高等機構學01

1、高等空間機構學高等空間機構學YSU李永泉李永泉燕山大學機械工程學院燕山大學機械工程學院20152015年年1111月月n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理n 空間機構的位置分析空間機構的位置分析n 運動影響系數(shù)原理運動影響系數(shù)原理n 基于約束螺旋理論的并聯(lián)機構型綜合基于約束螺旋理論的并聯(lián)機構型綜合n 空間機構的奇異分析空間機構的奇異分析n 機構學的其他問題機構學的其他問題本門課程的主要本門課程的主要學習內(nèi)容學習內(nèi)容 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示運動和受力螺旋表示運動和受力 運動副的螺旋表示運動副的螺旋表示 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基

2、于螺旋理論的自由度計算基于螺旋理論的自由度計算n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示運動和受力螺旋表示運動和受力 運動副的螺旋表示運動副的螺旋表示 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理論的自由度計算基于螺旋理論的自由度計算n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理 方向向量方向向量 S 位置向量位置向量 r 線矩線矩S0= rS 直線表示為直線表示為( (S; ; S0)，滿足，滿足SS0=0。 一般，對偶矢量中一般，對偶矢量中 SS00，( (S; ; S0)表示一個一般的螺旋表示一個一

3、般的螺旋 基本概念基本概念直線的直線的plcker坐標坐標:螺旋也稱旋量。一個旋量表示空間的一組對螺旋也稱旋量。一個旋量表示空間的一組對偶矢量偶矢量p 同時表示矢量的方向和位置。同時表示矢量的方向和位置。p 同時表示運動學中的線速度和角速度同時表示運動學中的線速度和角速度p 同時表示剛體力學中的力和力矩同時表示剛體力學中的力和力矩基本概念基本概念螺旋一般形式螺旋一般形式 $=(S; ;S0)，節(jié)距節(jié)距基本概念基本概念0hS SS S00 ; () ; hhSSSSSS000()0hS SSSSS SS SS S令令S0=S0-hS于是一般螺旋可以表示為于是一般螺旋可以表示為 $= (S; ;S

4、0+hS)p SS00, ,h為非零有限值。為非零有限值。 $=(S; ;S0)表示一般螺旋。表示一般螺旋。$= (S; ;S0+hS)p SS0=0, ,h=0時。時。 $=(S; ;S0)表示線矢量。表示線矢量。p S0, ,h=時時 $=(0; ;S)表示偶量。表示偶量。 基本概念基本概念00 ; ; hhhhSSS$SSS 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示運動和受力螺旋表示運動和受力 運動副的螺旋表示運動副的螺旋表示 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理論的自由度計算基于螺旋理論的自由度計算n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理用角

5、速度的線矢量表示轉動用角速度的線矢量表示轉動: : 與轉軸重合的單位線矢量與轉軸重合的單位線矢量 $=(S; ;S0) 轉動運動的轉動運動的plckerplcker坐標為坐標為 w$= w( S; ;S0) = (w; ;v0)即角速度的大小與一個表示轉軸作用線的單位線即角速度的大小與一個表示轉軸作用線的單位線矢之積。矢之積。螺旋表示運動螺旋表示運動用偶量表示移動用偶量表示移動 剛體移動可以看作是繞距原點無限遠處軸剛體移動可以看作是繞距原點無限遠處軸線的瞬時轉動，轉軸可用一個偶量表示為線的瞬時轉動，轉軸可用一個偶量表示為$=(0; ;S) 移動運動的移動運動的plckerplcker坐標：坐標

6、： v$= v( 0; ;S) = (0; ;v) 即線速度的大小與偶量即線速度的大小與偶量$之積。之積。 移動運動的方向矢量空間任意平移，并不改變剛體移動運動的方向矢量空間任意平移，并不改變剛體的運動狀態(tài)，的運動狀態(tài)，( 0; ;S)為一個自由矢量。為一個自由矢量。螺旋表示運動螺旋表示運動更一般的螺旋運動則可看作移動與轉動的合成更一般的螺旋運動則可看作移動與轉動的合成用線矢量表示力用線矢量表示力: : 與作用力重合的單位線矢量與作用力重合的單位線矢量 $=(S; ;S0) 力的力的plckerplcker坐標可寫為坐標可寫為 f$= f( S; ;S0) = (f; ;C0)即力的大小與和約

