隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率

1、第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 .13xy 由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .又如又如,013 yx顯函數(shù)顯函數(shù)0ee xyy不能顯化不能顯化, 但可確定但可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù).隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: : 0),( yxF0),(dd yxFx兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo),記住記住(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y ).(xyy 若由方程若由方程

2、0),( yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,函數(shù)為函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù). .則稱此則稱此定義定義. .sin xy 例例如如一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例1.1.dd )( 0ee xyxyyxyy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程yx)( 解解: : 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)0)ee(dd xyxy得得xyydde).0e( edd xxyxyyyxyxdd 00 03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).0dd xxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)0)32(dd75 xxyyx得得xyydd54xy

3、dd2 1 621x 0 .25211dd46 yxxy因因 x = 0 時(shí)時(shí) y = 0 , 故故.210dd xxy確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)例例2 求由方程求由方程 191622 yx在點(diǎn)在點(diǎn))323,2(處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy 920 yk 2323 xyyx169 2323 xy.43 故切線方程為故切線方程為323 y43 ),2( x即即. 03843 yx2 : xyk切切線線斜斜率率例例3 求橢圓求橢圓 xydd 0sin21 yyx所確定的隱函數(shù)的二階所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).dd22xy解解: :在方程兩邊對

4、在方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得1(1) .cos22dd yxy 上式兩邊再對上式兩邊再對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得222)cos2()cos2(2ddyyxy .)cos2(sin43)1(yy 代代入入xyyddcos21 0 2)cos2(sin2yyy y = y (x)例例4 求由方程求由方程 )0(sin xxyx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解解: 方法方法I. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法. .xxylnsinln 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)yy 1xx lncos xxsin )sinlncos(sinxxxxxyx 方法方法II. 指數(shù)求導(dǎo)法指數(shù)求導(dǎo)法. .xxylnsine 函數(shù)化為函數(shù)

5、化為則則)ln(sinelnsin xxyxx兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù), ,化為隱式得化為隱式得y 是隱函數(shù)是隱函數(shù)例例5 求求 1. 對對冪指函數(shù)冪指函數(shù))0( uuyv求導(dǎo)求導(dǎo).uvylnln yy 1uv ln uvu )ln(uvuuvuyv 2. 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便很方便 .1) 可用可用對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)求導(dǎo): :2) 可用可用指數(shù)求導(dǎo)法指數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)求導(dǎo): :uvylne )ln(elnuuvuvyuv 說明：說明： . )4)(3()2)(1( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxxy 21ln y對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo) 21 yy)4)(3()2)(1

6、(21 xxxxy 41312111 xxxx兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)2ln()1ln( xx )4ln()3ln( xx 11x21 x31 x 41 x解解: :先考慮當(dāng)先考慮當(dāng) x 4 時(shí)的情形時(shí)的情形. .當(dāng)當(dāng)x 1和和2 x 3時(shí)時(shí), ,用同樣的方法可得相同的結(jié)果用同樣的方法可得相同的結(jié)果. .例例6 例如例如 ,21 ,221gttvytvx,1vxt ,222112xvgxvvy 則則.2112xvgvvy 所以所以消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 如果消參困難或無法消參如何求導(dǎo)如果消參困難或無法消參如何求導(dǎo)? ?t., 定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間

7、間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若由由參參數(shù)數(shù)方方程程xy )()(tytx 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ),( )( 1xttx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)).( 1xy 則則, 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得xttyxydddddd txtydd1dd ,)()(tt .ddddddtxtyxy 即即, )()( 中中在方程在方程 tytx 例例5 5解解: :txtyxydddddd ,sincostatb )cos()sin(

8、 tatbtatbxyksincos dd .ab .4 sincos 處處的的切切線線方方程程在在求求橢橢圓圓 ttbytax,4時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t.22,22 000byaxM 的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為相相應(yīng)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)故所求切線方程故所求切線方程:),22(22axabby . 02 abaybx即即4 t4 t4sin4cos ab 例例6 6. ,21, 221向向的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方求拋射體在時(shí)刻求拋射體在時(shí)刻的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡tgttvytvx 解解: : txdd 速度的水平分量速度的水平分量,1v tydd 鉛直分量鉛直分量,2g

