備戰(zhàn)2018年高考數學一輪復習(熱點難點)專題61以不變應萬變-定值問題

1、2專題 61 以不變應萬變-定值問題考綱要求：1.1. 圓錐曲線(1)(1) 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用(2)(2) 掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質 了解圓錐曲線的簡單應用. .(5)(5)理解數形結合的思想. .2.2. 曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系 基礎知識回顧：1.1. 直線和圓錐曲線的位置關系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關系時，通常將直線l的方程Ax+By+C= 0(0(A,B不同時為 0)0)代入圓錐曲線C的方程F( (x,y) ) = 0

2、0,消去y( (也可以消去x) )得到一個關于 變量x( (或變量y) )的一元方程.了Ax+By+C=0,即消去y，得ax+bx+c= 0.0.F x,y= 0 0,(1)(1)當a0時，設一元二次方程ax2+bx+c= 0 0 的判別式為 ，貝U 0?0?直線與圓錐曲線C相交； = 0?0?直線與圓錐曲線C相切； 0?00），所以 r r ：.V.V2 2二-4.-4.點評：定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒成立的 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解

3、時應設參數，運用推理，到最后必定參數統(tǒng)消，定點、 定值顯現. .類型二定值的探究性問題【例 4 4】【20182018 屆河南省鄭州市第一中學高三上學期期中】設Ax1,y1）,B（X2,y2）是橢圓吿=1 a b 0上的兩點，橢圓的離心率為 上3，短軸長為2，已知向量仁兇丄a b2.ba爪=生，翌，且用_片，O為坐標原點. .lb a丿（1 1）若直線AB過橢圓的焦點F 0,c，（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；（2 2） 試問：AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由【答案】（1 1）k = 2；（ 2 2）見解析. .由RP二“PF，所以xi,yiy i；=!

4、“1 Xi,-力,【解祈】試題分析： 根據條件可得a = 2rb = l 忑,再設直線曲的方程為：嚴 kx+b與桶圓聯立方程組,利用韋達定理和已知條件厲丄喬即可求出圧的值；先考慮直線AB斜率不存在的 情況，即畫二/y1= y2f根抿用丄孫求得西和卄的關系式,代入橢圓的方程求得4點的橫坐標和縱 坐標的絕對值，進而求得擴B的面積的値當直線肋斜率存在時，設出直線曲的方程，與橢圓聯立方 程組，利用韋達定理表示出西十花和西比，再利用mlnt弓玄長公式及三角形面積公式求得答案.2試題解析； 由題可得； = 2,b=f所兒 橢圓的方程為+*=1設劉的方程為：F=屁代入手+宀得：（V + W+ZV弧_=0.一

5、2屁-1A n二吟丙TA0丁兩丄兩丿二兩厲=0,=0,即：邑匕 +坷勺=斗”+號*丄+乎（西也）+扌（2）直線AB斜率不存在時，即x b00【例 5 5】20172017 屆北京市東城區(qū)東直門中學高三上期中】如圖，橢圓經過點| |,且離心率為()求橢圓的方程.(2)經過點(】)，且斜率為的直線與橢圓 E E 交于不同的兩點卩，Q(均異于點川)，判斷直線川 P P 與的斜率之和是否為定值？若是定值，求出改定值；若不是定值，請說明理由.【答案】(1 1).()斜率之和為定值 .【解析】根抿題意知：汁弓，b = l,結合a3=b=+c解得:a =V2j b = l,c = 1?橢圓的方程為：()由題

6、設知，直線u的方程為 r =將直線方程與橢圓方程聯立，-2 kmXx22k +42m -4XiX2廠k2+4mix1-x2x.(x2-4xix2=2 m Jk2_m2+4k2+4y y = =k(x+ + 1)1) + + 1/fc1/fc 2)2)i耳22,2+y，得(1(1十2Jt)V2Jt)V - - 4k(k4k(k - -l)x + 2kk- - 2)2) = = D D由已知：,設戶(兀 1 1丹)0(0(七兀)勺乃工。的焦點與雙曲線D的右焦點相同.(1(1)求拋物線 C C 的方程;(2)直線m過點A(3,0)，交拋物線于P,Q兩點，探究是否存在平行于y軸的直線I，被以PA為直徑

7、的圓E所截得的弦長為定值？若存在，求出直線I和弦長；若不存在，說明理由.【答案】(1 1)y2=8x； (2 2)存在x = 1, ,弦長為2,2. .【解析】 試題分析：(1)借助題設條件運用雙曲線的幾何性質求解，3)3)依據題設中的拋物線方程運用直線與圓的 位蠱關系探求- 試題解析：C1)豉曲線 Q 的中心在原鈦 右焦點為(2(2 , ,則拋物線C C的方程為/ =8x.8x.假設存在直線門 兀滿足題意,設心 則”呵，圓心為曲寧申，過圓心E作乂=兀的垂線， 垂足為F,直線J與圓的一個交點為G ,則弦長=2|鞏?|,IFGfW眄衛(wèi)一|耐=帶卄評弩一聲4 4心一1)1)則,2k(k- - 2)

