剛體轉(zhuǎn)動及角動量守恒--最新

1、剛體轉(zhuǎn)動及角動量守恒剛體的定義剛體的定義 剛體是受力時不改變形狀和體積的物體。剛體是受力時不改變形狀和體積的物體。 或說，或說，剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對其上各質(zhì)點(diǎn)間的相對位置保持不變。位置保持不變。 剛體是個理想化的模型。剛體是個理想化的模型。 質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體質(zhì)點(diǎn)系的規(guī)律都可用于剛體，而且考慮到剛體的特而且考慮到剛體的特點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一般的質(zhì)點(diǎn)系有所簡化。點(diǎn)，規(guī)律的表示還可較一般的質(zhì)點(diǎn)系有所簡化。 第第5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動 剛體平動剛體平動 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動 平動：平動：連接剛體中任意兩連接剛體中任意兩點(diǎn)的線段在運(yùn)動中始終保點(diǎn)的

2、線段在運(yùn)動中始終保持平行。剛體上所有點(diǎn)的持平行。剛體上所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都相同運(yùn)動軌跡都相同,可當(dāng)作質(zhì)可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)來處理點(diǎn)來處理. 特點(diǎn)：特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動各點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、v轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體的剛體的平面運(yùn)動平面運(yùn)動 2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的園周運(yùn)剛體上各點(diǎn)都繞同一轉(zhuǎn)軸作不同半徑的園周運(yùn)動動, 且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。且在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的角度。特點(diǎn)：特點(diǎn)：v 角位移，角速度和角加速度均角位移，角速度和角加速度均相同相同v 質(zhì)點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)在垂直轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)運(yùn)動，且作圓周運(yùn)動且作圓周運(yùn)

3、動.剛體的一般運(yùn)動可看作：剛體的一般運(yùn)動可看作：隨質(zhì)心的平動隨質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+的合成的合成定軸轉(zhuǎn)動參量剛體轉(zhuǎn)軸1. 角位置轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面（包含（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)(t+t)參考方向剛體中任一點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程2. 角位移3. 角速度常量常量靜止靜止勻角速勻角速變角速變角速4. 角加速度變角加速變角加速常量 勻角加速勻角加速勻角速勻角速用矢量表示 或 時，它們與 剛體的轉(zhuǎn)動方向采用右螺旋定則 公式對比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動或剛體平動剛 體 的 定 軸 轉(zhuǎn) 動速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度位移位移角位移角位移勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動勻角速定

4、軸轉(zhuǎn)動勻角速定軸轉(zhuǎn)動勻變速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動勻變角速定軸轉(zhuǎn)動繞定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度繞定軸轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度和加速度Mrv2Mnra 任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動, 且且 ， 都相同都相同Mrtaddv單位：rad-1rad s-2rad srad 50p 51p 52p 53p1rad stsrad100p150pst 50p p 2rad stsp-1rad s-2rad s勻 變 角 速 定 軸 轉(zhuǎn) 動積分求轉(zhuǎn)動方程任意時刻的恒量且 t = 0 時 得得或勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的角位移方程勻變角速定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動方程例例1在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)

5、子可繞垂直在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動開始時，它的其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動開始時，它的角速度角速度 ，經(jīng)，經(jīng)300 s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18 000 rmin-1 轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？比問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？00解解 令令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當(dāng)當(dāng) t =300 s 時時11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct由由2150ddtt得得tttd150d020在在 300 s 內(nèi)

6、轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)43103)300(45022Nrad4503t剛體轉(zhuǎn)動定律引言質(zhì) 點(diǎn)的運(yùn)動定律或剛體平動F = m a慣性質(zhì)量慣性質(zhì)量合合 外外 力力合加速度合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動，服從怎樣的運(yùn)動定律？若剛體作定軸轉(zhuǎn)動，服從怎樣的運(yùn)動定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動慣量Pz*OFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 z 的力矩的力矩 F 一力矩一力矩 M 用來描述力對剛體用來描述力對剛體的轉(zhuǎn)動作用的轉(zhuǎn)動作用0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFFzOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力

7、若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩為零，故 對轉(zhuǎn)對轉(zhuǎn)軸的力矩軸的力矩zFFO（2）合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM （3）剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdijMjiMxLOMy例例 已知棒長已知棒長 L ,質(zhì)量質(zhì)量 M ，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的桌面轉(zhuǎn)動的桌面轉(zhuǎn)動 (如圖如圖)解解xLMmddgmfdd根據(jù)力矩根據(jù)力矩xgxLMMddMgLxgxL

