基于思維數(shù)學(xué)教學(xué)案例

1、新課標(biāo)中關(guān)于數(shù)學(xué)思維的要求第一部分 前言數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。一、課程性質(zhì)數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力；二、課程基本理念數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。（三） 課程內(nèi)容推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理

2、，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過程之中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。總目標(biāo)2. 體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科

3、之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?？偰繕?biāo)從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個(gè)方面具體闡述數(shù)學(xué)思考建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和空間觀念，初步形成幾何直觀和運(yùn)算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機(jī)現(xiàn)象。在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法。學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式?！咀鳂I(yè)案例】 初一學(xué)生學(xué)習(xí)全等三角形時(shí)，題目的證明已知：如圖，在O中，MN為直徑，P是MN上一點(diǎn)，AC、BD是過點(diǎn)P的兩條弦，APM=BPM。求證

4、：AP=BP證明：連接AO、BO，則AO=BOAPM=BPM.OPA=OPB在OPB和OPA中BO=AO，OP=OP，OPB=OPAOPBOPAPB=PA【案例】 在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，教師出示一題：請(qǐng)你在同一標(biāo)系中畫出：y=x+2，y=x-2，y=-x+2，y=-x+2四條直線，然后觀察，你能發(fā)現(xiàn)什么？（教師為學(xué)生提供足夠的時(shí)間，讓學(xué)生在畫圖基礎(chǔ)上認(rèn)真觀察、獨(dú)立思考、自主探索）。然后，分兩步進(jìn)行：一是觀察思考提出問題： 解析式x的系數(shù)的正負(fù)與函數(shù)圖象通過象限的關(guān)系怎樣？ 是兩直線平行或相交的條件是什么？ 是直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形、四邊形等的面積怎么求等等.二是讓學(xué)生再觀察、思考、操作，得出結(jié)論

5、和探索的方法： 通過觀察、列表等方法獲得解析式x的系數(shù)的正負(fù)與函數(shù)圖象通過象限的關(guān)系.是通過觀察、比較等方法得到兩直線平行或相交的條件. 通過觀察、實(shí)驗(yàn)等方法求得直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形、四邊形的面積.觀察、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中，學(xué)生產(chǎn)生各種疑問、困難、障礙和矛盾過程中， 進(jìn)行了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練?！景咐?平行線性質(zhì)的教學(xué)將全班學(xué)生分為若干小組，每組提供A 4白紙一張,長(zhǎng)為20厘米的橡皮筋一根。在白紙上畫兩直線AB和CD，且AB / CD，一名同學(xué)將橡皮筋拉直，使其兩端分別落在AB和CD上，端點(diǎn)記為M、N。接下來，將端點(diǎn)M、N用圖釘固定，通過改變橡皮筋的形狀產(chǎn)生不同的角，以此探究這些角之間的

6、關(guān)系。師:每組由一名學(xué)生將橡皮筋拉直并固定M、N兩端,另一名學(xué)生拉住橡皮筋除端點(diǎn)外的任一點(diǎn)(記為P)將橡皮筋進(jìn)行拉伸,看看可以得到哪些圖形，并探究AMP、MPN、PNC的關(guān)系.請(qǐng)同學(xué)們畫出自己小組得到的圖形，并證明你們得到的結(jié)論.【案例】探索多邊形內(nèi)角和片斷一：參與給多邊形下定義(不簡(jiǎn)單下定義.數(shù)學(xué)概念既是數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，又是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果，所以概念教學(xué)不應(yīng)當(dāng)只給定義，而應(yīng)啟迪學(xué)生通過觀察、發(fā)現(xiàn)、思索,引導(dǎo)學(xué)生感受或領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思維過程.)師:同學(xué)們，大家能說出什么樣的圖形是三角形嗎?生1:三條線段首尾順次相連所組成的圖形叫做三角形。生2:他說得不完整，應(yīng)該在“三條線段”前面加

7、上“不在同一直線上的”幾個(gè)字。師:為什么?生3: 如果兩條線段的和等于第三條線段，那么就畫不出三角形來了。師:(點(diǎn)頭贊成)不在同一直線上的三條線段首尾順次相連所組成的圖形叫做三角形。大家能仿照這一說法，畫出四邊形、五邊形、六邊形嗎?(教師將學(xué)生分成三個(gè)大組,分別畫出四邊形、五邊形和六邊形.學(xué)生紛紛在草稿紙上畫圖,教師巡視.)師:大家能試著說出什么樣的圖形是多邊形嗎?生4:不在同一直線上的多條線段首尾順次相連所組成的圖形叫做多邊形。師:(微笑)說得不錯(cuò)!請(qǐng)大家拿出準(zhǔn)備好的四根木棒擺出一個(gè)四邊形來。(大部分學(xué)生在課桌上擺弄,少數(shù)幾個(gè)拿著木棒在空中擺弄。)生5:老師，我擺的是四邊形嗎(如圖1)?師:

8、(點(diǎn)頭贊成)是啊,它是一個(gè)空間里的四邊形.不過,我們現(xiàn)在只研究平面圖形,那么我們應(yīng)該怎樣去敘述“多邊形”呢?生6:在平面內(nèi),由不在同一直線上的多條線段首尾順次相連所組成的圖形叫做多邊形.(通過畫圖和擺弄等實(shí)際操作,培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手習(xí)慣和操作能力,強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)幾何圖形的概念從感性到理性的認(rèn)識(shí)過程,為后面的教學(xué)作了鋪墊.) 片斷二: 探索多邊形的內(nèi)角和(不過早給結(jié)論。定理、公式、法則等結(jié)論都是具體的判斷，而判斷則可視為壓縮了的知識(shí)鏈.教學(xué)中要恰當(dāng)?shù)乩L(zhǎng)這一知識(shí)鏈，引導(dǎo)學(xué)生參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程,弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系,探討它與其他知識(shí)的關(guān)系,領(lǐng)悟思維活動(dòng)的數(shù)學(xué)思想。)師:現(xiàn)在請(qǐng)大家把一個(gè)

9、多邊形(如四邊形、五邊形和六邊形)剪成若干個(gè)三角形，使所剪得的三角形至少有一邊是原多邊形的邊，并看看滿足條件的三角形有幾個(gè)？(教師按原來的分組形式,讓學(xué)生剪出滿足條件的三角形，剪完后再重新拼接.學(xué)生各自剪拼相互交流，教師在各組間觀察剪拼情況.)師: 大家把自己的剪拼方法展示一下，好嗎?(學(xué)生紛紛舉手,教師按分組的先后讓學(xué)生展示生7:(在實(shí)物投影儀上展示,如圖2)沿四邊形的一條對(duì)角線剪下，這樣的三角形有兩個(gè).生8:(投影展示，如圖3)沿四邊形兩條對(duì)角線剪下，這樣的三角形有四個(gè)。生9:(拿著畫好的圖形展示,如圖4)在四邊形內(nèi)任選一點(diǎn),聯(lián)結(jié)這點(diǎn)和各個(gè)頂點(diǎn)的線段，將四邊形也分成4個(gè)三角形.師:(會(huì)心地

10、一笑)四邊形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是形內(nèi)一個(gè)特殊的點(diǎn)，只要這個(gè)點(diǎn)在形內(nèi)任何位置都可以，對(duì)嗎生10:對(duì)，圖3是圖4的一個(gè)特例，實(shí)質(zhì)上是一樣的。師:不錯(cuò)。第一組的同學(xué)還有其他分法嗎?(稍停頓,沒有學(xué)生提出異議)現(xiàn)在，由第二組的同學(xué)展示自己的剪拼方法,大家只要像生9那樣,展示自己畫好的圖形就可以了。生11:(投影展示，如圖5)沿五邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線,可以把它分成3個(gè)三角形。師:很好!這就是說,我們可以按點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系，把一個(gè)多邊形分成滿足條件的若干個(gè)三角形.因?yàn)槲恢藐P(guān)系的不同,所以分得的三角形的個(gè)數(shù)也不同.那么對(duì)于一個(gè)n邊形(當(dāng)然這里的n是一個(gè)不小于3的整數(shù)),按不同的分法所分得的三角形的個(gè)數(shù)

11、又是怎樣的呢?生17:如果這個(gè)點(diǎn)是多邊形的某個(gè)頂點(diǎn),則經(jīng)過這點(diǎn)的所有對(duì)角線,可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形;如果這點(diǎn)在n邊形的一邊上,則連這點(diǎn)與它不相鄰的頂點(diǎn)所得的線段可把n邊形分成(n-1)個(gè)三角形;如果這點(diǎn)在n邊形的內(nèi)部,則聯(lián)結(jié)這點(diǎn)與n邊形各頂點(diǎn)的線段把n邊形分成了n個(gè)三角形.（師生共同完成表中內(nèi)容)（引導(dǎo)學(xué)生思維實(shí)現(xiàn)了從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從具體到抽象的過渡與跨越,并滲透了從特殊到一般以及歸納法的數(shù)學(xué)思維方法.)師:大家知道三角形的內(nèi)角和是多少嗎?生:(全體):180度.師:你們能說出四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和是多少嗎?師:(手勢(shì))噓,你們是怎樣得到這個(gè)結(jié)論的呢?師:很好,但如果沒有具體