7、束力重合的單位線矢之積。即力的大小與和約束力重合的單位線矢之積。螺旋表示受力螺旋表示受力用偶量表示力偶用偶量表示力偶 力偶是自由矢量，其在剛體內(nèi)的平移不會力偶是自由矢量，其在剛體內(nèi)的平移不會改變對剛體的作用效果。改變對剛體的作用效果。 自由矢量可表示為自由矢量可表示為$=(0; ;S) 力偶的力偶的plckerplcker坐標坐標 C$= C( 0; ;S) = (0; ;C) 即力偶大小與自由矢量之積。即力偶大小與自由矢量之積。螺旋表示受力螺旋表示受力力螺旋可看作力線矢與共線的力偶的合成力螺旋可看作力線矢與共線的力偶的合成 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示運動和受力螺旋表示運動和受力

8、運動副的螺旋表示運動副的螺旋表示 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理論的自由度計算基于螺旋理論的自由度計算n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理運動副的螺旋表示運動副的螺旋表示p轉動副轉動副000;0101$50 0 0;10 0$000;100000;010000;001321$p移動副移動副p球副球副 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示運動和受力螺旋表示運動和受力 運動副的螺旋表示運動副的螺旋表示 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理論的自由度計算基于螺旋理論的自由度計算n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋

9、理論的自由度分析原理螺旋相關性螺旋相關性螺旋相關性的定義螺旋相關性的定義: :當有當有n n個螺旋個螺旋$i=Si+S0i，i=1,2n, ,螺旋線性相關時必可找到一組不全為零螺旋線性相關時必可找到一組不全為零的數(shù)的數(shù)i，使得，使得n0iiS 定理：定理： 螺旋系的相關性與坐標系的選擇無關。螺旋系的相關性與坐標系的選擇無關。 考慮到螺旋系的相關性與坐標系的選擇無關的這個考慮到螺旋系的相關性與坐標系的選擇無關的這個定理，為了簡明，在分析螺旋系的相關性時我們可以定理，為了簡明，在分析螺旋系的相關性時我們可以選最方便的坐標系，使諸螺旋的表達盡可能地簡單。選最方便的坐標系，使諸螺旋的表達盡可能地簡單。

10、線矢和偶量在不同幾何條件下的最大線性無關數(shù)線矢和偶量在不同幾何條件下的最大線性無關數(shù)序號序號幾何特點幾何特點圖示圖示線矢線矢h=0偶量偶量h=1共軸112共面平行213平面匯交224空間平行315共面32序號序號幾何特點幾何特點圖示圖示線矢線矢h=0偶量偶量h=6空間共點337單頁雙曲面上不相交的直線3-8（a）有公共交線，交角為直角；（b）有公共交線，且交角為一定；（c）有一條公共交線；（d）有兩條公共交線；（e）有三條公共交線；44543-9平行平面，且無公垂線5-10無公共交線，空間交錯5-序號序號幾何特點幾何特點圖示圖示線矢線矢h=0偶量偶量h=11三維空間任意情況6312兩平行線矢和

11、一法向偶量213平面3線矢和一法向偶量314空間平行3線矢及一個相垂直的偶量3 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示運動和受力螺旋表示運動和受力 運動副的螺旋表示運動副的螺旋表示 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理論的自由度計算基于螺旋理論的自由度計算n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理 分支中的某個運動螺旋分支中的某個運動螺旋$1和分支的約束螺旋和分支的約束螺旋$2互逆，互逆，其互易積為零其互易積為零 00001211221221;0s sssssss$物理意義：互易積為零的兩個螺旋，一個表示物體運動，一物理意義：互易積為零的兩個螺旋，一