8、2)旺心=-z z 1 1十卅 ?從而直線 的斜率之和：y.y. + + 1 1 y y2 2+ + 1 1kx、+ + 2 2比kx2+ + 2 2-比x.+ + x x2 2氏十k =-+-=- 十-= = 2fc2fc + + (2(2 町-Q叼叫工1勺xx2=2*=2* + + (2(2弋：?：_?= = 2 2”一 2 2伙_1)=21)=2旳 +1 1 y y2 2+ + 1 1故直線-、斜率之和為定值.【例6 6】【20172017 屆重慶市第八中學高三 1212 月周考】拋物線C的頂點是雙曲線D:2X2于1 1的中心C13=（學+牛一（琴尸_（坷+刃兀+忑1=（兀一1）嗎+3兀

9、一X2斗 |_2當觀=1時，|FGf=2,直線/為*1,被以羽為直徑的圓E所截得的弦長為定值2血.點評：探索型問題具有較強的綜合性，因而解決此類問題往往綜合運用所學數學知識經常用到的知識是：二元二（一）次方程組、幾何圖形的某些特殊性質等因此復習中既要重視基礎知識的復習，又要加強變式訓練和數學思想方法的研究，切實提高分析問題、解決問題的能力.方法、規(guī)律歸納：1.1. 求定值問題常見的方法有兩種：1從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關.2直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2.2. 定值的探索與證明問題：1探索面積、長度、角度、參數為定值時，可先建立“目標函數”表達

10、式，確定其值.2從特殊情況入手，先探求定值，再證明與變量無關.實戰(zhàn)演練：1 1.【20172017 屆山東省煙臺市二?！恳阎cC為圓x .32y16,F ,3,0,P是圓上的動點,線段FP的垂直平分線交CP于點Q. .（1 1）求點Q的軌跡D的方程；（2）設A（2,0 ）, B（0,1 ），過點A的直線11與曲線D交于點M（異于點A）,過點B的直線L與曲線D交于點N，直線11與 J 傾斜角互補1直線MN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由;2設AMN與BMN的面積之和為S，求S的取值范圍. .2 _【答案】(1 1) y2(2 2)02- 24-【解析】試題分析：（1）本問考查

11、曲線軌跡方程的求法，畫出圖形分析可有，|CP| = |QC| += QCQF = ArCF=2j3f于是點Q的軌跡是以點CF為焦鼠 焦距為2苗，長軸為4的橢圓，可求出方程；怎本問考查直線與橢圓的位墨關系，由于直線石與右傾斜角互補所以 斜率互為相反數，設的方程為y = 2）f與橢圓方程聯立，消元，得到關于*的一元二方程，根據 韋達定理可以求出點用的坐標,igI,的方程為y = -kx+h同理可漢求出點N的坐標,于是可次求出直線 順的斜率，并判斷是否為定值；由于直線MN的斜率為定值，所以設直線磁的方程為y = b與 橢圓方程麻立,求出弦長呦 =/7莊I嗎-花I再分別求點山B到直線w的距離,于是可以

12、得到AAMN與ABMN的面積之和為S、再討論求出取值范圍.試題解析：|CF|=25.點_Q的軌跡是以點CF為焦晟 焦距為2羽，長軸為4的橢圓,所臥口 =前=1，所以點女的軌跡方程杲= 14因為11,12傾斜角互補，所以12的方程為y二-kX 1，設11與橢圓除A 2,0外的另一個交點M X1,y1，則2X116k2-41 4k2X1 -8k2一21 4k2代入11的方程得-4ky1 =21 4k2，所以M8k2-2J + 4k2-4k1 4k2(2)設11的方程為y = k X -2,聯立方程2X2彳y14，得15聯立方程組f 4，得(1十4疋)/ y = -Ax+lSI-Rti殳右與橢圓除月

13、(0)外的另一個交點N(耳比L則花+0= +斗才忍=+低2 于恥1-4 曠J + 4H1+4疋十二直線咖的斜率為咯=也二也=2X21丁+ +y y= =1 1設直線MN的方程為y b, ,聯立方程4 4，得X22bx 2b0, ,21 , y x b2由二（2b24*2b22 ）=84b2AO 得T2vbZ=I_ 斗聯立直線與拋物線得出韋達走理表示出X1_1牛一1 J1 +盹二耐，即可得出定值試題解析：(1) 1SC(X因為B在尤鈾上且日亡中點在7軸上，所決&(兀刀人由1111 = = llC CL L得0 + 1尸=0 1+嚴化簡得卩=所以C點的軌跡廠的方程為y 2= (yQy巧(2)(2)