8、MML21d0 xdxr TTRMiTT例如例如TRTTRMiT在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進(jìn)行計(jì)算求求 摩擦力對摩擦力對y軸的力矩軸的力矩Ormz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFrFMsinmrmaFttM （1）單個質(zhì)點(diǎn)單個質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性連接m2mrM 2tmrrFM2iejjjjrmMM（2）剛體剛體 質(zhì)量元受質(zhì)量元受外外力力 ，內(nèi)內(nèi)力力jFejFi外外力矩力矩內(nèi)內(nèi)力矩力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM0jijjiijMMM 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的合合外力矩外力矩成正比，與剛

9、體的成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比成反比.)rmMjjjj2e(轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律IM 2jjjrmI定義轉(zhuǎn)動慣量定義轉(zhuǎn)動慣量OzjmjrjFejFimrId2討論討論IM（1）tIIMdd（2）（3） =常量常量M，0轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律bIM 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律IM 三轉(zhuǎn)動慣量三轉(zhuǎn)動慣量 I 的的意義：意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度轉(zhuǎn)動慣性的量度 . 轉(zhuǎn)動慣量的單位：轉(zhuǎn)動慣量的單位：kgm22jjjrmImrId2物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是對剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，其大小物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是對剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度，其大小反映了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難易程度。反映了改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的難易程度。三、轉(zhuǎn)動慣量三、

10、轉(zhuǎn)動慣量1. 定義定義2. 與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素與轉(zhuǎn)動慣量有關(guān)的因素剛體的質(zhì)量及其分布剛體的質(zhì)量及其分布; ; 轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置; ; 剛體的形狀。剛體的形狀。在（在（SI）中，中，J 的單位：的單位：kgm2 剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)剛體對某一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于每個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘積之和。乘積之和。3. 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算質(zhì)量離散分布的剛體質(zhì)量離散分布的剛體2iirmJ 1m 2m 2r1r2i iJmr可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體轉(zhuǎn)軸 若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則轉(zhuǎn)軸0.75若質(zhì)量連續(xù)分

11、布若質(zhì)量連續(xù)分布dldm dsdm dVdm 質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布線分布線分布體分布體分布面分布面分布 為質(zhì)量的線密度為質(zhì)量的線密度 為質(zhì)量的體密度為質(zhì)量的體密度 為質(zhì)量的面密度為質(zhì)量的面密度注注意意 只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才只有幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才用積分計(jì)算其轉(zhuǎn)動慣量用積分計(jì)算其轉(zhuǎn)動慣量,一般剛體則用實(shí)驗(yàn)求其轉(zhuǎn)動慣量。一般剛體則用實(shí)驗(yàn)求其轉(zhuǎn)動慣量。2Jr dm例例1 求長為求長為L 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。ABLxABL/2L/2Cx解：

12、取軸處為原點(diǎn)建立一維坐標(biāo)系如圖所示，解：取軸處為原點(diǎn)建立一維坐標(biāo)系如圖所示，dm =dx121223222mLLdxxJLLC 332302mLLdxxJLA Lm ACJJ與的關(guān)系：A,C 相距相距L/222)L(mJJCA 平行軸定理平行軸定理 前例中前例中JC 表示相對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，表示相對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，JA 表表示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距示相對通過棒端的軸的轉(zhuǎn)動慣量。兩軸平行，相距L /2，有，有：222231411212mLmLmLLmJJCA cd推廣推廣: 若有任一軸與過質(zhì)心的軸若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行且相距平行且相距d ，剛體對其轉(zhuǎn)動慣剛體對其轉(zhuǎn)動慣

13、量為量為: , 稱為平行軸稱為平行軸定理定理。2mdJJC平行軸定理。2mdJJzCz正交軸定理yxzJJJ例題例題 已知勻質(zhì)矩形薄平板的質(zhì)量是已知勻質(zhì)矩形薄平板的質(zhì)量是m，邊長為邊長為a和和b（如圖），求這薄板對垂直（如圖），求這薄板對垂直板面中心板面中心 C 的軸的軸z轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。 dxabyx解：由圖可見，矩形板在解：由圖可見，矩形板在y方向的尺寸方向的尺寸a不影響不影響J y y。2121mbJy類似地可得類似地可得2121maJx利用利用yxzJJJ薄板的極轉(zhuǎn)動慣量為薄板的極轉(zhuǎn)動慣量為)(12122baJJJyxz例例 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m 半徑為半徑為R 的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量

