數學核心素養(yǎng)和小學數學教學(史寧中)

1、數學核心素養(yǎng)和小學數學教學（一）史寧中（東北師范大學數學系教授，博士生導師）數學核心素養(yǎng)和小學數學教學，因為你們在討論常態(tài)的數學教學，后來張老師讓我講核心素養(yǎng)， 我就把這兩個放在一起了，“數學核心素養(yǎng)與小學數學教學” 。我先講個前言就是小學數學教學和數學核心素養(yǎng)怎么能掛上鉤， 我的第一個觀點你們一定不同意，但是我堅持我的想法。教無定法，絕對不能說哪種教學方法是最好的辦法，教育教學是個藝術，藝術就是在不同的場合、不同的情況下會采取不同的方式，所以根據你講課內容的不同，根據聽眾的不同，甚至根據你那天講的心情的不同，你可以用不同的教學方法，比如一個新概念的引入，你可能會舉一些例子來說明這個概念是怎么

2、回事；如果要是接續(xù)以前的概念，你可能就不要引入很現實的例子，直接就講下去了，我認為都可以，教無定法，但是教書得有一個基本的規(guī)則，所以我希望經過新常態(tài)的討論能定下一個原則，就是說課堂教學應該遵循的原則是什么，或者說評價一堂課好或不好的標準是什么，教書是一門藝術，藝術同科學的最大區(qū)別是什么？科學是無論是誰，無論在哪里，無論在什么時候得到的結論都是一樣的，這就叫做科學。藝術是會隨著人的不同、時間的不同、場合的不同有所改變，因此藝術的好壞有一個標準，基本標準就叫做價值觀，由你的價值觀來判斷這個藝術是好或是不好，有人認為好，有人認為非常不好。價值觀是什么，就是一堂課的評判標準是什么，在此，中國的義務教育

3、法中，國家鼓勵學校和教師采用啟發(fā)式教育教學方法，提高教育教學質量，就是不管你怎樣教書，采用怎樣的辦法，一定要啟發(fā)學生思考，啟發(fā)式教學，在法律中只有這句話，因此在修改普通高中數學課程標準明確指出，數學教學活動的關鍵是啟發(fā)學生學會數學思考，啟發(fā)學生思考是非常重要的?，F在在討論核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)就很難討論特別清楚，但是有一句話是非常好的，就是培養(yǎng)一個孩子，這個孩子可能未來不從事數學，那培養(yǎng)的終極目標是什么呢？終極目標就是學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，眼光、思維、語言，你在講課的過程當中，在備課的過程之中，這個是很重要的，我認為是終極目標。因此在

4、這樣一個終極目標下，我們好的教學質量應該是怎樣的呢？就是把握數學內容的本質，創(chuàng)設合適的教學情境，在教師的啟發(fā)下，提一個好的情境、好的問題引發(fā)學生思考，學生讓他自然而然的學會思考是很難的，教師的責任之一就是要他學會思考，敢于思考，善于思考，這是教師的責任，讓學生在情境中掌握知識技能，感悟數學內容的本質，積累數學思維的經驗， 這就是課標說的四基： 基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。孩子是否會想問題不是老師教會的，是自己領悟出來的，是一種經驗的積累，所以老師要幫這孩子積累經驗，一個是思維的經驗：會想問題；一個是做事的經驗：會做事情，這兩個經驗是很重要的。最后加上一句話，形成數學的核心素養(yǎng)。

5、這樣的話你們就記住三件事情，第一個就是讓孩子們掌握知識，這是必須的；第二個提高能力；第三個發(fā)展素養(yǎng)。素養(yǎng)是終極目標，這樣我就把常態(tài)教學和核心素養(yǎng)結合在一起了，終極目標是最難實現的。下面我來談三個問題，一、什么是數學核心素養(yǎng)；二、如何在小學數學教學活動中體現數學核心素養(yǎng)；三、如何在小學數學教學評價中考查數學核心素養(yǎng)。什么是數學核心素養(yǎng)，原來我不知道這個詞，所以在寫課標時寫的是核心概念，我們國家在教育部文件教育部關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務中提到了核心素養(yǎng)，并且要求修改課程標準，要把學科核心素養(yǎng)貫穿始終，“數學素養(yǎng)”我知道，但是我不知道“數學核心素養(yǎng)”。學科核心素養(yǎng)的概念在這個文件中

