第九章 第2節(jié)

1、第2節(jié)兩直線的位置關系最新考綱1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標；3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離知 識 梳 理1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設為k1，k2，則l1l2k1k21，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直2兩直線相交直線l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20

2、的公共點的坐標與方程組的解一一對應相交方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解；平行方程組無解；重合方程組有無數(shù)個解3距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|(2)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離d常用結論與微點提醒1在判斷兩條直線的位置關系時，首先應分析直線的斜率是否存在若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要

3、單獨考慮2在運用兩平行直線間的距離公式d時，一定要注意將兩方程中x，y的系數(shù)分別化為相同的形式診 斷 自 測1思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交()(4)已知直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1l2，則A1A2B1B20.()(5)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離()解析(1)兩直線l1，l2有可能重合(2)如果l1l

4、2，若l1的斜率k10，則l2的斜率不存在答案(1)(2)(3)(4)(5)2圓(x1)2y22的圓心到直線yx3的距離為()A1 B2C. D2解析圓(x1)2y22的圓心坐標為(1，0)，由yx3得xy30，則圓心到直線的距離d.答案C3(2019東陽月考)直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m()A2 B3C2或3 D2或3解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則有故m2或3.故選C.答案C4(必修2P89練習2改編)已知P(2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線xy10，則m_解析由題意知 1，所以m42m，所以m1.答案15直線2x2y10，xy20之間

5、的距離是_解析先將2x2y10化為xy0，則兩平行線間的距離為d.答案6(2019浙江五校聯(lián)考)已知動點P的坐標為(x，1x)，xR，則動點P的軌跡方程為_，它到原點距離的最小值為_解析設點P的坐標為(x，y)，則y1x，即動點P的軌跡方程為xy10；原點到直線xy10的距離為d，即為所求原點到動點P的軌跡的最小值答案xy10考點一兩直線的平行與垂直【例1】 (1)若直線l1：(a1)xy10和直線l2：3xay20垂直，則實數(shù)a的值為()A. B. C. D.(2)(2019諸暨模擬)已知a，b為正數(shù)，且直線axby60與直線2x(b3)y50平行，則2a3b的最小值為_解析(1)由已知得3

6、(a1)a0，解得a.(2)由兩直線平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b為正數(shù)，所以2a3b(2a3b)1313225，當且僅當ab5時取等號，故2a3b的最小值為25.答案(1)D(2)25規(guī)律方法(1)當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關系得出結論【訓練1】 (1)已知兩條直線l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，則a等于()A1 B2 C0或2 D1或2(2)已知兩直線

7、方程分別為l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，則a_解析(1)若a0，兩直線方程分別為x2y10和x3，此時兩直線相交，不平行，所以a0；當a0時，兩直線平行，則有，解得a1或2.(2)因為l1l2，所以k1k21.即(1)1，解得a2.答案(1)D(2)2考點二兩直線的交點與距離問題【例2】 (1)(一題多解)已知直線ykx2k1與直線yx2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是_(2)(一題多解)直線l過點P(1，2)且到點A(2，3)和點B(4，5)的距離相等，則直線l的方程為_解析(1)法一由方程組解得(若2k10，即k，則兩直線平行)交點坐標為.又交點位于第一象限，解得k.

8、法二如圖，已知直線yx2與x軸、y軸分別交于點A(4，0)，B(0，2)而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過定點P(2，1)，斜率為k的動直線兩直線的交點在第一象限，兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)，動直線的斜率k需滿足kPAkkPB.kPA，kPB.k.(2)法一當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k.直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x1，也符合題意法二當ABl時，有kkAB，直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當l過AB中點時，AB的中點為

9、(1，4)直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.答案(1)(2)x3y50或x1規(guī)律方法(1)求過兩直線交點的直線方程的方法求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程(2)利用距離公式應注意：點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)分別化為對應相等【訓練2】 (1)曲線y2xx3在橫坐標為1的點處的切線為l，則點P(3，2)到直線l的距離為()A. B. C. D.(2)(2019衢州模擬)若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則

10、l1與l2間的距離為()A. B. C. D.解析(1)曲線y2xx3上橫坐標為1的點的縱坐標為1，故切點坐標為(1，1)切線斜率為ky|x123(1)21，故切線l的方程為y(1)1x(1)，整理得xy20.由點到直線的距離公式，得點P(3，2)到直線l的距離為.(2)顯然a0或a2時，l1與l2不平行因為l1l2，所以，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2之間的距離d，故選B.答案(1)A(2)B考點三對稱問題【例3】 已知直線l：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關于直線l的對稱點A的坐標；(2)直線m：3x2y60關于直線l的對稱直線m的方程；(3)(一題

11、多解)直線l關于點A(1，2)對稱的直線l的方程解(1)設A(x，y)，再由已知解得A.(2)在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關于直線l的對稱點必在m上設對稱點為M(a，b)，則解得M.設m與l的交點為N，則由得N(4，3)又m經過點N(4，3)，由兩點式得直線方程為9x46y1020.(3)法一在l：2x3y10上任取兩點，如M(1，1)，N(4，3)，則M，N關于點A的對稱點M，N均在直線l上易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點式可得l的方程為2x3y90.法二設P(x，y)為l上任意一點，則P(x，y)關于點A(1，2)的對稱點為P(2x，4y)，P在直線l上，2(2x