12、個表示物體運動，一個表示物體受到的約束力，則互易積就是力螺旋對運動螺旋個表示物體受到的約束力，則互易積就是力螺旋對運動螺旋所作的瞬時功，如兩個螺旋的互易積為零，則表示約束螺旋所作的瞬時功，如兩個螺旋的互易積為零，則表示約束螺旋在運動螺旋方向上沒有瞬時功。在運動螺旋方向上沒有瞬時功。 螺旋相逆性螺旋相逆性約束螺旋為約束力線矢約束螺旋為約束力線矢2222;s rs$螺旋相逆性螺旋相逆性p對于分支中的轉動副，對于分支中的轉動副， $1是一個線矢量，即是一個線矢量，即 0111111;s ss rs$根據(jù)前面的互易積公式，有根據(jù)前面的互易積公式，有 1212221121211212 sin0srssr

13、srrssd$此式子成立的條件是此式子成立的條件是12120 =0d或 可知：可知：約束力與轉動副軸線約束力與轉動副軸線 共面（相交或平行）共面（相交或平行）螺旋相逆性螺旋相逆性約束螺旋為約束力線矢約束螺旋為約束力線矢p 對于分支中的移動副，對于分支中的移動副， $1是一個偶量，即是一個偶量，即110;s$ 根據(jù)前面的互易積公式，有根據(jù)前面的互易積公式，有121212cos0ss$ 此式子成立的條件是此式子成立的條件是12=90可知：可知：約束力（反螺旋）與移動副約束力（反螺旋）與移動副 垂直垂直螺旋相逆性螺旋相逆性約束螺旋為約束力線矢約束螺旋為約束力線矢p對于分支中的轉動副，對于分支中的轉動

14、副， $1是一個線矢量，即是一個線矢量，即螺旋相逆性螺旋相逆性約束螺旋為約束力偶約束螺旋為約束力偶220;s$ 0111111;s ss rs$螺旋相逆性螺旋相逆性 根據(jù)前面的互易積公式，有根據(jù)前面的互易積公式，有121212cos0ss$ 此式子成立的條件是此式子成立的條件是12=90可知：可知：約束力偶（反螺旋）與轉動副約束力偶（反螺旋）與轉動副 垂直垂直約束螺旋為約束力偶約束螺旋為約束力偶p對于分支中的移動副，對于分支中的移動副， $1是一個偶量，即是一個偶量，即110;s$ 根據(jù)前面的互易積公式，有根據(jù)前面的互易積公式，有1221000ss $可知：可知：約束力偶（反螺旋）與移動副軸線

15、約束力偶（反螺旋）與移動副軸線 始終互逆。始終互逆。螺旋相逆性螺旋相逆性約束螺旋為約束力偶約束螺旋為約束力偶當螺旋系同時含有若干線矢量和偶量1與此螺旋系相逆的線矢量，必須與所有偶量相垂直且與所有線矢量相交2與此螺旋系相逆的偶量必須與螺旋系的所有線矢量垂直螺旋相逆性螺旋相逆性p 兩線矢相逆的充要條件是它們共面兩線矢相逆的充要條件是它們共面p 兩個偶量必相逆兩個偶量必相逆p 線矢與偶量僅當垂直時才相逆線矢與偶量僅當垂直時才相逆p 線矢和偶量皆自逆線矢和偶量皆自逆與已知螺旋系相逆的反螺旋與已知螺旋系相逆的反螺旋 螺旋的基本概念螺旋的基本概念 螺旋表示運動和受力螺旋表示運動和受力 運動副的螺旋表示運動

