探究應(yīng)用新思維數(shù)學(xué)年級(jí)精選

1、1 .數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸解讀課標(biāo)數(shù)學(xué)是研究“數(shù)和“形的一門學(xué)科,從古希臘時(shí)期起,人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.在日常生活中我們通常對有形的東西熟悉比擬快,而對抽象的東西熟悉比擬慢,這正是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn),以形助數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系,現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有力工具,主要反映在：1 .利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)；2 .利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù)；3 .利用數(shù)軸解決與絕對值有關(guān)的問題；4 .利用數(shù)軸比擬有理數(shù)的大小.問題解決例11a、b為有理數(shù),且a0,b0,ab0,將四個(gè)數(shù)a、b、a、b按由小到大的順序排列是.?時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)?數(shù)學(xué)文化節(jié)試題2數(shù)軸上有

2、A、B兩點(diǎn),A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3,那么點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是.廣西競賽題試一試對于1,賦值或借助數(shù)軸比擬大?。粚τ?確定A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置,充分考慮A、B兩點(diǎn)的多種位置關(guān)系._'11M-t.»例2如圖,數(shù)軸上標(biāo)出假設(shè)干個(gè)點(diǎn),每相鄰兩點(diǎn)相距1ASCD個(gè)單位,點(diǎn)A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且d2a10,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是.A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)江蘇省競賽題試一試從尋找d與a的另一關(guān)系式入手.例3兩數(shù)a、b,如果a比b大,試判斷|a|與|b|的大小.試一試因a、b符號(hào)未定,故a比b大有多種情形,借助數(shù)軸可直觀全面比擬|a|與|b|

3、的大小.例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K0,第一步從K0向左跳1個(gè)單位到K1,第二步由2向右跳2個(gè)單位到K2,第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3,第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4,按以上規(guī)律跳了100步時(shí),電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)K100所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳蚤白初始位置K0點(diǎn)所表示的數(shù).“希望杯邀請賽試題試一試設(shè)Ko點(diǎn)表示的數(shù)為x,把Ki、K2、L、K1O0點(diǎn)所表示的數(shù)用x的式子表示.例5數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為28個(gè)單位長度,點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊,距離原點(diǎn)8個(gè)單位長度,點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊.求A、B兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù).2數(shù)軸上點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度出發(fā)問左運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長度

4、的速度向左運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)C處追上了點(diǎn)A,求C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù).3在數(shù)軸上點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長度,同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長度,設(shè)線段NO的中點(diǎn)為PO為原點(diǎn),在運(yùn)動(dòng)的過程中線段POAM的值是否變化假設(shè)不變,求其值；假設(shè)變化,請說明理由.分析與解對于3,設(shè)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,把POAM用2的式子表示.（1） A、B兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)分別為8,20;（2） C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為22;202t（3） AMt,OP10t為什么,那么POAM10tt10,即POAM的值不變.生活啟示例6李老師從油條的制作中受到啟發(fā),設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問題.如圖,在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到1的對應(yīng)點(diǎn)的線段A

5、B,對折后點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,固定左端向右均勻地拉成1個(gè)單位長度的線段,這一過程稱為一次操作例如,在第一次操作后,原線段AB上的工,3均、,11、,一,變成?。?變成1；等等.那么在線段AB上除點(diǎn)A、點(diǎn)B外的點(diǎn)中,在第二次操作22后,求恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)字之和.浙江省紹興市中考題分析捕捉問題所蘊(yùn)含的信息,閱讀理解“一次操作的意義：將線段沿中點(diǎn)翻折,中點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)不動(dòng),中點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)翻折到左側(cè)的對應(yīng)位置上,由原來的一個(gè)等分點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)等分點(diǎn).A8厚閔1131537TTTT£TTotn+6+得,+帝+對折后o工j££R4K2XI+審曾信T拉長后;711i424.鳥

