（精心整理）數(shù)學(xué)建模之微分方程建模與平衡點(diǎn)理論

1、微分方程列微分方程常用的方法：（1）根據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律來建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對微元而不是直接對函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律。（3）模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。一、模型的建立與求解1.1傳染病模型 （1）基礎(chǔ)模型 假設(shè)：t時(shí)刻病人人數(shù)連續(xù)可

2、微。每天每個(gè)病人有效接觸（使病人治病的接觸）的人數(shù)為，時(shí)有個(gè)病人。 建模：t到病人人數(shù)增加 （1） （2） 解得： （3） 所以，病人人數(shù)會(huì)隨著t的增加而無限增長，結(jié)論不符合實(shí)際。 （2）SI模型 假設(shè)：1.疾病傳播時(shí)期，總?cè)藬?shù)N保持不變。人群分為兩類，健康者占總?cè)藬?shù)的比例為s(t),病人占總?cè)藬?shù)的比例為i(t)。 2.每位病人每天平均有效接觸人，為日接觸率。有效接觸后健康者變?yōu)椴∪?。依?jù)：患病人數(shù)的變化率=Ni(t)(原患病人數(shù))* s(t)(每個(gè)病人每天使健康人變?yōu)椴∪说娜藬?shù)) 建模： （4） 由于 （5） 設(shè)t=0時(shí)刻病人所占的比例為，則可建立Logistic模型 （6） 解得： （7）

3、用Matlab繪制圖1，圖2 圖形如下，結(jié)論：在不考慮治愈情況下當(dāng)時(shí)達(dá)到最大值，這時(shí) 時(shí)人類全被感染。未考慮治愈情況。（3）SIS模型假設(shè)：1.疾病傳播時(shí)期，總?cè)藬?shù)N保持不變。人群分為兩類，健康者占總?cè)藬?shù)的比例為s(t),病人占總?cè)藬?shù)的比例為i(t)。 2.每位病人每天平均有效接觸人，為日接觸率。有效接觸后健康者變?yōu)椴∪恕?3.在所有病人中，每天有比例的人能被治愈，治愈后看作可被感染的健康者，傳染病的平均傳染期為。依據(jù)：患病人數(shù)的變化率= （患病人數(shù)的變化率）-(治愈率）建模： （8） （9）令為整個(gè)傳染期內(nèi)每位病人有效接觸的平均人數(shù)，。則有 （10）用Matlab繪制出（圖3，圖5）和 it

4、（圖4，圖6）。結(jié)論：為一個(gè)閾值。，極限值為增函數(shù)，的增減性由的大小確定。，病人比例越來越小，最終趨于0。 （4）SIR模型（某些疾病患者治愈后獲得了很強(qiáng)的免疫力，不會(huì)再次被感染）假設(shè)：總?cè)藬?shù)N不變，將人群分為健康者，病人，和病愈免疫的移除者，他們在總?cè)藬?shù)中所占的比例依次為，。 為病人的日接觸率，為日治愈率，為傳染期接觸數(shù)。 建模：由假設(shè)1得 （11） （12） 令t=0時(shí)健康者與病人所占比例分別為，則有 （13）利用Matlab繪制出，（圖7），（圖8）圖形，圖形稱為相軌線。 相軌線分析：利用相軌線討論解，的性質(zhì)。平面稱為相平面，相軌線在其上的定義域?yàn)闉?（14）消去方程中的，并由得到 （1

5、5） 解得： （16）在定義域內(nèi)，相軌線是上式所表示的曲線，如圖9所示，其中箭頭表示隨著時(shí)間的增加和的變化趨勢。下面分析、和的變化情況（時(shí)它們的極限值分別記做和）不論初始條件如何，病人最終會(huì)消失， ，證明： 首先，由式（13），而，所以存在；由式（11），而，所以存在；由式（11）得存在。其次，若，則由式（11），對于充分大的有，導(dǎo)致，與存在相矛盾。從圖形來看，無論相軌線從何點(diǎn)出發(fā)，最終都將與軸相交。令式（16）中，則最終未被感染的健康者的比例是，為方程 （17）在內(nèi)的根，在圖形上表示為相軌線與s軸在內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。若，則先增加，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大值 （18）然后減小且趨于0，單調(diào)減小至，如圖中由