6、體現出來的，這個標準出來之后，北師大組成專家團隊在研究核心素養(yǎng)，他們是這樣定義的，是指學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力，那么變成數學核心素養(yǎng)就是：具有數學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的、具有數學特征的關鍵能力與思維品質。必備品質是比較難理解的，在此我提出的核心素養(yǎng)供你們參考和理解。我理解的核心素養(yǎng)是后天形成的，是在特定場合才能表現出來的， 是跟人的行為有關的知識能力和態(tài)度。涉及三方面：人與社會、人與自己、人與工具，這是我腦袋中想的，只供參考。不是后天的，怎么還會在學校里？學習時刻東西表現是本能，這不用你教，是特定場合表現出來的，是和人的行為有關

7、的，是思維習慣，是智商，說到底是一種習慣，有點像修養(yǎng)式的一個習慣，是在特定場合表現人的行為有關的。我估計在這個課標公布后都會討論，我是根據經合組織、科教文組織、歐盟組織等相關資料，進行總結合并出這幾句話， 你要是查原文的話，我建議去查經合組織和歐盟，那是我歸攏總結出來的?，F在根據這個想法，我們高中階段的核心素養(yǎng)定了六個方面，最本質的是數學抽象、邏輯推理、數學建模，剩余的雖不是本質，但是高中階段表現的是直觀想象、數學運算、數據分析，在寫義教課標的時候給了八個核心詞，正好和義務教育的數學核心素養(yǎng)剛好相應：數感和符號意識正好對上數學抽象；數學抽象在小學階段主要表現在符號意識和數感，推理能力及邏輯推理

8、，模型思想及數學建模，直觀想象在義務教育中體現的就是幾何直觀和空間想象，幾何直觀比較好建立，代數直觀非常難建立，還有統(tǒng)計直觀更難建立。所以義教階段只提了幾何直觀，我在會上提出過任何學科應該把這個學科的直觀作為培養(yǎng)終極目標，但是義教階段是不能都建立起來的，把整個數學直觀都建立是很難的一件事情，所以只強調幾何直觀，在高中時候就多了一點，在大學時候要都建立起來。數學的直觀是看出來了的，不是證出來的。小學老師教直觀就是教孩子把結論看出來，是培養(yǎng)這個直觀。這三個是很重要的：應用意識、創(chuàng)新意識和學會學習。原來十個關鍵詞的時候有應用意識和創(chuàng)新意識，在義教階段我不知道怎么樣，反正在高中階段學會學習是很重要的。

9、 那么為什么定這幾個核心詞呢？它的理由同我終極培養(yǎng)目標是有關的。剛才說會用數學的眼光觀察現實世界，數學的眼光就是學過數學的人看世界同沒學過數學的人看世界有什么差異呢？學過數學的人看世界會抽象， 會一般地看問題，因此就是抽象，包括直觀想象。其實抽象是看出來的，感情色彩很多是靠直觀想象的，那么引發(fā)的數學特征是什么？就是數學具有一般性，我們數學研究的東西不是個案的， 是一般的。一定記住你反復做題時你培養(yǎng)技巧是不行的，技巧是個案的，你要培養(yǎng)技能，但是很多老師培養(yǎng)的是技巧，對這道題好使，數學培養(yǎng)的是對很多題都好使。小學數學老師經常會碰到這樣的問題： 3x+2=5，直接就看出 X=1，直接就得出結論 x=

10、1，我說不行，你必須用解方程的方法一步步算，通信通法往往比你解一道題的方法更重要。第二個，數學的思維是什么？學過數學的人想問題和沒學過數學的人想問題的本質是什么， 一般人都認為學過數學的人想問題有邏輯，這就是數學的邏輯，引發(fā)的數學特征就是數學的嚴謹性。數學的語言是什么？數學有直接應用， 數學真正應用到化學和物理這些學科是靠模型，義教階段比較少，因為模型的原因，它引發(fā)數學的特征是數學的廣泛性?，F在我進入我要談的主要內容，在小學數學中如何教核心素養(yǎng)，主要談三件事情。第一如何教數學的抽象，我認為義教階段的符號意識、數感甚至把幾何直觀和空間想象都歸到數學抽象；第二講邏輯推理，小學核心詞中提到的運算能力