14、直線H的斜率顯然存在且不為。設直線M的方程為y= kx-2y = kx-2f期川0左兀),(y2 =仏由9= kx-2礙妒-4y- 8 = 0,4g和尹+為飛心一匚L-=嶺_2 =2 斗 2r1.16一4y。22jy。242小。2422、y。24當且僅當y。2=4a -8，即x。=a -2時取等號,所以當動圓M的面積最小時，a -x。=2,即當動圓M的面積最小時，M、P兩點的橫坐標之差為定值. .24 4.【20172017 屆云南省昆明市二測】在直角坐標系xOy中，已知定圓M : x 136，動圓N過點F 1,0且與圓M相切，記動圓圓心N的軌跡為曲線C. .(1(1)求曲線 C C 的方程;

15、動圓M的半徑即為點M a,0到直線I的距離d =4a十y。2,16 4y。2（2 2）設 代P是曲線C上兩點，點A關于x軸的對稱點為B（異于點P），若直線AP, BP分別交x軸于點S,T，證明：OS OT為定值. .2 2【答案】（1 1） y1； （2 2 ）詳見解析. .98【解析】試題分析：由兩圓關系得等量關系|冋|十|麗| =6|耐再根擔橢圓定義確定軌跡形狀庚 標準方程，m_,由橢圓定義知）圓心N的軌跡為橢圓，且2 = 6出=1,則a2=92= 8 ,所以動圓圓心N的軌跡方程為(2)(2)設p xo,yo, A yi,S冷,0 ,TXT,0，則B為，-如，由題意知x北二為. .則kAP

16、 =一y yXi Xo9819直線AP方程為y - = kAPx-捲，令y = 0，得xS二一生，同理yi yo條直線與拋物線C交于 代B兩點，若拋物線在 代B兩點的切線交于點P. .(1)求點P的軌跡方程；(2) 設直線PQ的斜率存在，取為kpQ，取直線AB的斜率為kAB，請驗證kPQkAB是否為定值？若是，計算出該值；若不是，請說明理由【答案】(I)y二-2,x R(n)-2-2 為定值.【解析】(I )由妙直線與拋物線交于兩點可知，直線AB不與尤軸垂直，故可設怙代入a?二4y ,整理得：疋一4ky-8 = 0，方程的判別式A = 161? +32 0,故kER時均滿足題目要求. 記交點坐

17、標為A牛.B心牛，則引宀為方程的兩根，I斗八4J故由韋達罡理可知，4+巧=4此盟詳產一8 .2將拋物線方程轉化為丫J宀 則翼，故A點處的切線方程為y-學=(孟7】4142整理得尸學麗-XT=Xo-Xiy。_yi-yoXoyiXiyoyiyo于是OS OT = XSXrXoyi-yoXoyiy。2 2 2 2=Xo %-Xiyoyiy。yiyo2 2yi-yo又P Xo, yo和A Xi,yi在橢圓2故y=8 i 2 Xo,yi2=8 i2、Xi，則2 2yi-yo=9Xo22 2 2-Xi,Xoyi22c2”-Xiyo=8xi-2、Xi-8xi22 2=8 XoXi. .所以OS OT2 2

18、2 2xoyi-xiy8 xo-Xi2X1-289- -9.9.5 5.【2oi72oi7 屆遼寧省實驗中學高三下第六次模擬】已知拋物線的方程為C:X2=4y，過點Q o,2的一24同理可得B點處的切線方程為y二芋冥-手記兩條切線的交點卩久占) 聯立兩條切線的方程解得點P坐標為衍=畧玉=2kJyp=kx1-=kx1-(i+2) = -2J24故點P的軌跡方程fty=-2；xeRn(n)當k=0時，xp=0,yp= -2，此時直線 PQPQ 即為 y y 軸，與直線 ABAB 的夾角為2一2 22當k = 0時，記直線 PQPQ 的斜率kPQ二丄 V - 一2 2，又由于直線 ABAB 的斜率為

19、k,2k 0k2 ,.-kPQkABk -2為疋值k6 6 A(1,、.2)是離心率為的橢圓C:2X(2)CABD面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由？(3)求證：直線AB、直線AD的斜率之和為定值2 2【答案】(1)1；(2).2；(3)證明見解析24【解析】試題分析：(1) * AL72在橢圓上及橢圓的高心率為+列方程組，求出笫&的值，即可得到橢圓c的 方程$(2)直線方程対 y =岳十 b,與橢圓方程聯立得 4 宀 2 屁+護4 入根據弦長公式、點到5;直線距離公式可得面積対計膽_硏滬,利用基本不等式求最值即可1 (3)根據兩點求斜率公式可得%十 =2血+肌一