6、+號(hào)號(hào)電+帝上I對折后gj_TT收昌+專京,+拉長后5二113故在第二次操作后,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對應(yīng)白數(shù)字之和是士1.44數(shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場1 .數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是2,且A、B兩點(diǎn)的距離為3,那么點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)是.2 .電影?哈利波特?中,小哈利,波特穿墻進(jìn)入“9-站臺(tái)的鏡頭如示意圖中的M站4臺(tái),構(gòu)思奇妙,能給觀眾留下深刻的印象,假設(shè)A、B站臺(tái)分別位于2,1處,AN2NB,那么N站臺(tái)用類似電影中白方法可稱為“站臺(tái).ANBM"予-2-10910“?時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)?數(shù)學(xué)文化節(jié)試題3 .點(diǎn)A、B、P在數(shù)軸上,點(diǎn)B表示的數(shù)為6,AB8,AP5,那么點(diǎn)P表示的數(shù)是.4

7、.如下圖,按以下方法將數(shù)軸的正半軸繞在-*圭一個(gè)圓該圓周長為3個(gè)單位長,且在圓周的曲"子"勺“三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0、1、2九上：先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點(diǎn)重合,再將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上,使數(shù)軸上1、2、3、4、L所對應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1、2、0、1L所對應(yīng)的點(diǎn)重合.這樣,正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對應(yīng)關(guān)系.1圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對應(yīng),那么a；2數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周n圈n為正整數(shù)后,并落在圓周上數(shù)字1所對應(yīng)的位置,這個(gè)整數(shù)是用含n的代數(shù)式表示.江西省中考題5 .有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如下圖：-2口-I013b,那么以下

8、各式正確的是.A. ab0B. ab0C. |a|b0D. ab020米,玩具2021年湖南省常德市中考題6 .文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上,文具店在書店西店位于書店東100米處.小明從書店沿街向東走了40米,接著又向東走了60米,此時(shí)小明的位置在.A.文具店B.玩具店C.文具店西邊40米D.玩具店東60米A.9x10B.10x11C.11x12D.12x13浙江省紹興市中考題7 .將一刻度尺如下圖放在數(shù)軸上數(shù)軸的單位長度是1cm,刻度尺上的“0cm“15cm分別對應(yīng)數(shù)軸上的3.6和x,那么.岫訓(xùn)岫啊叫唧口卜哪排唧那唧啊IL叫刪啊唧叫郵型叫(km1231011121314

9、15一、,1,一8 .在數(shù)軸上任取一條長度為19991的線段,那么此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.A.1998B.1999C.2000D.2001重慶市競賽題9 .一個(gè)跳蚤在一條直線上,從.點(diǎn)開始,第1次向右跳1個(gè)單位,緊接著第2次晾左跳2個(gè)單位,第3次向右跳3個(gè)單位,第4次向左跳4個(gè)單位依此規(guī)律劇下去,當(dāng)它跳第100次落下時(shí),求落點(diǎn)處離.點(diǎn)的距離用單位表示.江蘇省無錫市中考題10 .數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn),A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn).的距離為3,求所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離的和.北京市“迎春杯競賽題-思維方法天地-11.在數(shù)軸上,點(diǎn)A、B分別表示1和1,那么線段AB的中

10、點(diǎn)所表示的數(shù)是.35aa12.在數(shù)軸上,表本數(shù)一2,的點(diǎn)M與表示數(shù)一3,的點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么a的23值為.13.數(shù)形相伴如下圖-3-2-I.I2345,點(diǎn)A、B所代表的數(shù)分別為1,2,在數(shù)軸上畫出與A、B兩點(diǎn)的距離和為5的點(diǎn)并標(biāo)上字母.2假設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)A、B所代表的數(shù)分別為a、b,那么A、B兩點(diǎn)之間的距離可表示為AB|ab|,那么,當(dāng)|x1|x2|7時(shí),x*|x1|x2|5時(shí),數(shù)X所對應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置是在?時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)?數(shù)學(xué)文化節(jié)試題14 .點(diǎn)A、B分別是數(shù)3、-在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn),使線段AB沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)為AB,2且線段AB的中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)是3,那么點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)A移動(dòng)的距離是江蘇省競賽

