數(shù)學(xué)物理方法總復(fù)習(xí)(共52頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 第一章 復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的三種表示：代數(shù)表示，三角表示與指數(shù)表示幾個初等函數(shù)的定義式： §1.3導(dǎo)數(shù) Cauchy-Riemann方程§1.4 解析函數(shù)1定義若復(fù)變函數(shù)在點及其鄰域上處處可導(dǎo)，則稱在點解析。注意：如果只在一點導(dǎo)數(shù)存在，而在其他點不存在，那么也不能說函數(shù)在該點解析。例如：函數(shù)在點是否可導(dǎo)？是否解析？解：，由此可見，僅在，u、v可微且滿足C-R條件，即僅于點可導(dǎo)，但在點不解析。在其他點不可導(dǎo)，則它在點及整個復(fù)平面上處處不解析。某一點，函數(shù)解析可導(dǎo)某一區(qū)域，函數(shù)解析可導(dǎo)2解析函數(shù)的性質(zhì)（）幾何性質(zhì)（）調(diào)和性（）共軛性例 已知求 看書上例題&

2、#167;2.1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個實函數(shù)的線積分。因此復(fù)變函數(shù)積分也具有實變函數(shù)積分的某些性質(zhì)。一般說來，積分值不僅依賴于起點、終點。積分路線不同，其結(jié)果也不同.§2.2 柯西定理的應(yīng)用§2.3 不定積分§2.4 柯西公式均屬于考試內(nèi)容！第三章 冪級數(shù)展開（1）比值判別法（達朗貝爾判別法,D Alember）引入收斂圓半徑：（3.2.3）（2）根值判別法（柯西判別法）引入收斂半徑：（3.2.6）§3.3 泰勒級數(shù)的展開2. 其他展開法可用任何方法展開，只要項相同，那么展開結(jié)果一定相同（根據(jù)Taylor展開的唯一性）如利用; 等

3、等！例6 將在點鄰域展開（）解：利用有：例7 在點的鄰域展開解：§3.5 洛朗（Laurent）級數(shù)展開（1）展開中心z0不一定是函數(shù)的奇點；3展開方法的唯一性 間接展開方法：利用熟知公式的展開法 較常用例2 將函數(shù)在內(nèi)展開為Laurent級數(shù)解：因為內(nèi)展開，展開形式應(yīng)為而得到：例3 函數(shù)在下列圓環(huán)域內(nèi)都是處處解析的，將在這些區(qū)域內(nèi)展開成Laurent級數(shù)解： 由于從而，利用可得：結(jié)果中不含負冪次項，原因在于在內(nèi)解析的。由于，從而所以（）所以于是由于可知展開的級數(shù)形式為所以其他例子 見書第四章 留數(shù)定理（殘數(shù)，Residue）4.2 應(yīng)用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分本章沒重點，但是考點

4、在這節(jié)！第五章 傅里葉變換§5.1 Fourier級數(shù)（一）周期函數(shù)的Fourier展開若函數(shù)f(x)以2l為周期，即 ，則可取三角函數(shù)族 （5.1.2）（其中函數(shù)都以2l為周期）作為基本函數(shù)族，將f(x)展開為傅里葉級數(shù)（二） 奇函數(shù)和偶函數(shù)的Fourier展開§5.2 Fourier積分與Fourier變換記住基本的，最重要的公式，能理解即可！5.3 函數(shù)(又叫狄拉克函數(shù)) 函數(shù)的性質(zhì) （見書）第六章 Laplace變換6.3 Laplace變換的應(yīng)用本章沒重點，但是考點在這節(jié)！第七章 數(shù)學(xué)物理定解問題（1）依據(jù)物理規(guī)律（同一類物理現(xiàn)象的共同規(guī)律），將具體的物理問題化為