16、副的螺旋表示 螺旋的相關性螺旋的相關性 螺旋的相逆性螺旋的相逆性 基于螺旋理論的自由度計算基于螺旋理論的自由度計算n 基于螺旋理論的自由度分析原理基于螺旋理論的自由度分析原理1d1giiMngfv修正的修正的G-KG-K公式：公式：機構自由度計算機構自由度計算M機構的自由度；機構的自由度；d機構的階數(shù)（機構的階數(shù)（6- -公共約束數(shù)公共約束數(shù) ）；）；n機構的構件數(shù)機構的構件數(shù)(包括機架包括機架)；g運動副的個數(shù)；運動副的個數(shù)；fi第第i個運動副的自由度；個運動副的自由度；v冗余約束的個數(shù)；冗余約束的個數(shù)；機構中存在的局部自由度機構中存在的局部自由度機構的公共約束機構的公共約束機構的公共約束：

17、機構的公共約束： 與機構中的每個運動螺旋都相逆的約束螺旋稱為與機構中的每個運動螺旋都相逆的約束螺旋稱為機構的公共約束。存在公共約束則意味著機構中任何機構的公共約束。存在公共約束則意味著機構中任何一個構件都不能發(fā)生這個運動。一個構件都不能發(fā)生這個運動。并聯(lián)機構的公共約束：并聯(lián)機構的公共約束： 各分支都能提供同樣的約束（約束力應共軸，約各分支都能提供同樣的約束（約束力應共軸，約束力偶應同向）。束力偶應同向）。機構的階機構的階機構的階：機構的階： 機構運動螺旋系的階（機構運動螺旋系的階（RankRank），機構所有構件允），機構所有構件允許的運動維數(shù)許的運動維數(shù)機構的階機構的階 + + 公共約束數(shù)公

18、共約束數(shù) = 6= 63-RPS機構自由度計算機構自由度計算3-RPS機構自由度計算機構自由度計算12345100;000000;0e100;0010;00001;00$f$fe$f$e分支的運動螺旋系：分支的運動螺旋系：100;0-r$fe約束螺旋系為：約束螺旋系為：對于這個對于這個3-RPS3-RPS整體機構，整體機構，3 3個相同分支個相同分支有有3 3個類似的約束力，都過各自分支球副個類似的約束力，都過各自分支球副中心并與第一個轉動副平行。作用于上中心并與第一個轉動副平行。作用于上平臺的平臺的3 3個約束力就約束了平臺的個約束力就約束了平臺的3 3個自個自由度，限制了包括動平面內(nèi)的兩個

19、移動由度，限制了包括動平面內(nèi)的兩個移動和繞動平面法線的相對轉動。和繞動平面法線的相對轉動。沒有公共沒有公共約束約束1616 89 11503giiMngfv 按照修正的按照修正的G-K公式計算：公式計算：3-RPS機構自由度計算機構自由度計算自由度性質自由度性質3-RRC機構自由度計算機構自由度計算RRCRRC分支的運動螺旋系：分支的運動螺旋系：分支的約束螺旋系為：分支的約束螺旋系為：為分別沿為分別沿y和和z軸方向的兩個約束力偶。軸方向的兩個約束力偶。12223334100;000100;0100;0000;100efef$12000;010000;001rr$考慮公共約束考慮公共約束 建立同

20、樣的分支坐標系分析可知，三個分建立同樣的分支坐標系分析可知，三個分支的約束螺旋系均為分別沿支的約束螺旋系均為分別沿y和和z軸方向的兩個軸方向的兩個約束力偶。約束力偶。12000;010000;001riri$(1,2,3)i 3-RRC機構自由度計算機構自由度計算考慮公共約束考慮公共約束3-RRC機構自由度計算機構自由度計算 可以看出三個分支有相同的（豎直方向）力偶可以看出三個分支有相同的（豎直方向）力偶分量分量 ，即機構，即機構存在一個公共約束存在一個公共約束。共面不匯交。共面不匯交的三個約束力偶的三個約束力偶 又對應又對應一個并聯(lián)冗余約束一個并聯(lián)冗余約束。 由修正的由修正的G-KG-K公式