14、。軸的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。解解:2202022mRdlRmRdmRJRm p pp p在環(huán)上任取一小線元在環(huán)上任取一小線元dldlRmdmp p2 ROdm其質(zhì)量其質(zhì)量2mRJ 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量：均均勻勻圓圓環(huán)環(huán)的的例例 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m ，半徑為半徑為R ，厚為厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為解：取半徑為r 寬為寬為dr 的薄圓環(huán)的薄圓環(huán)lrdrdm p p 2drlrdmrdJ322p p lRdrlrdJJRJ4030212 p pp p 2221m

15、RJlRm p p 可見，轉(zhuǎn)動慣量與可見，轉(zhuǎn)動慣量與l 無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對其軸無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是的轉(zhuǎn)動慣量也是 。221mRJ zoRrdr 例例 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m半徑為半徑為R的勻質(zhì)薄球殼繞過中的勻質(zhì)薄球殼繞過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量。心軸的轉(zhuǎn)動慣量。 sinR d解解: :在球面取一圓環(huán)帶，半徑在球面取一圓環(huán)帶，半徑rRsin224mdmrRdRpp2Jr dm23202sinmRdp 223mR 例例5 5 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m半徑為半徑為R的勻質(zhì)球體繞過球心軸的的勻質(zhì)球體繞過球心軸的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。MR解解: :把球體看作無數(shù)個同心薄球殼的組合把球體看作無數(shù)個同心

16、薄球殼的組合 32443mdmr drRpp233mr drR223JdJr dm4302Rmr drR225mR球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量 的迭加距 為 、半徑為 、微厚為的薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為其中例例 如圖所示，剛體對經(jīng)過棒如圖所示，剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計(jì)算？量如何計(jì)算？( (棒長為棒長為L , 球球半徑為半徑為R）231LmJLL 252RmJOOC 22)RL(mJdmJJOOCOOCO 2225231)RL(mRmLmJJJOOLOL LmOm解：解：常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒勻

17、質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過中心垂直盤面22J =m R123J =m L1轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直其它典型勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過中心垂直板面J = (a + b ) 22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過中心垂直環(huán)面J = m R 2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2J =2m R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸J = (R1 + R2 ) 22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過中心垂直于幾何軸mJ= R + 22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過球心2J =2m R3轉(zhuǎn)動定律例題一合外力矩 應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成 。 合外力矩 與合角加速度 方向一致。在定軸轉(zhuǎn)動中，可先設(shè)一個正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為復(fù)。與時刻對應(yīng)，何時何時則何

18、時 ，則何時恒定恒定。 勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放轉(zhuǎn)動定律例題二T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無摩擦輕繩不伸長輪繩不打滑T2T1G1G2T2T1a a T1 m1 g = m1am2 g T2 = m2a( T2 T1 ) R = J a = R J = m R 22轉(zhuǎn)動平動線-角聯(lián)立解得a=m1m1+ m2+ gm2m21gT1 = m1 ( g + a )T2 = m2 ( g a )m1 gm2 g如果考慮有轉(zhuǎn)動摩擦力矩 Mr ,則 轉(zhuǎn)動式為( T2 T1 ) R Mr= J 再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動定律例題三Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度 細(xì)繩線加速度 a（

19、A）（B）轉(zhuǎn)動定律例題四Rm1m2mm= 5kgm2= 1kg m1= 3kgR = 0.1mT2T1T1T2G1G2 aa對對m1m2m分別應(yīng)用分別應(yīng)用和和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動和剛體轉(zhuǎn)動定律質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動和剛體轉(zhuǎn)動定律m1 g T1 = m1aT2 m2 g = m2a( T1 T2 ) R = J 及 a = R J = mR221得 =(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)常量(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)故由(m1-m2)gR(m1+ m2+ m 2)2 (rad)gt物體從靜止開始運(yùn)動時，滑輪的 轉(zhuǎn)動方程轉(zhuǎn)動定律例題五 從等傾角 處靜止釋放兩勻直細(xì)桿地面兩者瞬時角加速度之比兩者瞬時