5、數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)物理方程，稱此方程為泛定方程（共性，一般規(guī)律）。（2）列出具體問題的初始條件（歷史狀態(tài)）和邊界條件（所處環(huán)境）稱為定解條件（個性）。（3）泛定方程提供解決問題的依據(jù)，定解條件提出具體的物理問題，作為一個整體，叫做定解問題?！径ń鈼l件：邊界條件與初始條件物理規(guī)律用偏微分方程表達出來，叫做數(shù)學(xué)物理方程泛定方程（不帶定解條件的數(shù)學(xué)物理方程）定解問題：在給定的定解條件下求解數(shù)學(xué)物理方程】§7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出本小結(jié)導(dǎo)出的偏微分方程主要分為三類（）以波動方程（1-6，14）為代表的雙曲型方程；齊次方程，其中，就是振動在弦上傳播的速度。上式也稱為弦不受外力的橫振動方程（自由振動方

6、程）比如弦在振動過程中還受到外加橫向力（與同方向）的作用，引入力密度（7）修改為（8）（7）稱為弦的自由振動方程，（8）稱為弦的受迫振動方程。再比如考慮重力，作用在此段上的重力為，則，重力與同向。則有：。（）以輸運方程（擴散，熱傳導(dǎo)，7，8）為代表的拋物型方程；，（7.1.25）如果僅在x方向有擴散，則一維擴散方程為，（7.1.26）（iii）穩(wěn)定場問題（Poisson and Laplace equations）（九）穩(wěn)定的濃度分布 見P147-148濃度在空間的分布構(gòu)成一個標量場，在一般情況下，濃度分布是時間的函數(shù)，遵從擴散方程，如果擴散源強度不隨時間變化，擴散運動將持續(xù)進行下去，最終將達

7、到穩(wěn)定狀態(tài)?？臻g中各點的濃度不再隨時間變化，即，則上式變?yōu)椴此煞匠蹋?.1.39）為泊松（Poisson）方程如果源與匯不存在，則得到Laplace方程：。（7.1.40）為Laplace方程。§7.2 定解條件泛定方程表達同一類現(xiàn)象的共同規(guī)律。從物理的角度看，僅有方程還不足以確定物體的運動，因為物體的運動還與起始狀態(tài)以及通過邊界所受到的外界作用有關(guān)。另外，從數(shù)學(xué)的角度看，一個微分方程的通解中往往含有若干個任意常數(shù)或任意函數(shù)，這就使得其解不能唯一確定，為了得到唯一確定的合理解，我們必須根據(jù)不同的實際問題加上相應(yīng)的條件定解條件來確定這些任意常數(shù)的數(shù)值和任意函數(shù)的形式。定解條件即是初始條

8、件和邊界條件的統(tǒng)稱，求解一個數(shù)理方程且滿足一定定解條件的解的問題稱為“定解問題”。（一） 初始條件某時刻，通常取t=0時，作為初始條件。1. 波動方程的初始條件初始條件表示如下： t=0時刻系統(tǒng)中各點“位移” t=0時刻各點的“速度”2. 輸運方程的初始條件（如濃度溫度等） 沒有初始條件的問題 見P154-155穩(wěn)定場方程 無需提初始條件（二） 邊界條件第一類邊界條件 或常數(shù)弦的橫振動：如果弦的兩端固定，其邊界條件為，。1. 第二類邊界條件或常數(shù)即u在邊界外法線方向上方向?qū)?shù)值.表示外法線方向的單位矢量。在一維問題中常以代替。兩端壓力/拉力、自由等情況下的邊界條件講解！熱傳導(dǎo)舉例 設(shè)流入物體內(nèi)

9、的熱流（單位時間通過單位截面積的熱量）為f(t),則邊界條件為：流出：則有具體到細長桿的熱傳導(dǎo)問題，如一端面x=0流入熱流為，另一端(x=l)流出熱流為，于是，例 考慮長為的均勻桿的導(dǎo)熱問題，若（1）桿的兩端溫度保持零度；（2）桿的兩端絕熱；(3)桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱；試寫出該導(dǎo)熱問題在以上三種情況下的邊界條件。解：設(shè)桿的溫度為u(x,t)則（1）（2）因為當(dāng)沿著桿長方向有熱量流動時由Fourier實驗定律（2.1.7）有，其中q為熱流強度，而桿的兩端絕熱，就意味著桿的兩端與外界沒有熱交換亦即沒有熱量的流動（q=0），故有（3）顯然，此時有（三） 定解問題的表述所謂定解問題，就是根據(jù)

