數(shù)理統(tǒng)計例題

1、v1.0可編輯可修改1設(shè)隨機(jī)變量X和Xi,X2,Xi6是X的一個樣本,例題解析(1)丫相互獨立，XN(1,12),YN(2,2)。丫1,丫2,丫1。是Y的一個樣本，測得數(shù)據(jù)16Xii11684,x：i110563,yii11018,y：72i1(1)分別求1,2的矩估計量；(2)分別求2的極大似然估計值;(3)在顯著水平0.05下檢驗假設(shè)H0:j2,H/12(1)用樣本一階原點矩估計總體一階矩，即得2的矩估計值:?2也：(2)?21161XXi16i11105.25,?2yi10i11.8。正態(tài)總體XN(,2)的參數(shù)2的極大似然估計量為2(XiX)。1:的極大似然估計值為(3)-(x16i1工

2、1010i1x)21n2Xi16i116X27.625c1n(yiy)wi1V；16y23.962未知，雙總體方差的假設(shè)檢驗。待檢假設(shè)H。：12因為s21n,aJXi查F分布表,0.05下的單側(cè)檢驗。2一x)8.13,S222；n(y1y)24.4o所以F同機(jī)量得i1F841f1.847得Fo.05”9)3.01.經(jīng)比較知,F1.847F0.05(15,9)3.01,故接35xj0.963912,Tj1i133.8,Tj4.8102j1v1.0可編輯可修改例2有三臺機(jī)器，生產(chǎn)同一種規(guī)格的鋁合金薄板，測量三臺機(jī)器所生產(chǎn)的薄板厚度（單位：厘米），得結(jié)果如表所示。W1W2Wrs2i112964225

3、448965S&9(S1267176515533S2)271224Si1(168)2766.8889Qe3SSi13S2人1765155331112.2222111.777819QtQeQa111.777866.8889178.6667II型(A2)5685107126665m(A3)7116679510667計算：X14,X27.22,X37.444,X6.222列成表格如下，其中,r3,n27方差來源平方和自由度均力F值因素Qa66.8889AQe111.7778總和Qt178.666777v1.0可編輯可修改QrQn66.888933.44452111.77784.657F0SA33.4

4、445SE4.65747.1809,查表F0.052,243.40給定的顯著水平0.05,查表Fo.05(2,24)3.40,因247.1809F0.05（2,24）3.40,故拒絕H0,即認(rèn)為這三種不同菌型的傷寒桿菌的平均存活天數(shù)有顯著差異。關(guān)于未知求=1,2,3）的參數(shù)估計Qe?2=nSE4.65744.0006.2222.2227.2226.2221.0007.4446.2221.222i的區(qū)間估計F0.05(1,nr)F0.05(1,24)4.26i的置信區(qū)間為(XinrF(1,nr)F-(1,n-r)=,4.657/9X4.26=1,2,3白95%置信區(qū)間為88v1.0可編輯可修改均

5、值之差i-的1-的置信區(qū)間為1kt_(nr)to.025(24)2.06242曾rTJ信二爰“砒20012,13,23的95%的置信區(qū)間為);例7.（正交試驗）為了制造軸承，尋求新鋼種最佳等溫淬火工藝。考察試驗指標(biāo)是徑向抗壓負(fù)荷與硬度，對試驗指標(biāo)有影響的主要因素：加熱溫度（單位：C）,等溫溫度（單位：0C）,淬火返修次數(shù)（單位：次），將因素列如下表。水平列號A加熱溫度B等溫溫度C淬火返修次數(shù)190025002880260138602702因為是3元素3水平，選擇正交表L9（34）合適。制定試驗方案表表頭設(shè)計ABC歹1號試Qik、123411(900)1(250)3(2)29922(880)11

6、(0)333(860)12(1)1412(260)235223163212713(270)118232293333v1.0可編輯可修改確定試驗方案在上表中，每一個橫行就代表了一個試驗條件，共有9個試驗條件。等1號試驗條件是：加熱溫度是9000C（Ai）,等溫溫度是2500c（Bi）,返修次數(shù)是2次（C3）,記作為A1B1C3,類似地第2號試驗條件是A2B1C1,第9號試驗條件是A3B3C3試驗方案的實施按正交表中的試驗條件嚴(yán)格操作。將各次的試驗結(jié)果記錄下并列如下表中。T其中品一一第j列因素水平k（k1,2,3）,不上一一第j列因素水平k的33次試驗指標(biāo)的平均例Tn（負(fù)荷）5.55.78.419