12、)3(4y)10，即2x3y90.規(guī)律方法(1)解決點關于直線對稱問題要把握兩點，點M與點N關于直線l對稱，則線段MN的中點在直線l上，直線l與直線MN垂直(2)如果直線或點關于點成中心對稱問題，則只需運用中點公式就可解決問題(3)若直線l1，l2關于直線l對稱，則有如下性質：若直線l1與l2相交，則交點在直線l上；若點B在直線l1上，則其關于直線l的對稱點B在直線l2上【訓練3】 (一題多解)光線沿直線l1：x2y50射入，遇直線l：3x2y70后反射，求反射光線所在的直線方程解法一由得反射點M的坐標為(1，2)又取直線x2y50上一點P(5，0)，設P關于直線l的對稱點P(x0，y0)，由

13、PPl可知，kPP.而PP的中點Q的坐標為，又Q點在l上，3270.由得根據(jù)直線的兩點式方程可得所求反射光線所在直線的方程為29x2y330.法二設直線x2y50上任意一點P(x0，y0)關于直線l的對稱點為P(x，y)，則，又PP的中點Q在l上，3270，由可得P點的橫、縱坐標分別為x0，y0，代入方程x2y50中，化簡得29x2y330，所求反射光線所在的直線方程為29x2y330.基礎鞏固題組一、選擇題1直線2xym0和x2yn0的位置關系是()A平行 B垂直C相交但不垂直 D不能確定解析直線2xym0的斜率k12，直線x2yn0的斜率為k2，則k1k2，且k1k21.故選C.答案C2(

14、2019浙江名校協(xié)作體聯(lián)考)“a1”是“直線ax3y30和直線x(a2)y10平行”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析依題意得，直線ax3y30和直線x(a2)y10平行的充要條件是解得a1，因此選C.答案C3(2019溫州月考)直線x2y10關于直線x1對稱的直線方程是()Ax2y10 B2xy10Cx2y30 Dx2y30解析設所求直線上任一點(x，y)，則它關于直線x1的對稱點(2x，y)在直線x2y10上，即2x2y10，化簡得x2y30.答案D4(一題多解)過兩直線l1：x3y40和l2：2xy50的交點和原點的直線方程為()A19x9y0

15、 B9x19y0C19x3y0 D3x19y0解析法一由得則所求直線方程為：yxx，即3x19y0.法二設直線方程為x3y4(2xy5)0，即(12)x(3)y450，又直線過點(0，0)，所以(12)0(3)0450，解得，故所求直線方程為3x19y0.答案D5平面直角坐標系中直線y2x1關于點(1，1)對稱的直線方程是()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x3解析在直線y2x1上任取兩個點A(0，1)，B(1，3)，則點A關于點(1，1)對稱的點為M(2，1)，點B關于點(1，1)對稱的點為N(1，1)由兩點式求出對稱直線MN的方程為，即y2x3，故選D.答案D6(2019金華調研)

16、若直線l1：x3ym0(m0)與直線l2：2x6y30的距離為，則m()A7 B. C14 D17解析直線l1：x3ym0(m0)，即2x6y2m0，因為它與直線l2：2x6y30的距離為，所以，求得m，故選B.答案B7(2019麗水調研)已知直線l1過點(2，0)且傾斜角為30，直線l2過點(2，0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標為()A(3，) B(2，)C(1，) D.解析直線l1的斜率為k1tan 30，因為直線l2與直線l1垂直，所以k2，所以直線l1的方程為y(x2)，直線l2的方程為y(x2)兩式聯(lián)立，解得即直線l1與直線l2的交點坐標為(1，)故選C.答案C8

17、從點(2，3)射出的光線沿與向量a(8，4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80解析由直線與向量a(8，4)平行知：過點(2，3)的直線的斜率k，所以直線的方程為y3(x2)，其與y軸的交點坐標為(0，2)，又點(2，3)關于y軸的對稱點為(2，3)，所以反射光線過點(2，3)與(0，2)，由兩點式知A正確答案A二、填空題9若三條直線y2x，xy3，mx2y50相交于同一點，則m的值為_解析由得點(1，2)滿足方程mx2y50，即m12250，m9.答案910(2019余姚檢測)已知直線l過點P(3，4)且與點A(2，2)，

18、B(4，2)等距離，則直線l的方程為_解析顯然直線l的斜率不存在時，不滿足題意；設所求直線方程為y4k(x3)，即kxy43k0，由已知，得，k2或k.所求直線l的方程為2xy20或2x3y180.答案2x3y180或2xy2011(2019寧波月考)點(2，1)關于點(1，1)的對稱點坐標為_；關于直線xy10的對稱點為_解析設點(2，1)關于點(1，1)的對稱點為(x0，y0)，則即所求對稱點為(4，3)設點(2，1)關于直線xy10的對稱點為(x0，y0)，則解得故所求對稱點為(0，3)答案(4，3)(0，3)12已知入射光線經過點M(3，4)，被直線l：xy30反射，反射光線經過點N(

19、2，6)，則反射光線所在直線的方程為_解析設點M(3，4)關于直線l：xy30的對稱點為M(a，b)，則反射光線所在直線過點M，所以解得a1，b0.又反射光線經過點N(2，6)，所以所求直線的方程為，即6xy60.答案6xy6013(2019溫州十校聯(lián)考)設兩直線l1：(3m)x4y53m與l2：2x(5m)y8，若l1l2，則m_；若l1l2，則m_解析若l1l2，則m7；若l1l2，則(3m)24(5m)0m.答案7能力提升題組14(2019舟山調研)在直角坐標平面內，過定點P的直線l：axy10與過定點Q的直線m：xay30相交于點M，則|MP|2|MQ|2的值為()A. B. C5 D10解析由題意知P(0，1)，Q(3，0)，過定點P的直線axy10與過定點Q的直線xay30垂直，M位于以PQ為直徑的圓上，|PQ|，|MP|2|MQ|2|PQ|210，故選D.答案D15.如圖所示，已知兩點A(4，0)，B(0，4)，從點P(2，0)射出的光線經直線AB反射后再射到直