上海市2020-2021學年青浦區(qū)高三數學一模試卷

1、青浦區(qū)2020學年第一學期高三年級期終學業(yè)質量調研測試數學試卷一.填空題（本大題滿分54分）本大題共有10題，1-6每題5分,7-10每題6分考生應在答題 紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得分，否則一律得零分.1 .已知集合A = 1,2,3,4, 8 = 0,2,4,6,8,則AC|8 =.2 .函數y = 2、的反函數是.1 2 33.行列式4 5 6中，元素3的代數余子式的值為.7 8 944 .已知復數z滿足z + = 0,貝Ulzl=.z5 .圓錐底而半徑為k加，母線長為2。，則其側而展開圖扇形的圓心角夕=.6 .已知等差數列q的首項 = 1,公差d = 2,其前項和為S

2、“，則Jim”k=.7 .我國南北朝數學家何承天發(fā)明的“調日法”是程序化尋求精確分數來表示數值的算法，其理論依據是:設實數X的不足近似值和過剩近似值分別為2和 N*）,則也14是x的a c v/ a+c1572215722更為精確的近似值.己知外兀,，試以上述兀的不足近似值而和過剩近似值早為依據，那么使用兩次“調日法”后可得兀的近似分數為. 8.在二項式（6+白）。 0）的展開式中X-的系數與常數項相等，則的值是.22229 .點A是橢圓G：二+t=1與雙曲線C：二一二=1的一個交點，點0A是橢圓G的兩 25 16- 45個焦點，則146114入1的值為.10 .盒子中裝有編號為1, 2, 3

3、, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九個大小、形狀、材質均相同的小球，從中隨機任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數的概率是.（結果用最簡分數表示）二.選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題 紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.11 .已知則 “ = /?” 是 = 的（）.2（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件12 .類比平面內“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質，可推出空間中有下列結論:垂直于同一條直線的兩條直線互相平行：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行：垂直

4、于同一個平面的兩條直線互相平行：垂直于同一個平面的兩個平面互相平行.其中正確的是（）.（A） （B） （C）（D）13 .已知頂點在原點的銳角e繞原點逆時針轉過g后，終邊交單位圓于（一?，），），貝k加a的63值為（）.233謔氈 （D）6666其中是實數集R的兩個非空子集，又規(guī)定-x, xe P14 .設函數/（x）= 1一,xeM,xA（P） = y y = f（x）,xP , A（M） = yy = f （x）,x e M,則下列說法： 一定有A（P）nA（M）= 0： （2）若PUMWR,則A（P）UA（M）wR；（3） 一定有0p|M=0：（4）若尸UM = R，則A（P）U4（M）

5、= R.其中正確的個數是（）.（A） 1（B） 2（C） 3（D） 4三.解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定 區(qū)域內寫出必要的步驟.15 .（本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.如圖，長方體中，AB = AD = 441=2 ,點尸為OR的中點.（1）求證：直線平面尸AC：（2）求異面直線8鼻與4P所成角的大小.16 .（本題滿分14分）第（1）小題滿分6分，第（2）小題滿分8分.設函數/（x） = /+lx al,。為常數.（1）若/（X）為偶函數，求。的值：（2）設。0, g（x） = 42, xw（0,a為減函數

6、，求實數的取值范圍. X17 .（本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.如圖，矩形ABCQ是某個歷史文物展覽廳的俯視圖，點E在A3上，在梯形QE8C區(qū)域內 部展示文物，OE是玻璃幕墻，游客只能在AOE區(qū)域內參觀.在AE上點尸處安裝一可旋轉 的監(jiān)控攝像頭，NM/W為監(jiān)控角，其中M、N在線段OE （含端點）上，且點用在點N的 右下方.經測量得知：40 = 6米，A七=6米，A尸=2米，ZMPN =-.記/EPM = B （弧 4度），監(jiān)控攝像頭的可視區(qū)域4 PMN的面積為S平方米.（1）分別求線段尸M、PN關于。的函數關系式，并寫出。的取值范闈：（2）求S的最小值.18

7、 .（本題滿分16分）本題共3小題，第（D小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題6分.已知動點M到直線x + 2 = 0的距離比到點b（1,0）的距離大1.（1）求動點M所在的曲線C的方程：（2）已知點P（l,2）, A、8是曲線。上的兩個動點，如果直線R4的斜率與直線08的斜率 互為相反數，證明直線A8的斜率為定值，并求出這個定值：（3）已知點P（l,2）, A、8是曲線。上的兩個動點，如果直線R4的斜率與直線08的斜率 之和為2,證明：直線A3過定點.19 .（本題滿分18分）本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分.若無窮數列%和無窮數列滿足：存在正常數使得對

8、任意的wN均有 an-bn0,且x（0,a /、 f（x） x2+|x - a| x1 + a-xa ,所以 g（x） = L_ =!= x + - l ,XXXX任取。VX xya9 g（X）-g（x）=演 + J-X）- - - 王 .因為0玉工24。，所以X1 0且0 為工2 ,又g（X）在區(qū)間（0, 4上為減函數，所以玉4 為工2，所以又。0，所以17.（本題滿分14分）本題共2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.解：(1)在PME 中，ZEPM = 8, PE=AUP=4 米,/PEM = , /PME = -6,PM由正弦定理得PEsin /PEM sin /PME所以PM二