20、角加速度之比213 1 1321根據(jù)短桿的角加速度大短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān) 0例例 一個飛輪的質(zhì)量為一個飛輪的質(zhì)量為69kg ，半徑為半徑為0.25m, ,正在以每分正在以每分10001000轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)在要制動飛輪，要求在5.0秒內(nèi)使它均勻減速而秒內(nèi)使它均勻減速而最后停下來最后停下來。已知。已知摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為0.46，求閘瓦對輪子的壓力求閘瓦對輪子的壓力N為為多大？多大？（J = mR2 ）解：飛輪制動時有角加速度解：飛輪制動時有角加速度t02rad/s.920 外力矩是摩擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。外力矩是摩

21、擦阻力矩，角加速度為負(fù)值。 0Nfr 2mRJNRRfMr 2mRNR NmRN784 st 50 rad/s./710410000 分分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 例例 在半徑為在半徑為R,R,質(zhì)量為質(zhì)量為M M的均勻薄圓板上的均勻薄圓板上, ,挖出一個直徑為挖出一個直徑為R R的的圓孔圓孔, ,孔的中心為孔的中心為R/2R/2處處, ,求所剩部分對通過原圓盤中心且與板求所剩部分對通過原圓盤中心且與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。o oZ Zzo解解 用補(bǔ)償法用補(bǔ)償法1I大圓板對大圓板對Z Z軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量2I被挖圓孔對被挖圓孔對Z Z軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量21III2121MRI 被挖圓

22、孔質(zhì)量被挖圓孔質(zhì)量42.22MRRMmpp計(jì)算計(jì)算2I用平行軸定理用平行軸定理222mdIIc222221RmRm2323MR21III222321332321MRMRMRZ ZZ Z一、力矩的功一、力矩的功 -力矩的空間積累作用力矩的空間積累作用-力矩的功力矩的功5.3 力矩作功力矩作功 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理F d rds( sin )sindWF dsFdsFrdMd 21 MdW(sin )sindWF dsFdsFrdMd 合外力矩合外力矩二、力矩的功率二、力矩的功率12,Wtt當(dāng)時 力矩對剛體作功dtdWtWPlimt 0功對時間的變化率功對時間的變化率s

23、inFrdMd MP 若力矩是恒量若力矩是恒量: M)(MMdW 1221 MtMtWPlimlimtt 00比較：比較：21BAWF drWMd力的功力矩的功P F vP M 力 的 功 率力 矩 的 功 率轉(zhuǎn)動動能剛體中任一質(zhì)元 的速率該質(zhì)元的動能對所有質(zhì)元的動能求和轉(zhuǎn)動慣量 JJ得得21221221212121 J)rm(rmEENiiiNiiiNikik 整個剛體的動能為整個剛體的動能為: :212kEJ剛體剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動動能動能平動動能平動動能212kEmv轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能212kEJ比較：比較：四、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理四、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理221122211122ddddM JJJJd

24、tddtdWM dJ dJJ 221122211122ddddMJJJJdtddtdWMdJdJJ2122211122ddddMJJJJdtddtdWJ dJJ 221122211122ddddMJJJJdtddtdWMdJdJJ 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理: :合外力矩作的功等于剛體合外力矩作的功等于剛體轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動能動動能的改變量的改變量. . ddMJJt 外外力矩的功算例撥動圓盤轉(zhuǎn)一周，摩擦阻力矩的功的大小總摩擦力矩 是各微環(huán)帶摩擦元力矩 的積分環(huán)帶面積環(huán)帶質(zhì)量環(huán)帶受摩擦力環(huán)帶受摩擦力矩圓盤受總摩擦力矩 轉(zhuǎn)一周摩擦力矩的總功得粗 糙 水 平 面轉(zhuǎn)軸平放一圓盤剛體的動能定理

