平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、平面向量知識(shí)點(diǎn)小結(jié)、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意：不能說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段，為什么提示：Luiur舉例1已知A(1,2)，B(4,2)，則把向量AB按向量a注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量可以平移.(1,3)平移后得到的向量是 . 結(jié)果：(3,0)0，規(guī)定：零向量的方向是任意的；UUU2. 零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作:3.單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與AB共線(xiàn)的單位向量是Luur -Au-)； 1 AB|4. 相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5. 平行向量(也叫共線(xiàn)向量)：方向相同或相

2、反的非零向量a、b叫做平行向量，/ b，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線(xiàn)向量，但共線(xiàn)向量不一定相等； 兩個(gè)向量平行與與兩條直線(xiàn)平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線(xiàn)，但兩條直線(xiàn)平行不包含兩條直線(xiàn)重合; 平行向量無(wú)傳遞性！(因?yàn)橛?)；uuur uur 三點(diǎn)A、B、C共線(xiàn) AB、AC共線(xiàn).6. 相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量舉例2如下列命題：(1)若la | | b|，則a b .(2)(3)(4)(5)(6)二、向量的表示方法1. 幾何表示：用帶箭頭的有向線(xiàn)段表示，如2. 符號(hào)表示：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，3. 坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，

3、 基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a xir 做向量a的坐標(biāo)表示.結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同三、平面向量的基本定理定理 設(shè)e1,e2同一平面內(nèi)的一組基底向量，2)，使 a 1e2e2 .(1)定理核心：a注 活2 ； (2)從左向右看，是對(duì)向量a的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對(duì)向量a的合成.(3)向量的正交分解：當(dāng)&&時(shí)，就說(shuō)a需 也為對(duì)向量a的正交分解.舉例 3(1)若 a (1,1)，b (1, 1)，c ( 1,2)，則 C .結(jié)果：兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同 Luur ULLU若AB DC，則ABCD是平行四邊

4、形.若ABCD是平行四邊形，則 AB Dc .若 a b ， b c，貝u a c.若a/b，b/C則a/zC.其中正確的是.結(jié)果：(4) (5)記作： a(1,.a的相反向量記作 a .uuuAB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后； 如 a， b， C 等;以與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量T , r為yjr (x, y)，稱(chēng)(x, y)為向量a的坐標(biāo)，5(x, y)叫a是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)1a 2b.2 2(2) 下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A. e (0,0)，e (1, 2) B. & ( 1,2)，&(5,7)uiur uuu(3) 已知AD,B

5、E分別是 ABC的邊BC，AC上的中線(xiàn)4bb .3ujiruuiruur uuuuuu"(4) 已知 ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD 2DB，CD rAB sAC，貝r s 的值是四、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)(1)(2) 反，當(dāng)2 r-a3C. e (3,5)，e? (6,10) D.(2, 3)，& g,luiLT ruuu r uuur r 一,且AD a， BE b ,則BC可用向量a,b表示為 .與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:模: 1 ai | | iai；方向：當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同，當(dāng)0時(shí)結(jié)果：0.34結(jié)果:0時(shí)，a的方向與a的方向相

6、注意：a 0.五、平面向量的數(shù)量積1.兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a , b，作OA a , OB b ,則把 AOB (0 為向量a, b的夾角.b同向；當(dāng)時(shí),2. 平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量.uuuuuruuu舉例 4(1) ABC 中，IABI 3，I AC I 4，I BC I 5，b反向；當(dāng) 3時(shí)，a , b垂直.a , b ,它們的夾角為，我們把數(shù)量I a II b I cosa b ,即 a b I a I b I cos .Luur luir 貝U AB

7、BC結(jié)果：9.(2) 已知 a 1,1 ，b 0, 1 ，c a kb，dab，c 與 d 的夾角為 _，則 k224(3) 已知 IaI 2， ItI 5，ab 3，則abI .(4) 已知a,b是兩個(gè)非零向量，且iOi IbI Ia bI，則a與3. 向量b在向量a上的投影：舉例5已知|0| 3 , |b| 5，且Ob結(jié)果：1.結(jié)果：y/23 .a b的夾角為.結(jié)果：30o.|b|cos，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于12，則向量a在向量b上的投影為.結(jié)果：a b等于a的模ia I與b在a上的投影的積 ，則：0.1254. a b的幾何意義：數(shù)量積5. 向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量rr(1

