球的體積和表面積推導(dǎo)過程培訓(xùn)講學(xué)

1、球的體積和表面積推導(dǎo)過程R3324:,.33VRVR 半半球球猜猜測(cè)測(cè)從從而而?V 半半球球313VR 圓圓錐錐333VR 圓圓柱柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比球的體積球的體積 學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先來回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法來回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法 我們把一個(gè)半徑為我們把一個(gè)半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是拼接起來，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是.RR 和和 的的矩矩形形2.R 那那么么圓圓的的

2、面面積積就就近近似似等等于于當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式窮大時(shí)，就得到了圓的面積公式下下面面我我們們就就運(yùn)運(yùn)用用上上述述方方法法導(dǎo)導(dǎo)出出球球的的體體積積公公式式即先把半球分割成即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似體積，并部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮將這些近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮n變?yōu)闊o窮變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積分割分割求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和問題問題

3、:已知球的半徑為已知球的半徑為R,用用R表示球的體積表示球的體積.21,rRR222() ,RrRn2232() ,RrRn AOB2C2AOOR(1)Rin i第第 層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的半半徑徑：22(1) ,1, 2,.iRrRiinn irOA32211() ,1,2,iiRRiVrinnnn 22(1) ,1,2,iRrRiinn12nVVVV 半半球球3222212(1)Rnnnn 321(1)(21)6Rnnnnnn 321(1)(21)16nnRn 311(1)(2)16nnVR 半半球球1,0.nn 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)3324.33VRVR半半球球 從從而而343VRR

4、定定理理：半半徑徑是是 的的球球的的體體積積為為：若每小塊表面看作一個(gè)平面若每小塊表面看作一個(gè)平面,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面,球心作為球心作為頂點(diǎn)便得到頂點(diǎn)便得到n個(gè)棱錐個(gè)棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)當(dāng)n越大越大,越接近于球的體積越接近于球的體積,當(dāng)當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)就精確到等于球的體積趨近于無窮大時(shí)就精確到等于球的體積.球的表面是曲面球的表面是曲面,不是平面不是平面,但如果將表面平均分割成但如果將表面平均分割成n個(gè)小塊個(gè)小塊,每小塊表面可近似看作一個(gè)平面每小塊表面可近似看作一個(gè)平面,這這n小塊平面面積之和可近似看小塊平面面積之和可近似

5、看作球的表面積作球的表面積.當(dāng)當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)趨近于無窮大時(shí),這這n小塊平面面積之和接近于小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積甚至等于球的表面積. 球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，出，如何求球的表面積公式呢如何求球的表面積公式呢?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法,是否是否也可借助于這種也可借助于這種極限極限思想方法思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢來推導(dǎo)球的表面積公式呢? 下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式球的表面積球的表面積第一步：分

6、割第一步：分割球面被分割成球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：個(gè)網(wǎng)格，表面積分別為：123,nSSSS，則球的表面積：則球的表面積：123nSSSSS 則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)設(shè)“小小錐錐體體”的的體體積積為為iV123nVVVVV iSO OO O第二步：求近似和第二步：求近似和ih 由第一步得：由第一步得：123nVVVVV 11223311113333nnVShShShSh 13iiiVShO OiS iV O O第三步：化為準(zhǔn)確和第三步：化為準(zhǔn)確和13iiVS R 如果網(wǎng)格分的越細(xì)如果網(wǎng)格分的越細(xì), ,則則: “: “小錐體小錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐2311113333inVS RS RS RS R2311(.)33inRSSSSRS 343VR 又又球球的的體體積積為為：RiS O OiV 23441,33RRSSR 從從而而ihR 的的值值就就趨趨向向于于球球的的半半徑徑ih O OiS iV 1. 球的表面積球的表面積設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R, 則球的表面積則球的表面積S_ .2. 球的體積球的體積設(shè)球的半徑為