21、計算可得：公式計算可得：2ri$1ri$115 89 112 13giiMd ngfv 冗余約束冗余約束 對于許多復雜的多環(huán)并聯(lián)機構,除了需要考慮構成公共約束的過約束外,還有一些過約束是在多個分支構成多環(huán)并聯(lián)時候發(fā)生的,這里稱之為”冗余約束冗余約束”。 求法：求法：當除去公共約束后，其余的 個約束構成一個 系螺旋，如果 則存在冗余約束，冗余約束tkvtk kt4-URU機構自由度計算機構自由度計算URUURU分支的運動螺旋系：分支的運動螺旋系：分支的約束螺旋系為：分支的約束螺旋系為：為沿為沿y軸方向的約束力偶。軸方向的約束力偶。1233344455001000100;000100;0100;0

22、001;00efefd$1000;010r$4-URU機構自由度計算機構自由度計算 4 4個共面不平行約束力偶，沒有公共約束個共面不平行約束力偶，沒有公共約束, ,且只有兩且只有兩個獨立，因此存在兩個冗余約束個獨立，因此存在兩個冗余約束。由修正的由修正的G-KG-K公式計算公式計算可得可得116 10 12 12024giiMd ngfv3-UPU機構自由度計算機構自由度計算UPUUPU分支的運動螺旋系：分支的運動螺旋系：分支的約束螺旋系為：分支的約束螺旋系為：為垂直于為垂直于U U副十字平面的約束力偶。副十字平面的約束力偶。1233344455100;000010;000000;0010;0

23、100;00dfdfe$1000;001r$3-UPU機構自由度計算機構自由度計算 三個分支的三個約束力偶在空間分別垂直三個分支的三個約束力偶在空間分別垂直各自的十字頭平面，它們各自的十字頭平面，它們相互并不平行，彼相互并不平行，彼此線性無關，沒有公共約束此線性無關，沒有公共約束, ,沒有冗余約束沒有冗余約束。 三個約束力偶限制了三個轉動自由度，上三個約束力偶限制了三個轉動自由度，上平臺只具有平臺只具有三個移動自由度。三個移動自由度。 由修正的由修正的G-KG-K公式計算可得公式計算可得116 89 1153giiMd ngfv平面五桿平行四邊形機構自由度計算平面五桿平行四邊形機構自由度計算A

24、DAD分支的運動螺旋系：分支的運動螺旋系：分支的約束螺旋系為：分支的約束螺旋系為：分別為沿分別為沿x x和和y軸方向的兩個約束力偶和沿軸方向的兩個約束力偶和沿z z軸和桿件方向的兩個約束力。軸和桿件方向的兩個約束力。1222001;000001;0ab$123422000;100000;010001;0000;000rrrrba $xy 可以看出三個分支為動平臺提供了兩個方向相可以看出三個分支為動平臺提供了兩個方向相同的約束力偶，和一個共軸的約束力，即機構同的約束力偶，和一個共軸的約束力，即機構存存在三個公共約束在三個公共約束。共面平行的三個約束力又對應。共面平行的三個約束力又對應一個并聯(lián)冗余

25、約束一個并聯(lián)冗余約束。 由修正的由修正的G-KG-K公式計算可得：公式計算可得：113 561613giiMd ngfv 平面五桿平行四邊形機構自由度計算平面五桿平行四邊形機構自由度計算自由度性質自由度性質空間平行空間平行5H機構自由度計算機構自由度計算空間空間5 5個具有不同節(jié)距且軸線平行的螺旋依個具有不同節(jié)距且軸線平行的螺旋依次相連，運動螺旋系：次相連，運動螺旋系：約束螺旋系為：約束螺旋系為：11222333344445555001;00001;0001;001;001;cbcabcabcabc$12000;100000;010rr$ 可以看出機構可以看出機構存在兩個公共約束，屬于四階機構

