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文檔簡介
1、.專題三全等三角形輔助線作法、“三線合一”法:等腰三角形底邊上的高、中線、頂角的角平分線三線合一.遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質解題注意:有一個內角為60°的三角形一定是等邊三角形倍長中線法:遇到三角形的中線,造全等三角形。倍長中線,即延長中線使延長線段與原中線長相等,構例1、已知,如圖ABC中,例1圖例2圖例2、如圖,ABC中,E、F分別在ARAC上,DELDF,D是中點,試比較BE+CF與EF的大小.例3、如圖,ABC中,BD=DC=ACE是DC的中點,求證:AD平分/BAE.三、角平分線構造全等法:即利用角平分線構造全等三角形法。遇到角平分線有三種添輔助
2、線的方法,(1)可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線,形成一對全等三角形。所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理.(2)可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊相交,形成一對全等三角形。(3)可以在該角的兩邊上,距離角的頂點相等長度的位置上截取二點,然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線,構造一對全等三角形。.(一)角分線上點向角兩邊作垂線構全等1、如圖,已知在ABC中,/B=60°,4ABC的角平分線AD,CE相交于點O,求證:OE=OD圖2-1例1.如圖2-1,已知AB>AD,/BAC=FAC,CD=BC求證:/ADC+B=180分析:可由C向/BAD的兩
3、邊作垂線。近而證/ADCf/B之和為平角。例2.如圖2-2,在ABC中,/A=90,AB=AC/ABDWCBD求證:BC=AB+AD分析:過D作DEBC于E,則AD=DE=CE,則構造出全等三角形,從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題,從中利用了相當于截取的方法。(二):作角平分線的垂線構等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交,則截得一個等腰三角形,垂足為底邊上的中點,該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質與等腰三角形的三線合一的性質。(如果題目中有垂直于角平分線的線段,則延長該線段與角的另一邊相交)。例1.已知:如圖3-1,/BADWDACAB>
4、;AC,CD_AD于D,H是BC中點。1一一求證:DH5(AB-AQ分析:延長C收AB于點E,則可得全等三角形。問題可證。F.例2.已知:如圖3-2,AB=AC/BAC=90,AD為/ABC的平分線,CHBE.求證:BD=2CE分析:給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線,可延長此垂線與另外一邊相交,近而構造出等腰三角形。(三)、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時,常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線,從而構造等腰三角形?;蛲ㄟ^一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交,從而也構造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。圖4-1圖4-2例5如圖,AB/CDAED
5、E分另I平分/BA略/ADE求證:AD=AB+GD(四)截取構全等可以在該角的兩邊上,距離角的頂點相等長度的位置上截取二點,然后從這兩點再向角平分線上的某點作邊線,構造一對全等三角形。例8已知:如圖1-3,AB=2AC/BADWCADDA=DB求證DC!AC分析:此題還是利用角平分線來構造全等三角形。構造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明.例9已知:如圖1-4,在ABC,/C=2ZB,AD平分/BAG求證:AB-AC=CD分析:此題的條件中還有角的平分線,在證明中還要用到構造全等三角形,此題還是證明線段的和差倍分問題。用到的是截取法來證明的,在長的線段上截取短的線段,來證明。試試看可否把
6、短的延長來證明呢?四、截長法與補短法:具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關性質加以說明.這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.(一)截長在長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條;1 .已知:如圖,ABC,AD平分/BAC若/C=2/B,證明:AB=AC+CD.2 .已知:如圖,4ABC中,/A=60°,/B與/C的平分線BE,CF交于點I,求證:BC=BF+CE.(二)補短將一條短線段延長,延長部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長線段3 .已知:如圖,在正方形ABC
7、M,E為AD上一點,BF平分/CBE交CD于F,求證:BE=CF+AE.4 .已知:如圖,在ABC中,AB=AQD為ABC外一點,/ABD=60,AB=BD+DC求證:/ACD=60.5 .已知:如圖,四邊形ABCD43,AB=AD/BAD=60,/BCD=120,求證:BC+DC=AC.五、中垂線法:已知某線段的垂直平分線,那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩個端點作連線,出一對全等三角形。例1、如圖,ABC中,AD平分/BACDGLBC且平分BCDHAB于E,DFLAC于F.(1)說明BE=CF的理由;(2)如果AB=a,AC=b,求AE、BE的長.注意:作平行線、作垂線、作中位線是三
8、角形問題中最常見的輔助線作法(一)作平行線1、如圖,ABCD和CEFG是兩個正方形,AB=a,CE=b,則4BDF的面積是2、已知:如圖,在ABC中,AB=AC,D點在AB邊上,E在AC邊的延長線上,DE交BC于點F,BD=CE,求證:DF=EF.(二)作垂線3、如圖,已知OP平分/AOB,C,D分別在OA、OB上,若/PCO+/PDO=180求證:PC=PD.4、已知:如圖,在ABC中,AB=2AC,/1=/2,AD=BD,求證:CDXAC.5、已知:如圖,ABC中,AB=AC,AB±AC,BM是AC邊上的中線,AD±BM,分別交BC、BM于D、E,求證:/CMD=ZAM
9、B.A(三)構造中位線6 .如圖,在ABC中,D是BC上的靠近B點的三等分點,E是AB的中點,直線AC與DE交于點F,求證:EF=3DE.7 .在ABC中,/B=2/C,M為BC的中點,AD±BC,求證:DM=1/2AB.8 .在正方形ABCD43,對角線AC,BD相交于點O,/CAB的平分線交BD于點F,交BC于點G求證:CG=2OF.全等三角形輔助線的作法一、遇三角形中線常見輔助線若遇到三角形的中線,可倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。二、角平分線常見輔助線1、角分線上點向角兩邊作垂線構全等:過角平分線上一點向角兩邊作垂線,
10、利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質來證明問題2、截取構全等如圖,/AOC=/BOC,如取OE=OF并連接DEDF,則有OEDOFD,從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件.3、延長垂線段遇到垂直于角平分線的線段,則延長該線段與角的另一邊相交,構成等腰三角形4、作平行線、以角平分線上一點做角的另一邊的平行線,構造等腰三角形、通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交,從而也構造等腰三角形三、等腰三角形的“三線合一”性質的逆定理三線合一”性質:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。逆定理:、如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合,那么這個三角形是等腰
11、三角形。、如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合,那么這個三角形是等腰三角形。、如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合,那么這個三角形是等腰三角形?!竞喲灾浚喝切沃腥我鈨删€合一,必能推導出它是一個等腰三角形。四、截長法與補短法遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時,一般方法是截長法或補短法:截長:在長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條;補短:將一條短線段延長,延長部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長線段。、對于證明有關線段和差的不等式,通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊,故可想辦法將其放在一個三角形中證明。、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時,如直接證明不出來,可連接兩點或延長某邊構成三角形,使結論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中,
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