安徽省蕪湖市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期蕪湖市中學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高二年級數(shù)學(xué)試題卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.等比數(shù)列中，，則為（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，依題意，列出關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解之即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，依題意，解得，．，故選：D.2.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于ABD，若向量共面，利用空間向量基本定理建立方程組，可得方程組無解．對于C，根據(jù)判斷．【詳解】因?yàn)闃?gòu)成空間的一個基底，所以不共面．選項(xiàng)A，若向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使，可得，方程組無解．所以不共面；選項(xiàng)B，若向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使，可得，方程組無解．所以不共面．選項(xiàng)C，因?yàn)橄蛄克怨裁妫x項(xiàng)D，若向量共面，存在實(shí)數(shù)，，使，可得，方程組無解．所以不共面．故選：C．3.已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)a為（）A. B. C.0或 D.0或【答案】C【解析】【分析】進(jìn)出兩條直線不相交時的值，再驗(yàn)證即得.【詳解】當(dāng)直線與直線不相交時，，解得或，當(dāng)時，直線與平行，當(dāng)時，直線與平行，所以實(shí)數(shù)a為0或.故選：C4.拋物線的焦點(diǎn)為F，A為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則線段FA的中垂線與拋物線的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切C.相離 D.以上都有可能【答案】B【解析】【分析】求出直線AF的中垂線方程，代入，可得，即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以中垂線的斜率為，所以直線的中垂線方程為，代入，可得∴，∵線段FA的中垂線與拋物線相切.故選：B5.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為C，點(diǎn)B關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為D，則向量的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸、平面的對稱性性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】，點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)為，，點(diǎn)B關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為.則.故選：B.6.“陶辛水韻”于1999年被評為蕪湖市新十景之一，每年入夏后，千畝水面蓮葉接天，荷花映日，吸引遠(yuǎn)道游客紛至沓來，坐上游船穿過一座座圓拱橋，可以直達(dá)“香湖島”賞荷．圓拱的水面跨度20米，拱高約5米．現(xiàn)有一船，水面以上高3米，欲通過圓拱橋，船寬最長約為（）A.12米 B.13米 C.14米 D.15米【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出圓的方程為.代入，得出，即可得出答案.【詳解】如圖，拱形橋，以所在的直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，圓心在軸上，設(shè)，則有，即，整理可得，解得，所以，圓心為，半徑為，所以，圓的方程為.設(shè)，則有，解得.所以，要使小船通過圓拱橋，船寬最長為.因?yàn)?，所?故選：B.7.已知橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，點(diǎn)P為橢圓外一點(diǎn)，線段PA，PF恰好均被橢圓平分，且與橢圓分別交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)時，橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)和M為PA的中點(diǎn)得到，從而得到點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，再根據(jù)軸，由求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)镸為PA的中點(diǎn)，所以，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，代入橢圓方程得，因?yàn)檩S，所以，整理得，即，解得或（舍去），故選：A8.已知數(shù)列滿足：，則下列命題正確的是（）A.若數(shù)列為常數(shù)列，則 B.存在，使數(shù)列為遞減數(shù)列C.任意，都有為遞減數(shù)列 D.任意，都有【答案】D【解析】【分析】解方程判斷A,利用單調(diào)性結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法判斷BD,舉反例判斷C.【詳解】對A:若數(shù)列為常數(shù)列，則，解得或，故A錯誤；對B:易得，若為遞減數(shù)列，則，解得或且，故不存在使得遞減數(shù)列，故B錯誤；對C,令，則，故不是遞減數(shù)列，故C錯誤；對D,用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)顯然成立，假設(shè)當(dāng)，則時，，故當(dāng)時成立,由選項(xiàng)B知，對任意則數(shù)列為遞減數(shù)列，故故D正確故選：D【點(diǎn)睛】利用遞推關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明，是本題關(guān)鍵.