11、和推理能力；第三講數學模型的模型思想、數據分析觀念。先談數學抽象。什么是數學抽象？數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究的對象，數學研究對象來自兩點，一個是數量與數量關系，一個是圖形與圖形關系。你們記住這件事情，光記住概念是不夠的， 也沒有什么意義的，得到概念的同時，要不得到概念的性質，要不得到概念的之間的關系，這是很重要的，舍去一切物理屬性，說起來容易，做起來并不是很容易。我們在講課的過程中經常會忘記這句話，課標上有一個例子：天安門城門是一個軸對稱圖形，有的學生就提出不對，旗幟沒有對稱。對稱是指什么呢，數學要抽象，主要是教材有缺陷，其實應該把所有的物理屬性都剔除，就剩下輪廓同顏色也

12、沒有關系，天安門城樓的輪廓是軸對稱圖形，所以數學應該是去除一切物理屬性的。抽象的對象，我現在就干一件事情就是把每件事情說得特別仔細，絕不含糊，我也不跟你云山霧罩，可能說得不全，容易讓人挑毛病，所以一般人都愿意說得云山霧罩，讓你挑不出毛病，但是對于小學老師則不行， 我必須把話說透， 所以我寫了書基本概念與運算法則 30 問題，談得非常仔細。今天我也采取這塊原則，抽象的對象，一個是數量，一個是圖形。抽象之后得到了數學研究的對象，得到了概念、關系和規(guī)律?，F在我提出一個問題，就是在小學教學的過程當中，抽象大概要經過哪幾個必要的步驟？我不是很清楚，這是你們的事，我就往下具體談了，義教階段先談數、再談運算

13、和幾何。不僅小學數學，整個數學，抽象本質上兩種方法， 第一個方法是對應的方法，第二個方法是內涵的方法。對應的方法的方法就是起個名字，但是這個起名字是極為重要的，我建議小學一、二年級用對應的方法，有的概念一開始引入得用對應的方法，然后用內涵的方法，現在我提第一個問題：數是什么？數的本質是什么？表示數的關鍵是什么？這個問題比較泛，我不知道，曾問過東北師范大學研究教育的一位老先生，他回答不上，我就比較著急，因為最根本的問題答不上，我就開始研究了。數是什么？關于理解它涉及到兩個素養(yǎng)，一個涉及符號意思，另一個涉及到數感。數是符號，是對數量的抽象，光有概念不很重要，關系很重要，既然是從數量中抽象出來的，那

14、么數的關系來自于數量的關系。你們仔細想想數量關系的本質是什么， 數量關系的本質是多少。 我講一個例子：來了一只狼，一只狗敢對付；來一群狼，狗是不是掉頭就跑。動物知道多還是少，所以動物知道就是本質的，最根本的。數量的本質是多和少，抽象到數就是大和小，數的大和小是數的本質。你光教數字“ 2”是沒有意義的，你要教 2 比 3 小，比 1 大，怎么教呢？你們教科書上都是這樣教的：三個蘋果，三只雞對應三個小方塊，然后用一個拐彎的符號表示 3，就是這樣抽象出來的， 所以 3 就是個符號，對不對？記住，這個叫做模式，三只雞、三個蘋果對應三個小方塊這是重要的，這是一個開始的模式，因為有一個研究數學教育的老師曾

15、經問我為什么有的孩子老也分不清楚 3 和 4，我就問他是不是講3 的時候講 3 個蘋果，講 4 的時候講 4 個梨呢，他說是。這就不行了，孩子小，他不知道你講的3 跟蘋果無關，你講的4 跟梨無關，他不知道這件事情。因此我同師大附小的老師說，基于孩子比較小，在一學期中你用小方塊就老用小方塊，別一堂課用小方塊，下堂課用圓，再下堂課用小長條，把孩子的腦袋搞亂了，要怎么簡潔怎么來，慢慢地就懂得了。關于負數，我都呼吁好幾次了，負數按我這么講，你們一般是加完等于0 的那個就是負數。我給你們講個故事，以后用這個故事講負數。在小學課本中是不是這樣講的：負數最早出現于中國的九章算術 。我干什么都比較較真，就把九