9、tv 拋射體的速度大小拋射體的速度大小: :22dddd tytxv;)(2221gtvv xy1v2vv 速度的方向即為軌跡的切線方向速度的方向即為軌跡的切線方向. . , 為為切切線線的的傾傾角角設(shè)設(shè) tan 則則xyddtxtydddd .12vgtv , )0( 時(shí)時(shí)故故在在拋拋射射體體剛剛射射出出 t 0tant .12vv , 2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)gvt , 0tan2 gvt 這時(shí)運(yùn)動(dòng)方向是水平的這時(shí)運(yùn)動(dòng)方向是水平的, , 拋物體達(dá)到最高點(diǎn)拋物體達(dá)到最高點(diǎn). .xy1v2vv )(, )(tt 二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 22ddxy)dd(ddxyx )(2t )()(tt )()(tt )(t

10、 .)()()()()(3ttttt )dd(ddxyt txdd)()(ddttxy )(tx 且且,0)( t 則由它確定的函數(shù)則由它確定的函數(shù))(xfy 可求可求二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)利用利用新的參數(shù)方程新的參數(shù)方程,可得可得.dd22xy若在參數(shù)方程中若在參數(shù)方程中 例例7 7解解: :.)cos1()sin(所所確確定定函函數(shù)數(shù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由由擺擺線線方方程程 tayttax),cos1()(tat ,sin)(tat 33222)cos1 (sin)cos1 (costatatta 則則令令 ),cos1()( ),sin()( tatttat ,cos)(tat ,sin)

11、(tat 322)()()()()(dd tttttxy ).,2( )cos1 (12Znntta 方法方法I: 公式法公式法. 方法方法II: :復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法. )sin( )cos1( ttatattcos1sin ) )sin()2(cot ttat)cos1(2csc212tat )cos1(12sin212tat txtyxydddddd xyxxydddddd22),2(2cotZnntt txxytdd)dd(dd ).,2( )cos1 (12Znntta )10(1sin 222 yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩邊對

12、方程組兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故 xydd.)cos1)(1(ytt 0ddcosdd2 tyytyt 22dd ttxyttycos12dd )1(2dd ttxtyddtxdd隱函數(shù)隱函數(shù): y = y ( t )例例8 設(shè)由方程設(shè)由方程 )(, )(tyytxx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題問題: 已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率已知其中一個(gè)變化率時(shí)如何求出另一個(gè)變化率? ?找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)

13、系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率方法方法: :三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 其速率為其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí)時(shí), 觀察員觀察員視線的仰角增加率是多少視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,則則 tan500h兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd thdd5001 已知已知,minm140dd th h = 500m 時(shí)時(shí),1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14. 0 ).minrad/(仰角與氣球高度有關(guān)仰角與氣球高度有關(guān)例

14、例9. 一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員500 m 500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升, 100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來,當(dāng)距離為當(dāng)距離為500 m 時(shí)時(shí), 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd txxdd5002 已知已知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求設(shè)在設(shè)在 t 時(shí)刻氣球出發(fā)點(diǎn)與觀察者的距離為時(shí)刻氣球出發(fā)點(diǎn)與觀察者的距離為x, 則則仰角與觀察者到氣球出發(fā)點(diǎn)仰角與觀察者到氣球出發(fā)點(diǎn)的距離有關(guān)的距離有關(guān). .思考題思考題: 當(dāng)氣球升至當(dāng)氣球升至500m 500m 時(shí)停住時(shí)停住 , , 有一觀測者以有一觀測者以 試求當(dāng)容器內(nèi)水試求當(dāng)容器內(nèi)水Rhxhr今以今以 自頂部向容器內(nèi)注水自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.解解: 設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 容器內(nèi)水面高度為容器內(nèi)水面高度為 x , 水的水的 VhR231 )(312xhr xrh)(33322xhhhR 兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)tVdd22hR 2)(xh ,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)hx hx