10、物理規(guī)律，分析問題的性質(zhì)、條件等導(dǎo)出相應(yīng)的方程（泛定方程）和應(yīng)滿足的初始條件，邊界條件等（定解條件）。解的適定性：有解，唯一性，穩(wěn)定性。§7.4 達朗內(nèi)爾公式（又叫行波法，定解問題）本節(jié)只要求掌握：在無界的情況下一維波動方程初值問題的Dalembert公式及其物理意義。（一）定解問題我們研究弦、桿、傳輸線等是“無限長的”，即在不存在邊界條件，只存在初始條件。研究這樣的定解問題或?qū)懗桑ù藶殡p曲型波動方程，見P164-165）(二） 求通解此即一維無界波動方程的dAlembert公式/解。例1 求定解問題解：由dAlembert公式數(shù)學(xué)物理定解的定解問題的求解方法1. 行波法2. 分離變

11、量法3. 冪級數(shù)的解法4. Green函數(shù)法5. 積分變換法6. 保角變換法7. 變分法8. 數(shù)值計算法第八章 分離變數(shù)法（Fourier級數(shù)法）基本思想：把偏微分方程分解為幾個常微分方程。其中有的常微分方程帶有附加條件而構(gòu)成本征值問題。本征值問題是分離變數(shù)法的核心。本章僅限于本征函數(shù)為三角函數(shù)的情況。主要介紹：一維波動方程、熱傳導(dǎo)方程和二維穩(wěn)態(tài)場方程的解法。（8.1）本小節(jié)總結(jié)一. 分離變數(shù)法的思想、步驟1. 2. 本征值問題 => 本征值 本證函數(shù) 本征解3. 疊加（得到一般解）用初始條件或非齊次邊界條件確定系數(shù)二. 本征值問題（1）見P143介紹部分（2）見P147例1（3）見P1

12、50例2（4）未講（5）未講（6）三. 研究內(nèi)容本節(jié)主要研究了齊次方程的定解問題，求本征值問題中用到（且限于）齊次邊界條件，具體包括：一維波動和一維熱傳導(dǎo)（有界，含時），二維穩(wěn)定場（有界，不含時）四. 矩形區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定問題（例3）疊加原理：（思想）即五. （以上所有求解均是在直角坐標系下的討論）曲線正交坐標系中的表達式（1）柱坐標系中： （2）在平面極坐標系中重點研究了：處理了圓域穩(wěn)定場問題的分離變數(shù)法。（3）在球坐標系中8.2 非齊次振動方程和輸運方程本節(jié)：非齊次振動方程和輸運方程的定解問題的解法(僅限于齊次的邊界條件)（一）（Fourier級數(shù)法）本征函數(shù)法強迫振動是一個非齊次方程。設(shè)弦長

13、為，兩端固定。垂直方向受的外力分布為：。起始位移為，初始速度為，則定解問題的表述為：現(xiàn)用本征函數(shù)法求解：Step（1）：確定本征函數(shù)（要點：根據(jù)定解問題確定相應(yīng)的本征函數(shù)）根據(jù)相應(yīng)的齊次方程在分離變量后（）與相應(yīng)的齊次邊界條件（2）式構(gòu)成本征值問題Step（2）：按本征函數(shù)展開將，非齊次項皆按本征函數(shù)（4）展開，即： （5）（即Fourier系數(shù)不是常數(shù)，而是t的函數(shù)，記為） （6）f（x，t）是給定的，故同理：要求u，實際就是求。（看（5）式）Step（3）：求。將（5）（8）式代入定解問題有：用laplace 變換求解此常微分方程（見P120、P122、P128）。如下： （利用導(dǎo)數(shù)定理：