25、回憶質(zhì)點(diǎn)的動能定理剛體轉(zhuǎn)動的動能定理由由 力矩的元功力矩的元功轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律則則合外力矩的功合外力矩的功轉(zhuǎn)動動能的增量轉(zhuǎn)動動能的增量稱為動能定理例題一勻質(zhì)圓盤盤緣另固連一質(zhì)點(diǎn)水平靜止釋放通過盤心垂直盤面的水平軸圓盤下擺 時質(zhì)點(diǎn) 的角速度、切向、法向加速度的大小對系統(tǒng)外力矩的功系統(tǒng)轉(zhuǎn)動動能增量其中得由轉(zhuǎn)動定律得則動能定理例題二外力矩作的總功從水平擺至垂直由得代入得本題利用的關(guān)系還可算出此時桿上各點(diǎn)的線速度水平位置靜止釋放擺至垂直位置時桿的勻直細(xì)桿一端為軸動能定理例題三段，外力矩作正功段，外力矩作負(fù)功合外力矩的功從水平擺至垂直由得轉(zhuǎn)軸對質(zhì)心軸的位移 代入得擺至垂直位置時桿的水平位置靜止釋放含平動

26、的轉(zhuǎn)動問題機(jī)械外力非保守內(nèi)力矩力力矩動勢動勢平動轉(zhuǎn)動平動轉(zhuǎn)動系統(tǒng)（輪、繩、重物、地球）左例忽略摩擦外力力矩非保守內(nèi)力矩力平動轉(zhuǎn)動勢平動轉(zhuǎn)動勢可求或此外勢km1T2T例例10 10 如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動慣量為0.01kgm0.01kgm2 2，半徑，半徑為為7cm7cm，物體質(zhì)量為，物體質(zhì)量為5kg5kg，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)，由一繩與倔強(qiáng)系數(shù)k=200N/mk=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)?；嗇S上的摩擦忽略不計(jì)。（1 1）當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時，使物體由靜止）當(dāng)繩拉直，彈簧無伸長時，使物體由靜止而

27、下落的最大距離；而下落的最大距離； （2 2）物體速度達(dá)到最大值的位置及最大速率。）物體速度達(dá)到最大值的位置及最大速率。求：求：1h:( ),.:解設(shè)物體下落最大距離為 開始時物體所在位置為重力勢能零點(diǎn)則根據(jù)機(jī)械能守恒210khmgh22mgh0 49mk. 12122vxTmg TkxTT( ),. 加速度為零時速度最大 設(shè)這時物體的速率為下落的距離為則且km1T2Tmgmgkxx0 245mk. 22211v10kxImvmgx22R2:() 根據(jù)機(jī)械能守恒222mgx - kxv = 1.3m / sI R+ m 角動量角動量 角動量守恒定律角動量守恒定律一一、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)繞固定軸繞固定軸轉(zhuǎn)

28、動轉(zhuǎn)動的角動量的角動量( (動量矩動量矩) ) 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)m 以速率以速率v 、角速度角速度 繞繞z 軸軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, , z 軸軸垂直于轉(zhuǎn)動垂直于轉(zhuǎn)動平面平面xoy。定義質(zhì)點(diǎn)。定義質(zhì)點(diǎn)m 繞繞z 軸軸的角動量為的角動量為: :xyzOr m vmp vrmvmrprL L方向方向: 如圖所示如圖所示;大小大小: sinrmvL 由于由于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)繞固定軸繞固定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, ,則有則有: : 2mrrmvL 12 smkg單位：單位：二二、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的角動量定理的角動量定理及及角動量角動量守恒守恒定定律律由由牛頓第二定律牛頓第二定律: :d pFdt 力矩力矩: :()()d pddrMrFrrppd

29、tdtdt 由于由于: :0drpvmvdt 則則: :()dd LMrpdtdt LddtMdtLdM 或或質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的角動量定理的角動量定理: :1221LLdtMtt 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的角動量的角動量守恒守恒定定律律: :?；蚧騽t則若若CLLd,M 00沖量矩沖量矩質(zhì)點(diǎn)系的角動量守恒定律外由若則或恒矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩為零時，其角動量守恒。同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系若系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動量系統(tǒng)的末態(tài)角動量得不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動量不守恒。可應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動量定理進(jìn)行具體分析討論。剛體的角動量定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量是

30、無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對公共轉(zhuǎn)軸的角動量的疊加 所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量其角動量大小全部質(zhì)元的總角動量對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體剛體的角動量定理1.剛體的合外力矩合外力矩角動量的時間變化率角動量的時間變化率（微分形式）（積分形式）沖量矩沖量矩角動量的增量角動量的增量回憶質(zhì)點(diǎn)的角動量定理（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)的角動量定理2.剛體系統(tǒng)的若一個系統(tǒng)包含多個共軸剛體或平動物體系統(tǒng)的總合外力矩系統(tǒng)的總合外力矩 系統(tǒng)的總角動量的變化率系統(tǒng)的總角動量的變化率系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動量增量系統(tǒng)的總角動量增量角動量守恒的另一類現(xiàn)象角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘

31、積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花樣滑冰中常見的例子角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則變大，乘積保持不變，變大則變小。收臂大小 用外力矩用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩撤除外力矩張臂大小花 樣 滑 冰收臂大小張臂大小先使自己轉(zhuǎn)動起來收臂大小共軸系統(tǒng)的角動量守恒共軸系統(tǒng)若外則恒矢量輪、轉(zhuǎn)臺與人系統(tǒng)輪人臺初態(tài)全靜初人沿某一轉(zhuǎn)向撥動輪子輪末態(tài)人臺輪輪末人臺人臺初得人臺人臺輪輪導(dǎo)致人臺導(dǎo)致人臺反向轉(zhuǎn)動反向轉(zhuǎn)動例如例如靜止釋放求角加速度系統(tǒng)： 輕繩（忽略質(zhì)量）總合外力矩對O的角動量對O的角動量由得同向而解得例例14 人和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量為人

32、和轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動慣量為J0 ,啞鈴的質(zhì)量為啞鈴的質(zhì)量為m , 初始轉(zhuǎn)速為初始轉(zhuǎn)速為1 。求：雙臂收縮由求：雙臂收縮由r1變?yōu)樽優(yōu)閞2時的角速度及機(jī)械能增量。時的角速度及機(jī)械能增量。r2r1mmJ01 1解：由角動量守恒解：由角動量守恒2220121022 )mrJ()mrJ( 1220210222 )mrJ()mrJ( 0122221221221220210212102121022220 )mrJmrJ()mrJ()mrJ()mrJ(E 非保守內(nèi)力作正功非保守內(nèi)力作正功 ，機(jī)械能增加。，機(jī)械能增加。解：由角動量守恒解：由角動量守恒摩擦力矩作負(fù)摩擦力矩作負(fù)功，有機(jī)械能功，有機(jī)械能損失。損失。例例 兩

33、摩擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為兩摩擦輪對接。若對接前兩輪的角速度分別為 1、 2 ，求：求：1) 對接后共同的角速度對接后共同的角速度 ; ; 2) 對接過程中的機(jī)械能損對接過程中的機(jī)械能損失。失。 )JJ(JJ212211 212211JJJJ )JJ()JJ(E222211221212121 )JJ()(JJ21221212 J2J112例例 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M長度為長度為L的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開的均質(zhì)細(xì)桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開始時桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)有一質(zhì)量為始時桿子處于鉛垂?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和桿和桿子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘

34、在一起。試求子發(fā)生完全非彈性碰撞并且和桿子粘在一起。試求: : 1. 碰撞后系統(tǒng)的角速度；碰撞后系統(tǒng)的角速度；2. 碰撞后桿子能上擺的最大角度。碰撞后桿子能上擺的最大角度。 ）LmML43v解：碰撞過程角動量守恒解：碰撞過程角動量守恒 )JJ(LmvMm 43243)L(mJm 231MLJM 223116943MLmLmvL 上擺過程機(jī)械能守恒，得：上擺過程機(jī)械能守恒，得：)cos(LMg)cos(Lmg)JJ(mM 12143212 gL)Mm)(Mm(vmcosarcmax311692143329122 守恒例題三 滿足什么條件時，小球（視為質(zhì)點(diǎn)）擺至鉛垂位置與棒彈碰而小球恰好靜止。直棒

35、起擺角速度勻質(zhì)直棒與單擺小球的質(zhì)量相等兩者共面共轉(zhuǎn)軸水平靜止釋放靜懸彈碰忽略摩擦聯(lián)立解得0.5771.861對擺球、直棒系統(tǒng)小球下擺階段水平擺到彈碰即將開始由動能定理得其中 球、棒相碰瞬間在鉛垂位置，系統(tǒng)受合外力矩為零，角動量守恒。剛要碰時系統(tǒng)角動量剛碰過后系統(tǒng)角動量球棒球棒彈碰階段彈碰過程能量守恒棒下擺為加速過程，外力矩為棒下擺為加速過程，外力矩為重力對重力對O 的力矩。的力矩。重力對整個棒的合力矩與全部重力集中重力對整個棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。解：解： xOmgx例例 一根長為一根長為l 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺求它由此