11、題15 .點(diǎn)A-、&、A3、L、Ann為正整數(shù)都在數(shù)軸上,點(diǎn)A在原點(diǎn)O的左邊,且AO1,點(diǎn)A在點(diǎn)A的右邊,且A2Al2;點(diǎn)A在點(diǎn)與的左邊,且A3A23,點(diǎn)A在點(diǎn)A的右邊,且A4A34,LL,依照上述規(guī)律,點(diǎn)A2021、A2021所表示的數(shù)分別為A.2021,2021B.2021,2021C.1004,1005D.1004,1004福建省泉州市中考題_1上！立IL二,16 .如圖：/BCD,數(shù)軸一上標(biāo)出假設(shè)干個(gè)點(diǎn),每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位,點(diǎn)A、B、C、D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且b2a9,那么數(shù)軸的原點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)是.D.D點(diǎn)一.上.1.|a|b|口°D.cbA、B、C,假

12、設(shè)|ab|bc|ac|C點(diǎn)左邊A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)17 .有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖,式子|ab|bc|化簡結(jié)果為.A.2a3bcB.3bcC.bc18 .不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)分別為那么點(diǎn)B.A.在A、C點(diǎn)右邊B.在A、C.在A、C點(diǎn)之間D.以上均有可能“希望杯邀請賽題19 .在數(shù)軸上,N點(diǎn)與O點(diǎn)的距離是N點(diǎn)與30所對應(yīng)點(diǎn)之間的距離的4倍,那么N點(diǎn)表示的數(shù)是多少"CASIO杯河南省競賽題20 .數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn),分別代表24、10、10,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行.甲的速度為4個(gè)單位/秒.1問多少秒后甲到A、B、C的距離和為40

13、個(gè)單位2假設(shè)乙的速度為6個(gè)單位/秒,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向1而行,問甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇3在1、2的條件下,當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí),甲調(diào)頭返回,問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎假設(shè)能,求出相遇點(diǎn)；假設(shè)不能,請說明理由.21.操作與探究對數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以1再把所得數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)向右平3移1個(gè)單位,得到點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P.點(diǎn)A,B在數(shù)軸上,對線段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段AB,其中,點(diǎn)A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為AB,如下圖,假設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)是3,那么點(diǎn)A表示的數(shù)是假設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是2,那么點(diǎn)B表示的數(shù)是;線段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過上述操作后得

14、到的對應(yīng)點(diǎn)E與點(diǎn)E重合,那么點(diǎn)E表示的數(shù)是.43*T-2-1.】2342021年北京市中考題22.一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā),沿?cái)?shù)軸的正方向以每前進(jìn)5個(gè)單位、后退3個(gè)單位的程序運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P每秒前進(jìn)或后退1個(gè)單位,設(shè)xn表示第n秒點(diǎn)P在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)(如X44,X55,X54),求X2021所對應(yīng)的數(shù).2.聚焦絕對值絕對值是數(shù)學(xué)中的一個(gè)根本概念,這一概念是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算、算術(shù)根的根底；絕對值又是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念,絕對值與其他知識(shí)融合形成絕對值方程、絕對值不等式、絕對值函數(shù)等,在代數(shù)式化簡求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應(yīng)用,理解、掌握絕對值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：1 .脫去絕對

15、值符號(hào)是解絕對值問題的切入點(diǎn)脫去絕對值符號(hào)常用到相關(guān)法那么、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法2 .恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對值的幾何意義從數(shù)軸上看|a|表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；|ab|表示數(shù)a、數(shù)b的兩點(diǎn)間的距離3 .靈活運(yùn)用絕對值的根本性質(zhì)|a|0;|a21|a|2a2；|ab|a|b|；|a|回(ba)b|b|例1：y|xb|x20|xb20|其中0b20,bx20,那么y的最小值為.("CASIO杯河南省競賽題)試一試結(jié)合條件判斷出每一個(gè)絕對值符號(hào)內(nèi)式子的正負(fù)性,再去掉絕對值符號(hào).一,、一abab例2式子的所有可能的值有().|a|b|ab|A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.無數(shù)個(gè)試一試根據(jù)a、b