14、）又因為：（又利用卷積定理：P121 ， ） 由卷積定理，對(9)做反演：將代入（5）式中就得：【第二部分是齊次方程的解見P184： 第一部分則是由于外力引起的貢獻?！浚ǘ┙忸}思想和步驟（本征函數(shù)法）總結(jié)思想：通過引入按本征函數(shù)展開的試探解，將非齊次的偏微分方程定解問題的求解，轉(zhuǎn)化為非齊次的常微分方程的求解。（說明：齊次方程+齊次邊界條件也可用Fourier級數(shù)法）（二）沖量定理法例如，初始條件不為零的兩端固定弦的受迫振動，定解問題可表述為： 既可用本征函數(shù)法直接求解。也可：則可用疊加原理把它分解為兩個定解問題，即并且uI，uII分別滿足：（8.1節(jié) 分離變量法） （沖量定理法）（沖量定量法

15、的前提：其它定解條件都是齊次的，否則就按疊加原理進行分解。邊界條件可為第一、二、三類齊次邊界條件。）沖量定理法要求 下面以受迫振動問題為例討論沖量定理法：非齊次項表示作用力（單位長度、單位質(zhì)量），因此對時間t的累積表示沖量。如：表示在時間內(nèi)的沖量（陰影面積）。這個沖量使系統(tǒng)的速度有一改變量。因是單位質(zhì)量受的外力，由，知道表現(xiàn)為速度的改變量?，F(xiàn)在把內(nèi)速度的改變量認為是在時刻瞬間得到的，而的其余時間則認為沒有沖量作用（即沒力的作用），故方程應(yīng)是齊次方程。在時刻集中得到的速度可置于初始條件中。故在的時間內(nèi)，滿足的定解問題：易看出，理解為“來不及”產(chǎn)生位移；必含有因子，若設(shè)，則上述定解問題變?yōu)椋阂虮硎?/p>

16、內(nèi)的解，在從的解應(yīng)是所有的疊加。當(dāng)時有：即把持續(xù)作用力看作是所有“瞬時力”引起的振動的疊加。小結(jié)：沖量定理法物理內(nèi)涵：把連續(xù)的沖量作用視作許多不連續(xù)的集中沖量作用（即分解為許多脈沖）。的非齊次方程定解問題的齊次方程定解問題分離變數(shù)法本征函數(shù)法把解中的更換為,因為這里的時間起點是.解：應(yīng)用沖量定理法，變?yōu)関的定解問題：參見P168例2，分離變數(shù)法求解齊次方程的定解問題，得到本征解：所有本征振動的疊加成為一般解，即再由初始條件定出積分常數(shù)為：于是，再由（7）式得：（易看出，此解有共振的性質(zhì)。當(dāng)強迫力的頻率等于本征頻率時，振幅無限大。）沖量法亦可用于求解非齊次的輸運方程（證明略：可參見書上P212-

17、P213）即有： “瞬時熱源”變?yōu)椋呵蟪鰒后，再由得到u。例2 （見書P214 例3）（講簡要過程）解：定解問題轉(zhuǎn)化為：由本征值問題 再由初始條件定積分常數(shù)，最后：總之，對齊次方程及齊次邊界條件的定解問題，可直接用分離變量法或用傅里葉級數(shù)法；對于非齊次方程及齊次邊界條件的定解問題，可用傅里葉級數(shù)法（若初始條件同時為零，可用沖量定理法）；對非齊次邊界條件的定解問題，首先要將非齊次邊界條件齊次化，然后用傅里葉級數(shù)法。第九章 二階常微分方程的級數(shù)解法與本征值問題要求解帶初始條件的線性二階常微分方程：其中，為任意指定點，、為常數(shù)。級數(shù)解法：就是在某個任選點的鄰域上，把待求的解表示為系數(shù)待定的級數(shù)，代入