6、出發(fā)的相軌線。若，則單調(diào)減小至0，單調(diào)減小至，如圖中由出發(fā)的相軌線。結(jié)論：若病人比例有一段時(shí)間增長即認(rèn)為傳染病在蔓延，則為一個(gè)閾值， 時(shí)蔓延?？梢酝ㄟ^減小 使，使傳染病不蔓延。 ，減小時(shí)，增加，也能控制蔓延程度。1.2捕魚模型考察一個(gè)漁場，其中魚量在天然環(huán)境下按一定規(guī)律增長、如果捕撈量恰好等于增長量，那么漁場魚量將保持不變，這個(gè)捕撈量就可以持續(xù)產(chǎn)量模型假設(shè)：為漁場中魚量。1.無捕撈時(shí)，魚的的增長服從logistic規(guī)律，即 （19）其中：表示固有增長率，表示環(huán)境容許的最大魚量，表示單位時(shí)間的增長量。2. 用E表示單位時(shí)間捕撈率，單位時(shí)間捕撈量和漁場魚量成正比，則有單位時(shí)間捕撈量為 （20） 建

7、模：捕撈情況下漁場魚量滿足 （21） 其中：。判斷的穩(wěn)定條件，求式（21）的平衡點(diǎn)，分析其穩(wěn)定性。令式（21）為0，得兩個(gè)平衡點(diǎn)： （22）穩(wěn)定性判斷 當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)穩(wěn)定，點(diǎn)不穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)穩(wěn)定，點(diǎn)不穩(wěn)定。分析：用表示捕撈率，r表示固有增長率。當(dāng)時(shí)，可使魚量穩(wěn)定在，獲得穩(wěn)定產(chǎn)量。當(dāng)時(shí)，穩(wěn)定，漁場干枯。根據(jù)（19），（20）式分別繪制曲線及，使用Matlab繪制圖形如下所示，得兩曲線交點(diǎn)為P，則P橫坐標(biāo)為穩(wěn)定平衡點(diǎn)，縱坐標(biāo)為穩(wěn)定條件下單位時(shí)間的產(chǎn)量，當(dāng)交點(diǎn)位于拋物線頂點(diǎn)時(shí)獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量，此時(shí)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)為， 單位時(shí)間的最大持續(xù)產(chǎn)量為，捕撈率。結(jié)論：將捕撈率控制在固有增長率的一半，即使?jié)O場魚量保

8、持在最大魚量的一半時(shí)，能夠獲得最大的持續(xù)產(chǎn)量。效益模型（經(jīng)濟(jì)效益=總收入收入-成本）假設(shè)：魚銷售單價(jià)，單位捕撈率費(fèi)用是，單位時(shí)間收入為，成本為，單位利潤為，則有 （23）建模：在穩(wěn)定條件下，將式（22）代入式（23）得 （24）求出使利潤最大的捕撈強(qiáng)度為 （25）最大利潤下的漁場穩(wěn)定魚量和單位時(shí)間的持續(xù)產(chǎn)量 （26） （27）結(jié)論：當(dāng)有最大效益時(shí)，捕撈率和持續(xù)產(chǎn)量都減小，漁場應(yīng)保持的穩(wěn)定魚量增加，捕撈成本越大或銷售價(jià)格越低所需減少增大的部分越大。捕撈過度：封閉式捕撈追求利益最大，開放式捕撈只追求利潤。令式（24）中,解,則 (28）當(dāng)時(shí)，利潤經(jīng)營者加大捕撈強(qiáng)度，當(dāng)，經(jīng)營者減小捕撈強(qiáng)度，為盲目捕

9、撈下的臨界強(qiáng)度?；蚶肕atlab繪制曲線如圖（12），則交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為。二、微分方程與平衡點(diǎn)理論2.1一階微分方程設(shè)一階微分方程為 （1）求解方程即可出平衡點(diǎn)。再判斷平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定。判斷平衡點(diǎn)的常用方法有以下兩種（1）直接法將在點(diǎn)作泰勒展開，僅取一次項(xiàng)，則得方程（1）的近似線性方程為 （2）所以，也是方程（2）的平衡點(diǎn)。令，則方程（2）的一般解為對于點(diǎn)的穩(wěn)定性有如下結(jié)論：如果，則對于方程（2）和（1）都是穩(wěn)定的；如果，則對于方程（2）和（1）都是不穩(wěn)定的；（2）間接法如果存在某個(gè)鄰域內(nèi)的任意值，使方程（1）的解滿足 （3）那么是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。2.2二階微分方程設(shè)二階微分方程為 （4）求出方程的解，即為二階微分方程的平衡點(diǎn)記作利用直接法判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，由線性常系數(shù)微分方程組 （5）得系數(shù)矩陣記 （6）為