16、的符號(hào)所有可能情況,去掉絕對值符號(hào),這是解本例的關(guān)鍵一一,111例3(1)|ab211a2|0,求ab(a1)(b1)(a2)(b2)的值.(a2005)(b2006)(“華羅庚杯香港中學(xué)競賽題)(2)設(shè)a、b、c為整數(shù),且|ab|ca|1,求|ca|ab|bc|的值.(“希望杯邀請賽試題)試一試對于(1),由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先導(dǎo)出a、b的值；對于(2),1寫成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)的和的形式又有幾種可能企是解(2)的突破口.例4閱讀以下材料并解決有關(guān)問題：x(x0),我們知道|x|0(x0),現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式,如化x(x0).簡代數(shù)式|x1|x2|時(shí),可令：x10和x20,分

17、別求得x1,x2(稱1,2分別為|x1|與|x2|的零點(diǎn)值)在有理數(shù)范圍內(nèi),零點(diǎn)值x1和x2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：(1)x1；(2)1x2；x2.從而化簡代數(shù)式|x1|x21可分以下3種情況：(1)當(dāng)x1時(shí),原式(x1)(x2)2x1;(2)當(dāng)1x2時(shí),原式x1(x2)3;(3)當(dāng)x2時(shí),原式x1x22x1.2x1(x1),綜上討論,原式3(1x2),2x1(x2).通過以上閱讀,請你解決以下問題：(1)分別求出|x2|和|x4|的零點(diǎn)值；(2)化簡代數(shù)式|x2|x4|.(云南省中考題)試一試在閱讀理解的基石上化簡求值.例5(1)當(dāng)x取何值時(shí),|x3|有最小值這個(gè)最小

18、值是多少(2)當(dāng)x取何值時(shí),5|x2|有最大值這個(gè)最大值是多少(3)求|x4|x5|的最小值.(4)求|x7|x8|x9|的最小值.分析對于(3)、(4)可先運(yùn)用零點(diǎn)分段討論法去掉絕對值符號(hào),再求最小值；也可利用絕對值的幾何意義,即在數(shù)軸上找一表示x的點(diǎn),使之到表示4、5的點(diǎn)(:或表示7、8、9的點(diǎn))的距離和最小.解(1)當(dāng)x3時(shí),原式有最小值,最小值為0.(2)當(dāng)x2時(shí),原式有最大值,最大值為5.(3)當(dāng)4x5時(shí),原式有最小值,最小值為1.(4)當(dāng)x8時(shí),原式有最小值,最小值為2.對于(3),給出另一種解法：當(dāng)x4時(shí),原式(x4)(x5)92x,最小值為1；當(dāng)4x5時(shí),原式x4(x5)1,最

19、小值為1；當(dāng)x5時(shí),原式x4x52x9,最小值為1.綜上所述,原式有最小值等于1.以退求進(jìn)例6少年科技組制成一臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器,對任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運(yùn)算,其運(yùn)算過程是：輸人第一個(gè)整數(shù)x1,只顯示不運(yùn)算,接著再輸人整數(shù)*2心后那么顯示|x1x2|的結(jié)果,此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對值的運(yùn)算.現(xiàn)小明將從1到1991這1991個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸人,全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為P,試求出P的最大值,并說明理由.分析先考慮輸入個(gè)數(shù)較少的情形,并結(jié)合奇偶分析調(diào)整估值,一步步求出P的最大值.解由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù),當(dāng)x10,x20時(shí),|為x21不超過x1、*2中最大的數(shù),對x10,x20,x30,那么|x1x2|x3|不超過工x1、x2、x3中最大的數(shù),設(shè)小明輸入這1991個(gè)數(shù)的次序是x1,x2,為991.相當(dāng)于計(jì)算：|L|xx2|*3|x1990|x1991|P,因此P的值x1991.另外從運(yùn)算奇偶性分析,x1、*2為整數(shù),|x1x2|與|x1x2|奇偶性相同,因此P與xx2x1991的奇偶性相同,但xx2x1991121991偶數(shù)