20、L再根擄韋達定理可得也十Jt = O.丙眄_(丙+花)+1試題解析：(1) = = -(豈+芻=1,/=滬+宀2a b1a2/. o = 2,= -/2,c= V2?/. + = 1.24(2)直線丨：y二kx(k = 0)與橢圓C交于M , N兩點，點P是橢圓上異于M , N的一點. .求證：當直線PM ,PN存在斜率時，兩直線的斜率之積為定值，即kPMkPN為定值；當直線丨與點P滿足什么條件仁)設直線方程為$ = 屆+F =V5x+b + 2,/2bx+- 4 = 0 2X1+護=4,.A Bba+ 64 0 ,貝J 22b2/27jq + jq =-b. +/ 対帀=24於一斗T呵=J1

21、 +(勵|碼-乃|二盯傘二書血嚴二尊尼卩,442設&為點到直線:y = d+b的距離：川=罟- 15 ,_=-BDd = -b)2b22，當且24僅當”2E(-2712血時，ABD的面積最大，最大值為血設伙賈沙，嘰血% +匕=匯半+紅半=樂+ ：血+伍1+：血jq 1 X)-Ijq -1x 1=2“+址一遼殳二2_將 中式代入整理得 碼花_(珂十花+1畫+222(2 4H-； = b，目卩kjQ + kjs0 -22I7 7. .【20172017 屆湖南常德一中高三上學期月考三】已知焦點在X軸上的橢圓C 企 11,其離心率為一，a32過橢圓左焦點Fi與上頂點B的直線為10. .23時，.PM

22、N有最大面積？并求此最大面積2 2x yjr【答案】(1 1)1,y=-3(x1)； (2 2)證明見解析； v _： -k ,kZ時.MNP的面432積有最大值【解析】試題分析： 由已知，得到燈=2疋=1 ,根據於=沖一幾艮網求得楠圓的標準方程，求得左焦點屑和上頂點月的坐標，得到直線的方程；(R 設點卩(兀jQ是橢圓上的任意一點，設點M(西皿-藥廠北),kPN=hAr即可得到也一臥為左值；不妨設點 斗,+碼P(2co&5 sJn0)(2利用禺砂=2禺砂表示三角形的面積，利用三角函數的性質, 即可求解AP泗有最大面積-滬=近試題解析：1)由已知，有 -=-：a 2= A2+ z7a二橢圓的方程

23、為：三苴左焦點哥和上頂點B的坐標分別為序旳b43則直線厶的方程為y = (jc+l).(2)點P(xo，y)是橢圓上的任意一點，依題意不妨設點. 2 2o=3!_3為定值X0- 捲x0 x-1xo-x-14不妨設點P(2cos 3sin R, M (2cos：, . 3sin：)門R,：m R，而根據對稱性，有 SWMP=2SMOP= OM OP sin=(4cosco曲+3sin日sin)2(4cofT+3sin2)(4cosa+3sin2。)=2+3sin-。)|，當sin(v八)=1即-_k , k Z時- MNP的面積有最大值2M (xi, yi), N(Xi, yJ，即可得到OMOP

24、OM OP1 _(-OM OP)2= j(OM OP)2_(0M OP)2則kpM二xo Xi(即點P,M的離心率相差 二的奇數倍時).2&【2017屆黑龍江虎林一中高三上期中】已知橢圓(2) 如圖，設橢圓E的上、下頂點分別為A,A2,P是橢圓上異于A,A2的任意一點，直線PAi,PA2分 別交x軸于點N, M ,若直線0T與過點M , N的圓C相切，切點為T.證明： 線段0T的長為定值.2X2【答案】(1)y =1； (2)證明見解析.4【解析】試題外析，(1利用橢圓的標準方程及其性質即可得出；2)W用直線的方程、點在橢圓上滿足的條件、勾股定理即可得出*試題解析心)由離心率為；- = ：- a = 2b 又2a+2b=6a.a+b=32 a a2聯立得；& = 2 上=1,故橢圓E的方程為；7十尸=14(2)由(1)知；4(0J).4(00,設尸(光譏)，貝吐直線尸4的方程為：y- = xf令T-0斗j2 2E:篤爲=1a b 0的離心率為a b于，其長軸長與短軸長的和等于6.(1) 求橢圓E的方程；25Xo得：XNo;直線PA2的方程為:yT，令y = 0得：XM二XoXoyo1，設XoXoG G(2.y+1yo-1XoXoXoiyo +1yo T *yo+1 _2+ h214l