8、) a b a b 0 ；(2) 當(dāng)a、b同向時(shí)，a b |a| |b|，特別地，a2 a arrrb |a|b|是a、b同向的充要分條件；a、b反向時(shí)，為銳角時(shí)，為鈍角時(shí)，b，其夾角為I a I2 |a|a當(dāng)當(dāng)當(dāng)a b I a I I b I， a brrrb 0，且a、b不同向, b 0，且a、b不反向;|a| |bI是a、 r r a b r r a b(3)非零向量b夾角的計(jì)算公式:cos舉例6( 1)已知a(,2)，b (3|a|b|,2)，如果a與b的夾角為銳角，貝U的取值范圍是' b反向的充要分條件； 為銳角的必要不充分條件; 為鈍角的必要不充分條件r r r r: a

9、b |a|b |.結(jié)果:(2)已知 OFQ的面積為(3)已知 a (cosx,sinx)，uuu 1FQ 1，若丄 S2b (cosy,sin y)，且滿(mǎn)足 | kOS，且 OF反 uur uur ,- 空，則OF , FQ夾角 2b173a kb| (其中 k的取值范圍是用k表示a b ；求a b的最小值，并求此時(shí)a與b的夾角的大小.結(jié)果：a b(k 0)；最小值為-,260o.八、向量的運(yùn)算1.幾何運(yùn)算(1) 向量加法r uuub ABuur uuu BC AC ;運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則 .r運(yùn)算形式：若Ab a，BC b，則向量Ac叫做a與b的和，即a作圖：略.注：平行四邊

10、形法則只適用于不共線(xiàn)的向量.(2) 向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.uuu r uuu r r r uuu uur uui運(yùn)算形式：若 AB a， AC b，則a b AB AC CA，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).uuu uuu uuu舉例7(1)化簡(jiǎn)：AB BC CDuuu uur uuu; AB AD DCuuu；(ABuurCD)uur uiir(AC BD)； 0 ；uuuruuu rluirrr rr(2 )若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1， ABa，BC b， AC c，則| a bc|結(jié)果:272(3 )若O是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足luu uu" uur uu

11、r lOB OC lOB OC2OA，則/'ABC的形狀為.結(jié)果:(4 )若D為ABC的邊BC的中點(diǎn)，. ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿(mǎn)足uuPAuuu BPUAH冷0，設(shè)血，則2；uuruuuuuu r|PD|(5)若點(diǎn)O是 ABC的外心，且 OAOBCO 0，貝y ABC的內(nèi)角C為結(jié)果：120o .直角三角形;的值為結(jié)果:作圖：略.注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同uur結(jié)果：AD ；_ uuuCB線(xiàn)上.2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a (x,y1)，b(1)向量的加減法運(yùn)算：舉例 8(1)已知點(diǎn) A(2,3)，B(5,4)結(jié)果：1 ；2(X2,y2)，貝y(X1X2, y1uuuC(7,10)，若

12、APuuuABy2)，uurAC(a b(xiR)，則當(dāng)X2, y1y2).在第一、三象限的角平分時(shí)，點(diǎn)P彳uuu(2) 已知 A(2,3)，B(1,4)，且 aB2LT(3) 已知作用在點(diǎn)A(1,1 )的三個(gè)力F1(2)實(shí)數(shù)與向量的積：ur(sin x,cos y)， x, yuu(3,4)，F(xiàn)2(2,(?,2)，則urluuuuuuu5)，F(xiàn)3(3,1)，則合力FF1F2F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是結(jié)果：(9,1).a(X1, y1)uuuAB(3)若 A(X1,y1)， B(x2, y2)，則量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)1 uur AB，3uur舉例 9 設(shè) A(2,3)， B( 1,5)，且

13、 ACuurAD(X2urur3AB，(4)平面向量數(shù)量積：a已知向量 a (sinx,cosx)，舉例10(1)(2)bx,x2yy.b (sin x,sin x)， Cx 3,求向量a、c的夾角;X y,才，函數(shù) f(x) a Ib的最大值為X, y).yj，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向X, y2則C,D的坐標(biāo)分別是(1,0).求的值.結(jié)果:(1) 150。；( 2)丄或2結(jié)果:呼 7,9).(5)向量的模：a2 | a |2舉例11已知a,b均為單位向量，它們的夾角為|a|60o，那么 |a 3b|結(jié)果：寸13 .(6)兩點(diǎn)間的距離：若舉例12如圖，在平面斜坐標(biāo)系 的斜坐標(biāo)是這樣定義的

14、：若 OP 位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(X, y).(1) 若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2, 2)，(2) 求以O(shè)為圓心，1 結(jié)果：(1)2；(2)七、向量的運(yùn)算律B(X2,y2)，貝y |AB| J(X260o，平面上任一點(diǎn)A(X1,y1)，xOy 中， xOy xe ye2，其中e,e2分別為與X軸、求P到O的距離|PO| ；為半徑的圓在斜坐標(biāo)系2xOy中的方程.P關(guān)于斜坐標(biāo)系y軸同方向的單22X) (y2 yj .1.交換律：r a1 b1 ba，(a)()a，a bb a ；2.結(jié)合律：r ar br c(ab) c，r ar br ca(b c)，(a)b (arrrb) a ( b)；3.分配律

