精品推薦函數(shù)的詳解奇偶性與解題

1、第二章 第四節(jié) 函數(shù)的奇偶性題組一函數(shù)的奇偶性的判定1.已知yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 ()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A. B.C. D.解析：由奇函數(shù)的定義驗(yàn)證可知正確，選D.答案：D2.(2010·長郡模擬)已知二次函數(shù)f(x)x2ax4，若f(x1)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A.1 B.1 C.2 D.2解析：f(x)x2ax4，f(x1)(x1)2a(x1)4x22x1axa4x2(2a)x5a，f(1x)(1x)2a(1x)4x22x1aax4x2(a2)x5a.f(x1)是偶函數(shù)，f(x1)f(x1)，a22a

2、，即a2.答案：D3.(2009·浙江高考)若函數(shù)f(x)x2(aR)，則下列結(jié)論正確的是 ()A.aR，f(x) 在(0，)上是增函數(shù)B.aR，f(x)在(0，)上是減函數(shù)C.aR，f(x)是偶函數(shù)D.aR，f(x)是奇函數(shù)解析：當(dāng)a16時(shí)，f(x)x2，f(x)2x，令f(x)0得x2.f(x)在(2，)上是增函數(shù)，故A、B錯(cuò).當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2是偶函數(shù)，故C正確.D顯然錯(cuò)誤，故選C.答案：C題組二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用4.已知函數(shù)f (x)ax4bcosxx，且f (3)7，則f (3)的值為 ()A.1 B.7 C.4 D.10解析：設(shè)g(x)ax4bcosx，則g(x)g(x

3、).由f (3)g(3)3，得g(3)f(3)34，所以g(3)g(3)4，所以f (3)g(3)3431.答案：A5.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x4)f(x)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)2x2，則f(7)()A.2 B.2 C.98 D.98解析：由f(x4)f(x)，得f(7)f(3)f(1)，又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)，f(1)2×122，f(7)2.故選A.答案：A6.設(shè)函數(shù)f(x)(xR)為奇函數(shù)，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，則f(5) ()A.0 B.1 C. D.5解析：由f(1)，對f(x2)f(x)f(2)，令x1，得f(1)f(1)

4、f(2).又f(x) 為奇函數(shù)，f(1)f(1).于是f(2)2f(1)1；令x1，得f(3)f(1)f(2)，于是f(5)f(3)f(2).答案：C7.已知函數(shù)f(x)是定義在(，0)(0，)上的偶函數(shù)，在(0，)上單調(diào)遞減，且f()0f()，則方程f(x)0的根的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.3解析：由于函數(shù)是偶函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞減，因此在(，0)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閒()0f()f()，所以函數(shù)f(x)在(，)上與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，必在(，)上也有一個(gè)交點(diǎn)，故方程f(x)0的根的個(gè)數(shù)為2.答案：C8.(2010·濱州模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時(shí)，

5、f(x)2008xlog2008x，則方程f(x)0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為.解析：當(dāng)x0時(shí)，f(x)0即2008xlog2008x，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)f1(x)2008x，f2(x)log2008x的圖象(圖略)，可知兩個(gè)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f(x)0只有一個(gè)實(shí)根，又因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，方程f(x)0也有一個(gè)實(shí)根，又因?yàn)閒(0)0，所以方程f(x)0的實(shí)根的個(gè)數(shù)為3.答案：3題組三函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合問題9.定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對任意x1，x20，)(x1x2)，有0，則()A.f(3)f(2)f(1) B.f(1)f(2)f(3)C.f(2)f(

6、1)f(3) D.f(3)f(1)f(2)解析：由已知0，得f(x)在x0，)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(3)f(2)f(1)，故選A.此類題能用數(shù)形結(jié)合更好.答案：A10.(2009·福建高考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)的部分圖象如右圖所示，則在(2,0)上，下列函數(shù)中與f(x)的單調(diào)性不同的是 ()A.yx21B.y|x|1C.yD.y解析：f(x)為偶函數(shù)，由圖象知，f(x)在(2,0)上為減函數(shù)，而yx31在(，0)上為增函數(shù)，故選C.答案：C11.(2009·山東高考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù).若方程f(x)

7、m(m0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1x2x3x4.解析：由f(x4)f(x)f(4x)f(x)，故函數(shù)圖象關(guān)于直線x2對稱，又函數(shù)f(x)在0,2上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)，故f(0)0，故函數(shù)f(x)在(0,2上大于0，根據(jù)對稱性知函數(shù)f(x)在2,4)上大于0，同理推知函數(shù)f(x)在(4,8)上小于0，故在區(qū)間(0,8)上方程f(x)m(m0)的兩根關(guān)于直線x2對稱，故此兩根之和等于4，根據(jù)f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，函數(shù)f(x)以8為周期，故在區(qū)間(8,0)上方程f(x)m(m0)的兩根關(guān)于直線x6對稱，此兩根之和等于12，綜上四個(gè)根之和等

8、于8.答案：812.(文)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)的區(qū)間1，a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)設(shè)x<0，則x>0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知所以1a3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.(理)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)是奇函數(shù).(1)求a、b的值；(2)若對任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍.解：(1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)0，即0，解得b1，從而有f(x).又由f(1)f(1)，知，解得a2.故a2，b1.(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上為減函數(shù).又因f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t22t)f(2t2k)<0等價(jià)于f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k).因f(x)是減函數(shù)，由上式推得t22t>2t2k，即對一切tR有3t2