12、地給出這個(gè)多邊形的邊數(shù),誰能為大家給出一個(gè)求多邊形內(nèi)角和的公式呢?師:這位同學(xué)回答得很好!(停頓,引導(dǎo)學(xué)生思考)他是按經(jīng)過同一頂點(diǎn)的對(duì)角線,把n邊形分成的三角形的個(gè)數(shù)來推出結(jié)論的.大家還有其他方法來驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎?讓學(xué)生親自參與結(jié)論的探索過程,大大的激發(fā)了學(xué)生的求知興趣,同時(shí)他們也體驗(yàn)到“創(chuàng)造發(fā)明”的喜悅,數(shù)學(xué)思維能力在這過程中得到了有效的發(fā)展;師:如果我們?nèi)〉狞c(diǎn)在n邊形外呢，你還能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎?這個(gè)問題留給大家課外去思考.【案例】例 探索并了解：過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等。說明 通過探索和了解此結(jié)論的證明，幫助學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)論到驗(yàn)證結(jié)論的過程。教學(xué)中可以參考安排如下的過程：（1）發(fā)

13、現(xiàn)結(jié)論。在透明紙上畫出如圖18-1的圖：設(shè)，是的兩條切線，是切點(diǎn)。讓學(xué)生操作：沿直線將圖形對(duì)折，啟發(fā)學(xué)生思考，或者組織學(xué)生交流。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：，。圖18-1 圖18-2這是通過實(shí)例發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過程。啟發(fā)學(xué)生由特殊到一般，通過合情推理推測(cè)出切線長(zhǎng)定理的結(jié)論。（2）證明結(jié)論的正確性。如圖18-2，連接和。因?yàn)楹褪堑那芯€，所以，即和均為直角三角形。又因?yàn)楹?，所以和全等。于是有，。這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程。由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具。上述證明過程沒有采用形式化的三段論，但有利于初學(xué)者把握證明的條理和說理的邏輯?！景咐?冪的運(yùn)算猜想冪的

14、運(yùn)算規(guī)律：從數(shù)的計(jì)算開始 ，逐步提到提升到用字母表示，再用于數(shù)學(xué)問題。特殊-一般-特殊案例 相似多邊形的性質(zhì)（二）（北師大版八年級(jí)）該課由鎮(zhèn)級(jí)中學(xué)和西安市某中學(xué)兩教師同課異構(gòu)教學(xué),內(nèi)容是探究相似三角形周長(zhǎng)比、面積比與其相似比的關(guān)系,進(jìn)而探討相似多邊形的周長(zhǎng)比、面積比,最后,應(yīng)用性質(zhì)解決問題.三角形周長(zhǎng)比,用到等比性質(zhì)“若則”,三角形面積比問題則要轉(zhuǎn)化為探討兩三角形高之比,相似多邊形的周長(zhǎng)比類比三角形,相似多邊形的面積比問題是進(jìn)行分割,轉(zhuǎn)化為三角形面積之和之比,再次運(yùn)用等比性質(zhì).關(guān)于探究相似多邊形面積比,兩位教師均以習(xí)題方式,給出：“相似比為的兩個(gè)相似四邊形,求其面積比”,引導(dǎo)學(xué)生將之先分割為三

15、角形,研究相似四邊形中與、與的關(guān)系,再利用等比性質(zhì),.由四邊形拓展到多邊形,獲得“相似多邊形面積比等于相似比的平方”城鄉(xiāng)教師的教學(xué)流程有很多不同,但在探究相似多邊形面積比時(shí),兩位教師均是以習(xí)題方式,先出示：“相似比為的兩個(gè)相似四邊形,求其面積比”.鎮(zhèn)中教師用問題串啟發(fā)：“任意四邊形面積比是什么？”“你學(xué)過什么？”（生答：三角形）“怎么辦？”（生答：分為三角形）,“怎樣連？”（答略）.引導(dǎo)學(xué)生將之先分割為三角形,研究相似四邊形中與、與的關(guān)系,再利用等比性質(zhì),.“相似比為的兩個(gè)相似多邊形呢?”, 學(xué)生由四邊形拓展到多邊形,獲得“相似多邊形面積比等于相似比的平方”.城市教師教法與之類似,只是多了推論

16、:“相似多邊形周長(zhǎng)比等于面積比的算術(shù)平方根；相似多邊形被對(duì)角線分割成的對(duì)應(yīng)三角形相似,其相似比等于相似多邊形的相似比”等.性質(zhì)應(yīng)用環(huán)節(jié),例題、習(xí)題城市教師安排了20余道題,鎮(zhèn)中教師也有15道.城市教師給出習(xí)題：“已知甲、乙兩個(gè)多邊形相似,其相似比2：5,若兩個(gè)多邊形面積之和為174,則多邊形甲的面積為多少？”,隨即指出：“這是最典型的方程思想,大家試著做一下”,接著巡視糾錯(cuò),忙于下一題.而其后三道練習(xí)都涉及方程思想,教師卻并沒有提醒學(xué)生其中的共性：都是運(yùn)用了方程思想“找已知與未知的聯(lián)系”.知識(shí)的總結(jié)教師都非常扎實(shí).城市教師還得出“相似多邊形被對(duì)角線分割成的對(duì)應(yīng)三角形相似,其相似比等于相似多邊形