7、.6,對因素B,有硬度T23(57.253)/357.253Sj（負(fù)荷）Tjk63.2各因素的3個水平的負(fù)荷之和k1Sj（硬度）58.15各元素的3個水平平均硬度。Rj(負(fù)荷)=maxTjkJ1k3minTjk1k3Rj(硬度)=m1axTjkminTjkIk3Ik31010v1.0可編輯可修改列號試1(A)2(B)3(C)試驗指標(biāo)負(fù)荷硬度1234567891(900)2(880)3(860)1231231(250)112(260)223(270)333(2)1 (0)2 (1)231123品負(fù)荷負(fù)荷單位：t硬度單位：HRC硬度Tj2負(fù)荷硬度Tj3負(fù)荷硬度負(fù)荷硬度九負(fù)荷硬度匚3負(fù)荷硬度Rj負(fù)荷

8、硬度正交試驗結(jié)果的分析1111v1.0可編輯可修改1 .直接看：（1）比較9次試驗的負(fù)荷：抗壓負(fù)荷最高的試驗條件是A2B3c2,即第8號試驗，其次是A1B3C1（第7號試驗），A3B2C1（第6號試驗），A2B1C1（第2號試驗）。（2）再比較9次試驗的硬度是：硬度的高低主要取決于等溫溫度，加熱溫度和返修次數(shù)對硬度無明明顯影響。綜合考慮，等2號試驗的條件問好。2 .計算分析；（1）負(fù)荷因素A平均負(fù)荷是T；27.678800C因素B平均負(fù)荷是T238.27因素C平均負(fù)荷是%7.87由此分析出A2B3C1是最好的試驗條件。但這個條件在表中沒有出現(xiàn)。類似（1）硬度一一AB根據(jù)每個因素對試驗指標(biāo)的影響

9、不同，區(qū)分出主次。由上表可見主次z”因素BCA負(fù)荷水平270C00次8800C硬度因素水平B250C0A各水平C各水平用極差大小來區(qū)分主次：若某因素的極越大，則該因素對指標(biāo)的影響就越大結(jié)果可以看出是因素Bo綜合平衡考慮：硬度不能低于58（HRC）在這一條件下高負(fù)荷的好水平組合為A2B2C1。試驗結(jié)果的分析很分別的在正交表中進(jìn)行。3 .方差分析這是3元素3水平的無重復(fù)試驗設(shè)計問題。1212v1.0可編輯可修改其效應(yīng)模型為Yjkijkijk333i0,j0,k0約束條件i1j1k1ijkN(0,2),各派是相互獨立設(shè)丫1,丫2,丫9表示從第1號試驗到第9號試驗的試驗指標(biāo)。具體效應(yīng)模型表示如下丫1丫

10、2丫3丫4丫5丫6丫7丫8丫9H01:檢驗假設(shè)總離差平方SSt4SSjj1其中SSj第j列的離差平方和,由于正交表具有均衡分散性和綜合可比性的特點，所以SSj3i13Tjr19(i9丫)21ESS13Eir丫1丫4丫7丫2丫5丫83E丫3丫6丫99=312Yi1同理Ess1313v1.0可編輯可修改ESSj312ESS422記SGSSA為因素A的平方和SS2SSb為因素B的平方和S&SSC為因素C的平方和。SS4SS31則SSC2SSc1SS2SSA2SSb2(31)T-S(91)T(31),-S(31)SSc/2-2(31),SScJ2-2(31)當(dāng)H01為真時，檢驗統(tǒng)計量Fa2生F(2,2

11、)分布;SSC1/2當(dāng)H02為真時，檢驗統(tǒng)計量FbSSCF(2,2)分布；SS1/2當(dāng)H03為真時，檢驗統(tǒng)計量Fc0SNf(2,2)分布。SSC1/2若給定顯著系性水平，拒絕域FF2,2,當(dāng)拒絕H01,則認(rèn)為因素A對試驗指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕H。2,則認(rèn)為因素B對試驗指標(biāo)有顯著影響；當(dāng)拒絕H03,則認(rèn)為因素C對試驗指標(biāo)有顯著影響；利用正交表進(jìn)行方差分析時，要確定自由度可以用如下方法。f總總試驗組數(shù)(n)1SSt;正交表每列的自由度正交表總的自由度f列該列數(shù)字種數(shù)1即每個因素平方和的自由度f因素該因素水平數(shù)11414v1.0可編輯可修改正交表總的自由度=各自由度之和，即f總f列；正交表空白列的自由度=誤差平方和的自由度。若無空白列，則將最小的離差平方和作為誤差平方和，即S&1m.irkSS。將例7的關(guān)于抗壓負(fù)荷的方差列如下表方差分析表方差來源平方和自由度土萌F因素ASSA2.0356fA2SSa1.0178Fa1.3315因素BSSB7.0756fB2SSb3.5378Fb4.6282SSC4.3356fc2SSC2.1678Fc2.8359因素CSSC11.5288fc12SSC0.7644SG14.976ft8總和效應(yīng)是未知參數(shù)，應(yīng)先求效應(yīng)估計值，效應(yīng)估計值大的所對應(yīng)的水平是好水平。前面已經(jīng)分析過因素A,C對