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分.9.下列說法中正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.一質(zhì)點(diǎn)A沿直線運(yùn)動，位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，則該質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度是【答案】AD【解析】【分析】利用求導(dǎo)公式可判斷ABC選項(xiàng)；求導(dǎo)代入求出可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A，，故A正確；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若，則，故C錯誤；對于D，若，，，故該質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度是，故D正確.故選：AD.10.如圖，在三棱柱中，M，N分別是線段上點(diǎn)，且．設(shè)，且均為單位向量，若，則下列說法中正確的是（）A.與的夾角為 B.C D.【答案】BD【解析】【分析】由空間向量的運(yùn)算法則和空間向量的夾角公式、模長公式、數(shù)量積的定義對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，，，，所以與的夾角為，又，所以與的夾角為，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，，所以，，，故B正確；對于C，，，，，，，，.故C錯誤；對于D，，.故D正確.故選：BD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q和點(diǎn)M分別在y軸和拋物線上且，則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)M坐標(biāo)為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若線段MF與x軸垂直時長度為4，則拋物線方程為C.以線段MF為直徑的圓與y軸相切D.若點(diǎn)Q坐標(biāo)為且，則或【答案】ACD【解析】【分析】對A：代點(diǎn)計算即可得；對B：線段MF與x軸垂直時長度為4，則有，計算即可得；對C：由拋物線定義可得，即可得半徑，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)可得圓心坐標(biāo)，即可得圓心到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可得；對D：結(jié)合題意計算即可得.【詳解】對A：若點(diǎn)M坐標(biāo)為，則有，即，則其準(zhǔn)線方程為，故A正確；對B：若線段MF與x軸垂直時長度為4，即，故或（舍去），故，故B錯誤；對C：設(shè)，有，則，中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，此時，該點(diǎn)到軸的距離為，以線段MF為直徑的圓的半徑亦為，故以線段MF為直徑的圓與y軸相切，故C正確；對D：若點(diǎn)Q坐標(biāo)為且，則有，由，故，化簡得，即，則，則，化簡得，即，故或，故D正確.故選：ACD.12.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線．后經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圓錐軸截面的頂角為時，用一個與旋轉(zhuǎn)軸所成角為的平面（不過圓錐頂點(diǎn)）去截該圓錐面，則截口曲線（圓錐曲線）的離心率為．比如，當(dāng)時，，即截得的曲線是拋物線．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中放置一個圓錐，頂點(diǎn)，底面圓O的半徑為2，直徑AB，CD分別在x，y軸上，則下列說法中正確的是（）A.已知點(diǎn)，則過點(diǎn)的平面截該圓錐得的截口曲線為圓B.平面MAB截該圓錐得的截口曲線為拋物線的一部分C.若，則平面MEF截該圓錐得的截口曲線為雙曲線的一部分D.若平面截該圓錐得的截口曲線為離心率是的雙曲線的一部分，則平面不經(jīng)過原點(diǎn)O【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)情境，由題可知，再對每個選項(xiàng)，求出過點(diǎn)的平面與旋轉(zhuǎn)軸所成角的余弦，即的值，代入求值，從而利用離心率的范圍判斷截口曲線類型即可．【詳解】對于A：只有過點(diǎn)M，N且與底面平行的平面截該圓錐得的截口曲線才是圓，其他情況均不是圓，故A不正確；對于B：由題得底面圓O的半徑為2，則，，則M為SD中點(diǎn)，易知平面，平面，所以，又平面MAB，平面MAB，所以平面MAB，又易知，所以平面MAB與旋轉(zhuǎn)軸OS所成角為，，即，所以，所以平面MAB截該圓錐得的截口曲線為拋物線的一部分，故B正確；對于C：，則，設(shè)平面MEF的一個法向量為，則，取，則，故，所以，故，所以平面MEF截該圓錐得的截口曲線為雙曲線的一部分，故C正確；對于D：若平面截該圓錐得的截口曲線為離心率是的雙曲線的一部分，則，所以平面，故平面不經(jīng)過原點(diǎn)O，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解截口曲線（圓錐曲線）的離心率的定義，結(jié)合空間向量法即可得解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為___________．【答案】【解析】【分析】由雙曲線方程寫出漸近線方程，即可判斷夾角大小.【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為，顯然漸近線斜率乘積為，所以兩條漸近線垂直，即兩條漸近線的夾角大小為.故答案為：14.圓與圓的公共弦所在直線方程為___________．【答案】【解析】【分析】兩相交圓的方程相減后，即可求得兩圓公共弦所在直線方程.