9、生勺比空上sin /PMEsin(江-6) sin 6 +cos 6 4PN同理在中，由正弦定理得PEsin /PEN sin 4PNE所以2/22/2z九4 cos 0 sin(0)2當M與E重合時，8 = 0 ；當N與。重合時，tan ZAPD = 3,即ZAPD = arctan 3 ,jt、p37r6 = tiarc tan 3 = - - arc tan 3 , 所以arc tan 3 ：(2) APMN 的而枳 S=工PM x PN xsin NMPN =2cos2 8 + sin6cos61 + cos 20 J . ga sin 2 + cos 2 + 1十sin 20V2si

10、n(26 + -) + l43兀因為0W6K2 wrtan3,所以當29 +2=2即6 =三 0,二一ctan3時,S取得最小值為-4 = 8( JI 1)V2 + 1所以可視區(qū)域尸MN面積的最小值為8( JI-1)平方米.18.(本題滿分16分)本題共3小題，第(1)小題4分，第(2)小題6分，第(3)小題6分.解：(1)已知動點M到直線x+2 = 0的距離比到點尸(1,0)的距離大1,等價于動點M到直線x = -l的距離和到點F(1,0)的距離相等,由拋物線的定義可得曲線C的方程為丁 =以設直線PA的斜率為A ,因為直線PA的斜率與直線PB的斜率互為相反數，所以直線PB的斜率為A,則/?。?/p>

11、 )_2 =攵(工-1), I/ y-2 = _k(x l) ,)(1)=b,2_4),_必 + 8 = 0或小2_(2公_4攵+4卜 +(2一攵)2 =0即b，+ (2A4)(y 2) = 0,所以可得4 土二1,匕主 k k /同理得2 = k(x 1),/、)、+4y - 4k -8 = 0 或 kx-(2內+4k + 4)x + (A + 2) =0)廣=4工即b，+(2Z+4)(y 2)= 0,所以可得8 f，二41乂4一2攵 4一2攵- k =KK一 = -1一心（2 +4（2-攵即直線A8的斜率為定值1：（3）設直線月4的斜率為k,所以直線08的斜率為2k,則)_2 k(x -

12、1) 9 lPH： y - 2 = k(x - l)_2 =攵(1) y2 = 4x-4y-4k + 8 = 0即b，+（2A4）（y 2） = 0,所以可得4 二Ll,匕主 同理得 k ky-2 =(2 - 1)、7=(2_k)y-y +4k=0k1 2kj2=4x即(2 %)y 2打(y 2) = 0,所以可得82k 4 2k相仄- k _ Hk-2）k2 （2-k）2 代-2k+ 22-k k2-2k + 2 （2-k）2） / H-2k + 27所以直線A8恒過（1,0）19.體題滿分18分）本題共3小題，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分. 解：（1）因為4“ =

13、2 , bn = + 2（ e N）若數列與具有關系尸,則對任意的均有an-bn1,所以數列對與也不具有關系尸.1/1 y-1（2）證明：因為無窮數列%是首項為1,公比為的等比數列，所以q=,3131因為，=2N+1,2= 1- -1,所以數列禺與也具有關系P（A）.所以設乂的最小值為A），|。 一 4，因為|q7 1 22若 0alog3 二-時，3 2則1一市4,這與“對任意的eN*,均有舊一仇區(qū)4”矛盾， 所有4 = 1,即,4的最小值為L（3）因為數列q是首項為1,公差為d（dR）為等差數列,無窮數列也是首項為2,公比為q伍七N）的等比數列，2所以a” =q +（-l）d = d +

14、l-d , bn =耳曠 =不廣,2設_ = 4，_ = 0 ,則 % =,加 + a , bn = bqn , n e N*. q數列4與他具有關系（4），即存在正常數4使得對任意的 e N* ,均有|。 一區(qū)A .（二）當4 = 0, “ = 1 時，|?！耙粅 = |1-2| = 11,取A = l,則an-bnA,數列4與也具有關系P（A）；（）當4 =。，4之2時，假設數列4與也具有關系P（4）, 則存在正常數兒 使得對任意的N均有何21KA.因為可一同同一切,所以，對任意的eN，麻卜區(qū)A,1 1 A1 + Ahqn + A,所以 Wlog“T，bb這與“對任意的wN,均有四|一網區(qū)4”矛盾，不合；（=）當400, 4 = 1時，假設數列q與婦具有性質尸（A）, 則存在正常數4使得對任意的 wN均有|可一年區(qū)A.因為同一版區(qū)小一切,所以，對任意的eN 一版區(qū)4,即2+A, |d+42+A,所以口川一問2+4, Wj , 這與“對任意的eN，均有|2區(qū)4矛盾，不合：（二）當400, qN2時，假設數列4與也具有性質尸（A）,則存在正常數，4,使得