:2. 勒讓德多項式微分形式:二、3.前幾項為:P0(x)= 1, P1(x) =x=cos,P2(x)=(3x2-1)/2, .一般勒讓德多項式的冪次取決L當(dāng)L為偶數(shù)時都為偶次冪項,L為奇數(shù)時都為奇次冪項. 對特殊點x=1,0.4.勒讓德多項式正交關(guān)系(3)5.勒讓德多項式的模 (4) 6.廣義傅里葉級數(shù) :當(dāng)f(x)在-1,1連續(xù)可導(dǎo),且在x=-1與1有限時.(5)7.在球坐標(biāo)下Laplace方程: u= 0的通解為:(6)式有兩系數(shù)需要兩條件來確定,對球坐標(biāo)有兩自然邊界條件,r=0與r,球內(nèi)解包含r=0,u有限,(7)而Al由球面的邊界條件確定,同樣對球外區(qū)域兩系數(shù)由球面的邊界條件與r, 兩個條件確定.8. 母函數(shù)(8)9. 遞推公式二