15、：()aaa，(arb)ab，(ab) c a cb c.舉例13給出下列命題:a (b£)a ba c ；a(b c)(a b) c ；(a by向2r rr 22|a|b| |b|2 ；若a b 0.，則a0或b0 ；若a b cb則ac ； | a|2 ar r2 :孕b ；®(a b)2 a2ab2 ;(a b)2 a其中正確的是結(jié)果：.1 0 .xy2a b b2.2 Xy說(shuō)明：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩 邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量

16、，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿(mǎn)足結(jié)合律，即a (b C) (a b) c，為什么八、向量平行舉例(2)(3)a/b14 (1)已知aur設(shè)PA(共線(xiàn))的充要條件 a b若向量(1,1)，(ar b)： a(x,1)，b b (4,x)， ullu(|a|b|)2(4,x)，當(dāng) X a 2b， V mir(k,12)， PB (4,5)，PC (10,k)，貝U k細(xì)2 y1X20.時(shí)，a與b共線(xiàn)且方向相同2$ b，且 U / /V，貝U X .時(shí)，A,B,C共線(xiàn).結(jié)果：2.結(jié)果：4.結(jié)果：2或11.九、向量垂直的充要條件特別地舉例15 (1)a buuuABuuu|AB

17、|uujf 已知OA0 |auuuACuuu|AC|b | |auuuABuuu|AB|(1,2),ujurOB(3,m),b |% X2 y1 y2uurAC LULr.| AC|uuu UUL 若 OA OB，貝U m0.以原點(diǎn)已知nO和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形 OAB，(a,b)向量n m，且|“|曲|，則m的坐標(biāo)是3m 2 ；B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_結(jié)果：(b, a)或(b,a).結(jié)果:(2)(3)十、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)1.定義：設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)PP2上異于P、F2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)結(jié)果：(1,3)或(3, 1);uuu，使PPLturPP2，則實(shí)數(shù) 點(diǎn).2.uuuu叫

18、做點(diǎn)P分有向線(xiàn)段RP2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線(xiàn)段uuuu ,、,、P Pa的以疋比為的疋比分的符號(hào)與分點(diǎn)(1) p內(nèi)分線(xiàn)段(2) P外分線(xiàn)段向延長(zhǎng)線(xiàn)上 1p的位置之間的關(guān)系uiuuPP2，即點(diǎn)P在線(xiàn)段PP2上0 ；uuuuPP2時(shí)，點(diǎn)P在線(xiàn)段PP,的延長(zhǎng)線(xiàn)上0.1，點(diǎn)P在線(xiàn)段PP2的反注：若點(diǎn)P分有向線(xiàn)段PP;所成的比為 ，則點(diǎn)P分有向線(xiàn)段uujnP2P所成的比為丄.舉例16若點(diǎn)P分Ab所成的比為3，則A分BP所成的比為43.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：結(jié)果:73設(shè) P(X1,y1)，LUUUP2(X2,y2)，點(diǎn)P(x,y)分有向線(xiàn)段PP2所成的比為，則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為XX,1 ( yy_y

19、1 .1).特別地，當(dāng)X1時(shí)，就得到線(xiàn)段PP?的中點(diǎn)坐標(biāo)公式y(tǒng)X1 X22y1y22.說(shuō)明：(1)在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確 (x,y)，(x,%)、(X2,y2)的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn),(2)舉例終點(diǎn)的坐標(biāo)(2)在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比UJUL17(1)若 M ( 3, 2) , N(6, 1)，且 MPd uuuu-MN，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為3,uuuu已知A(a,0)，B(3,2 a)，直線(xiàn)y 與線(xiàn)段AB交于M，且AMuuur2MB，貝U a結(jié)果:(6,73)；結(jié)果：2或 4.卜一、平移公式如果點(diǎn)P(x,y)按向量a (h,

20、k)平移至P (x,y)，則xyx h,;曲線(xiàn) f(x,y)y k.0按向量a (h,k)平移得曲線(xiàn)f(x h, y k) 0.說(shuō)明：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系( 2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊! 舉例18 (1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點(diǎn)(7,2)平移到點(diǎn). 結(jié)果:(8,3)；(2)函數(shù)y sin 2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1，則舌結(jié)果：(_ ,1).4十二、向量中一些常用的結(jié)論1. 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;2. 模的性質(zhì)：iai |b|(1)(2)右邊等號(hào)成立條件:左邊等號(hào)成立條件:|a b| |a| |b|.a、b同向或a、b中有0TTT