17、的相似比”等結(jié)論,并立刻與中考原題對(duì)接,令觀摩的鎮(zhèn)中教師大加贊賞：“總結(jié)了方法,與中考聯(lián)系緊,確實(shí)教得好”. 我們注意到：求相似四邊形面積比的意圖,是在運(yùn)用從特殊到一般的化歸策略,教師一直都沒有點(diǎn)明；城市教師對(duì)將四邊形、多邊形先分割為三角形,雖用到了“轉(zhuǎn)化”,但一帶而過,僅提問學(xué)生：“多邊形內(nèi)角和問題我們是怎樣解決的？”,不及學(xué)生反應(yīng),教師便自問自答:“可以用類比的方法”；而鎮(zhèn)中教師則只強(qiáng)調(diào)了“分割法”,甚至沒有提到“轉(zhuǎn)化”；兩位教師對(duì)“分割”的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用“化歸思想”都沒有闡述.尤其是對(duì)“相似多邊形面積比問題”該如何整體思考,是怎樣研究的,都沒有進(jìn)行梳理.訪談中兩位教師均表示：“沒有想到那么多

18、”；城市教師:“我們從初一就與中考對(duì)接,一節(jié)課常有二三十道題,其他的都沒時(shí)間”.觀摩教師也表示,他們教學(xué)也是把重點(diǎn)放在題目的類型,涉及的概念公式、解題技巧之間的聯(lián)系上.案例中,周長(zhǎng)比、面積比、相似多邊形被對(duì)角線分割成的對(duì)應(yīng)三角形相似等知識(shí)是顯見的,而“類比”、“轉(zhuǎn)化”、“先特殊再一般”、“分解與組合”等思想方法卻內(nèi)隱在過程里，要靠學(xué)生自己去“悟”很難,但教師并沒有幫學(xué)生完成提煉.應(yīng)用環(huán)節(jié)，在“揭示規(guī)律,小試身手”環(huán)節(jié),給出習(xí)題：“已知甲、乙兩個(gè)多邊形相似,其相似比2：5,若兩個(gè)多邊形面積之和為174,則多邊形甲的面積為多少？”,教師隨即指出：“這是最典型的方程思想,大家試著做一下”,僅此一句.

19、隨后學(xué)生列方程、解答,教師糾錯(cuò),便忙于下一題.而其后有三道練習(xí)都涉及方程思想,但是,教師并未提醒,這些問題其思想方法上的共性是：都體現(xiàn)了方程思想“拉關(guān)系,找已知與未知的聯(lián)系”. 隨即讓學(xué)生解題.有學(xué)生并不能迅速提取思路:設(shè)未知數(shù),尋找等量關(guān)系,列出含有未知數(shù)的等式方程.當(dāng)學(xué)生頭腦中的方程思想形式圖式還不清晰時(shí),教師的提示作用不大.但教師沒有注意到,聽到正確答案后隨即進(jìn)入下題.對(duì)“相似多邊形面積比問題”該如何整體思考：“你聯(lián)想起到什么？是怎樣研究的？這個(gè)問題該如何解決？還能研究什么？”,小結(jié)中都沒有從方法上梳理。案例中教師直接問:“相似比為的兩個(gè)相似四邊形,求其面積比”,其實(shí)是錯(cuò)過了合情推理的機(jī)會(huì).可以用以下問題：相似三角形重要的特征是相似比,那么它的周長(zhǎng)比、面積比與相似比會(huì)有著怎樣的關(guān)系？三角形面積比問題可以轉(zhuǎn)化為求高之比,相似三角形高線、中線、角平分線之比與相似比又存在什么關(guān)系？研究了三角形周長(zhǎng)比、面積比,如何研究相似多邊形的周長(zhǎng)比、面積比？恰當(dāng)?shù)膯栴}背景是數(shù)學(xué)思想生發(fā)、融入的起點(diǎn).筆者在華東師大舉辦的中學(xué)數(shù)學(xué)研討會(huì)圓的周長(zhǎng)一課中看到,合作、交流、探究都有聲有色,然而教師讓學(xué)生分組測(cè)量,從數(shù)據(jù)歸納出周長(zhǎng)公式,這一過程實(shí)際蘊(yùn)含著從局部推斷整體的統(tǒng)計(jì)思想,與動(dòng)態(tài)變化蘊(yùn)含著函數(shù),卻未被教師指出.中學(xué)的調(diào)研中筆者發(fā)現(xiàn)：課程改革以來,數(shù)學(xué)課堂的表現(xiàn)形式日