18、方程以逐個確定系數(shù)。（一）方程的常點和奇點常點：和在選定的點的鄰域中是解析的，則是方程（2）的常點奇點：如點是或的奇點，則點是方程（2）的奇點（二）常點鄰域上的級數(shù)解把此唯一的解析解表示成點鄰域上的Taylor級數(shù)形式：式中為待定系數(shù)。§9.3正則奇點鄰域上的級數(shù)解法(一) 奇點鄰域上的級數(shù)解見 P195 （略講） 設(shè)點是q(z) 或p(z)的奇點，則亦是方程的奇點。解在點鄰域上的展開式不是Taylor級數(shù)，而應(yīng)含有負冪項。（略去證明）：在點的鄰域上，給出的兩個線性無關(guān)解的級數(shù)形式為： 或 其中、 （k=0,±1,±2,±3）為待定常數(shù)。可以看出，、這兩

19、個解均有無窮多的負冪項，難求系數(shù)。如果是正則奇點，則這兩個級數(shù)解變成有限負冪項。這種解稱為正則解。(二) 正則奇點鄰域上的級數(shù)解1）若是方程的奇點，且最多是的一階極點，的二階極點，即，（9.3.5）則稱為方程的正則奇點。2）在的鄰域上，方程的兩個線性無關(guān)解的級數(shù)表達式：（只含有限個負冪項） 或 其中、是“判定方程”：的兩個根。且其中系數(shù)、等由把上述解代入原方程逐個確定。舉例：第十章 球函數(shù)§7-3 軸對稱球函數(shù)球函數(shù)方程（9.1.37）的解稱為球函數(shù)。把（9.1.37）進一步分離變數(shù)分解為兩個常微分方程，（9.1.5） ，（）（9.1.11）（9.1.5）式的解為（9.1.8）（9.

20、1.11）式叫做l階連帶勒讓德（Legendre）方程。此時球函數(shù)分離變量形式的解為若問題具有軸對稱性（指該物理系統(tǒng)繞對稱軸旋轉(zhuǎn)時，待求函數(shù)不變），若選z軸為對稱軸，則Y與無關(guān)，與無關(guān)，可取，由（9.1.8）式可見，。方程（9.1.11）即簡化為勒讓德（Legendre）方程（10.1.1）， （10.1.1）其解為l階勒讓德多項式軸對稱函數(shù)，本節(jié)即研究這種的特例。（一） 勒讓德多項式勒讓德方程已在§9.2解出，l階勒讓德方程和自然邊界條件“解在保持有限”構(gòu)成本征值問題。本征值是（l為零或正整數(shù)）（9.2.12）本征函數(shù)則是l階勒讓德多項式。l階勒讓德多項式的具體表達式為（10.1.

21、4） 勒讓德多項式圖像見圖10-1（P276）。（二） 勒讓德多項式的正交完備性1. 正交關(guān)系2. 廣義傅里葉級數(shù)的完備性根據(jù)施圖姆-劉維爾本征問題的性質(zhì)，勒讓德多項式是完備的，可作為廣義傅里葉級數(shù)展開的基，把定義在x的區(qū)間-1，+1上的函數(shù)或定義在的區(qū)間上的函數(shù)展開為廣義傅里葉級數(shù)。（10.1.18）或（10.1.19）例：以勒讓德多項式為基，在上把展開為廣義傅里葉級數(shù)。解：中最高出現(xiàn)，即比較兩邊系數(shù)，得解得所以（三） 拉普拉斯方程的軸對稱定解問題Laplace方程在球坐標系下分離變數(shù)后，得到如下的兩個方程（9.1.2）（9.1.3）常微分方程（9.1.2）是歐拉型方程，它可化為令，即，可化為二階線性常系數(shù)微分方程其解為（9.1.4）偏微分方程（9.1.3）稱為球函數(shù)方程。若問題具有軸對稱性，當(dāng)把對稱軸取作球坐標極軸時，其解與無關(guān)，為軸對稱球函數(shù)l階勒讓德多項式，所以拉普拉斯方程的軸對稱定解問題解的一般形式為（）下面將通過物理實例來進一步說明如何確定（）式中的各個系數(shù)。Lengendre多項式的性質(zhì)當(dāng)特殊函數(shù)成為本征函數(shù)時，要注意這時特殊函數(shù)具有兩重性質(zhì)： 正交關(guān)系與完備性等是屬于本征