26、存在兩個公共約束，屬于四階機構。 由修正的由修正的G-KG-K公式計算可得：公式計算可得：114 55 151giiMd ngfv 空間平行空間平行5H機構自由度計算機構自由度計算 當當5 5個螺旋節(jié)距相同時，即個螺旋節(jié)距相同時，即 。 此時多了一個反螺旋，即此時多了一個反螺旋，即 此時機構共有此時機構共有三個公共約束，屬于三階機構三個公共約束，屬于三階機構。 由修正的由修正的G-KG-K公式計算可得：公式計算可得：12345ccccch113 55 152giiMd ngfv 3001;00rh$3-RRCR并聯(lián)機構自由度計算并聯(lián)機構自由度計算取分支坐標系原點與中心點重合，取分支坐標系原點與

27、中心點重合，y y軸沿圓軸沿圓柱副的中心線，柱副的中心線，z z軸垂直向上，則軸垂直向上，則RRCRRRCR分支分支的運動螺旋系：的運動螺旋系：分支的約束螺旋系為：分支的約束螺旋系為：為過中心點垂直向上的約束力。為過中心點垂直向上的約束力。11122345555001;0001;00000;010010;000;000abaabc$1001;000r$zy 三個約束力共軸，存在一個公共約束，沒有冗余約三個約束力共軸，存在一個公共約束，沒有冗余約束束。由修正的由修正的G-KG-K公式計算可得公式計算可得115 11 121155giiMd ngfv3-RRCR并聯(lián)機構自由度計算并聯(lián)機構自由度計算

28、自由度性質自由度性質DELTA并聯(lián)機構的自由度計算并聯(lián)機構的自由度計算分支中含有閉環(huán)子鏈分支中含有閉環(huán)子鏈Delta機構機構用用“自由度等價的串聯(lián)鏈以代替自由度等價的串聯(lián)鏈以代替局部閉環(huán)（廣義運動副）局部閉環(huán)（廣義運動副）”DELTA并聯(lián)機構的自由度計算并聯(lián)機構的自由度計算DELTA并聯(lián)機構的自由度計算并聯(lián)機構的自由度計算4U平行四邊形機構的相對自由度平行四邊形機構的相對自由度分支分支1 1的運動螺旋系：的運動螺旋系：分支分支1 1的約束螺旋系為：的約束螺旋系為：為沿為沿z軸方向的約束力偶和兩軸方向的約束力偶和兩U U副中心點連線的力線矢副中心點連線的力線矢。11121311141100;00

29、0010;000010;0100;00zxz$111211000;0010;000rrxz$11(0)Txz121()TxyzDELTA并聯(lián)機構的自由度計算并聯(lián)機構的自由度計算4U平行四邊形機構的相對自由度平行四邊形機構的相對自由度4U4U機構約束螺旋系：機構約束螺旋系：4U4U廣義副的自由度的數(shù)目和性質：廣義副的自由度的數(shù)目和性質：繞繞y y軸的轉動和沿軸的轉動和沿y y軸的移動以及垂直于該方向的移動軸的移動以及垂直于該方向的移動11(0)Txz121()Txyz12113112 121000;0010;0000;0rmrmrmxzxzy zy x$12311010;000000;01000

30、0;0gggzx$DELTA并聯(lián)機構的自由度計算并聯(lián)機構的自由度計算xyDELTA并聯(lián)機構的自由度計算并聯(lián)機構的自由度計算分支運動螺旋系：分支運動螺旋系：分支約束螺旋系為：分支約束螺旋系為：為沿為沿x x和和z z軸方向的約束力偶。軸方向的約束力偶。123411010;000010;0000;010000;0igigigiabzx$12000;100000;001riri$ 可以看出三個分支為動平臺提供了三個方向相可以看出三個分支為動平臺提供了三個方向相同的約束力偶，即機構同的約束力偶，即機構存在一個公共約束存在一個公共約束。其余。其余三個約束力偶平行于定平臺，平面匯交線性相關三個約束力偶平行于定平臺，平面匯交線性相關，最大線性無關數(shù)為，最大線性無關數(shù)為2 2，又對應，又對應一個并聯(lián)冗余約一個并聯(lián)冗余約束束。 由修正的由修正的G-KG-K公式計算可得：公式計算可得：115 11 1211213giiMd ngfv 自由度性質自由度