16、章算術翻來了，方程篇第八題，它講這樣一個事：一個人賣馬賣牛掙的錢，之后又買羊交了錢，就出現了這么一個情況。文字形式有收入有支出，收入算正的，支出算負的，負數就是這么出來的。負數和正數是什么關系：數量相等、意義相反，因此負數也是對數量的抽象，如果你把掙的錢算正，交的錢就算負，往東算正，往西就算負，往上就算正，往下的就意義相反，數量相等這個事的意義很重要，因此絕對值是表示它的數量，這還談了中國傳統(tǒng)文化挺好。還有一個對數的認識是內涵的方法，內涵的方法是數，是一個個多起來的這個叫后繼數，這個是皮亞諾的算術工藝體系， 數是一個個多起來的， 一個個多起來按 +1 表示，所以加法同時定義出來的，這是數學的公

17、理，這是皮亞諾公理，是自然數公理。那么現在就有一個問題了，我有一次聽課說是講 10000，那么 10 個 1000 是 10000，我說十千為什么是一萬呢，后來我問我們附小， 我們附小也是這樣講， 課本上也是這樣講的， 10 個 1000 是 10000，是乘法，那個時候教乘法了嗎？ 10000 是怎么回事？在千以內最大的是 9999，如果又來一個數， 我們怎么叫新的數呢？中國老祖宗出面起個名字叫萬，西方的老祖宗不是特別聰明就叫它 10 千，一萬是起個名字，數是一個個多起來的，這就是內涵的方法理解，所以一開始用對應的方法，然后用內涵的方法來教這個事情。 不管你怎么教符號，表達是一致的，所以符號

18、表達很重要。讀數怎么讀，我也是聽一堂課。一開始我看孩子們上課前眼睛發(fā)光，聽完這堂課眼睛就迷離了，我說終于把孩子們講糊涂了。讀數有0 不好讀，是不是？后面有一個 0 怎么辦？后面有兩個0 怎么辦？中間有一個0 怎么辦？中間有2 個 0怎么辦？一堂課下來孩子們都弄糊涂了。下課我就問老師你讀數就這么讀啊。老師回答說我不這么讀，我說你不這么讀你為什么讓孩子們這么讀，我說讀數的關鍵是什么，他說不知道，我說你們這么教書不行。我認為讀數的關鍵就兩條，一個是符號， 0-9 ；第二個是數位，個位的2 和十位的 2 是不一樣的。那么怎么讀呢？就用它的符號讀它的數位就完了，2002（2000 零百零 10，2 個）

19、就是這樣讀，你不嫌麻煩就這么讀，你要嫌麻煩就讀2002，這堂課就講完了，還用講一堂課嗎？五分鐘肯定講完了。還有一件事情就是數位和數沒有分出來“十”個個是“十”，“十”個十是“百” ，“十”個百是“千” ，“十”個千是“萬” ，是指數位，為什么是“十”呢？因為是十進制，數不是，數是一個個多起來的，所以萬是計數單位。運算也有兩個方法，我這邊講兩個最基礎的，再往下你們自己想去。加法怎么講？加法的本質怎么講？加法是最重要的，你們都這樣講的有3 個小方塊再加上 1 個小方塊， 4 個小方塊， 所以 3+1+4，對不對？我說為什么等于 4，他也說不出來，我說是不是 4=3+1，所以 3+1=4。是的，但是

20、這里有兩個事情沒有說出來，什么叫加？什么叫等？他問我怎么講，我說你這么講，我們附小老師現在按我說的講：這頭有 3 個小方塊，這頭有 4 個小方塊，問小孩哪頭多，小孩說那頭多，這頭再加上一個小方塊，問哪頭多，說一樣多，所以 3+1=4。什么叫加得清楚？什么叫等要清楚？什么叫等？等有兩個概念，一個是運算的結果，還有一個表示量相等。等號有這么一個功能，就是等號在講兩個故事，兩個故事量相等，這就是建立方程。什么是方程呢？就是方程必須講兩個故事，講一個故事怎么來列出方程呢，講兩個故事，兩個故事量相等，所以就這樣講。我后來對小學老師佩服得五體投地，我講課講得干巴巴的，而我們附小老師這樣講：猴哥哥同猴妹妹去摘桃，猴哥哥摘了 4 個，猴妹妹摘了 3 個，誰摘的多，猴哥哥摘的多，那么我在猴妹妹這加上一個，一樣多，所以 3+1=4。你看人家講的比我好多了，就是所有的符號，你跟孩子講可能講的不是很清楚，但是你給孩子創(chuàng)設一個情境，讓孩子去悟。所以這塊就涉及到這樣一個事了，方程。什么是方程？含有未知數的等式是方程，這句話對嗎？我就問編書的，2x-x=x 是方程嗎？那是運算， 怎么叫方程呢