【詳解】由可得圓心為，半徑為，由可得圓心為，半徑為，兩圓圓心距離為，兩半徑之和為，兩半徑之差為，有，故兩圓相交，兩圓方程作差為，化簡可得，即兩圓公共弦所在直線方程為.故答案為：.15.已知數(shù)列是公差相等的等差數(shù)列，且，若為正整數(shù)，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為___________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，由可得，代入可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由，可得，解得，，，所以.故答案：.16.已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)（不同于M，N），若點(diǎn)Q滿足，則點(diǎn)Q到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，代入橢圓方程可得，再由題意可得，設(shè)，直接列方程即可出軌跡的方程，所以，由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)，由已知，，，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，，即，∴軌跡的方程為.所以，點(diǎn)Q到坐標(biāo)原點(diǎn)距離為，因?yàn)?，，所?點(diǎn)Q到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是求出，即可求出軌跡的方程，設(shè)，由兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知圓，直線．（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；（2）若直線l被圓C截得的弦長為，求m的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）將化為即可得答案；（2）由弦長求得圓圓心到的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得答案．【小問1詳解】直線方程可化為由可得所以直線l恒過定點(diǎn).【小問2詳解】化為，圓心，半徑，設(shè)圓心到直線l的距離為，因?yàn)橹本€l被圓C截得的弦長為，所以，所以解得．18.已知函數(shù)與函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求曲線與曲線在公共點(diǎn)處的公切線方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合條件即得；（2）設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)，進(jìn)而即得.【小問1詳解】，，.在點(diǎn)處的切線方程為：；【小問2詳解】設(shè)曲線與曲線的公切點(diǎn)為，，，令，即，或（舍），，∴所求公切線方程：，即.19.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列為等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】19.20.【解析】【分析】（1）令，設(shè)數(shù)列公差為d，列式計算求出，可得，再根據(jù)與關(guān)系求出；（2）由（1）代入求出，利用分組求和和裂項(xiàng)相消法求得結(jié)果.【小問1詳解】記，設(shè)數(shù)列公差為d，則，解之得則，則，當(dāng)時，也符合，則.【小問2詳解】，則.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．若點(diǎn)O，M分別為棱AC，PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱PC上，且滿足．（1）求線段MN的長；（2）求平面ACM與平面BON夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得出向量數(shù)量積為零，求出，再結(jié)合向量模長公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)空間向量法求出兩個平面的法向量，進(jìn)一步計算求解兩平面夾角的余弦值．【小問1詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，平面ABCD，所以.如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則；因?yàn)椋?，設(shè)，則，所以解得，所以，即.又，則，所以．【小問2詳解】設(shè)平面ACM的一個法向量，由可得：，令，則．，則設(shè)平面ACM的一個法向量，由可得：，令，則．設(shè)平面ACM與平面BON所成的角為，則．21.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為．（1）求，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；（2）當(dāng)時，有恒成立，求正整數(shù)m的最小值．【答案】（1），，證明見解析（2）11【解析】【分析】（1）依題中條件，對進(jìn)行賦值可求得；通過遞推關(guān)系式，令得到新的關(guān)系式，兩者相比，即可證明;（2）先作差考查時的條件，再作差考查時的條件，綜合求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，令，則，，令得，則，由得，由，所以數(shù)列為以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知：，同理：數(shù)列是以3為首相，2為公比的等比數(shù)列，即，則，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，又，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，，綜上知：正整數(shù)m的最小值為11．22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差為