東北三省四市高三模擬考試即長春三模理數(shù),全

1、.2012年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試2012年長春市高中畢業(yè)班第三次調(diào)研測試數(shù)學(理科)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其中第卷22題24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.注意事項：1 答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2 選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3 請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、

2、不準使用涂改液、刮紙刀.第卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.1.若集合，則集合 A.B.C.D.2. 若，則 A. B. C. D.3.直線：與圓M：相切，則的值為A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或 4.對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是相關(guān)系數(shù)為 相關(guān)系數(shù)為相關(guān)系數(shù)為 相關(guān)系數(shù)為A. B. C. D. 5.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則 A.B.C.D.6.函數(shù)的零點個數(shù)為A.2 B.3 C.4 D.57.一個算法的程序框

3、圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是A.<4 B.>4C.<5 D.>58.函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖像只需將的圖像A.向左平移 B.向右平移C.向左平移 D.向右平移9.給出下列說法：命題“若，則”的否命題是假命題；命題p：,使，則：；“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；命題：“，使”， 命題：“在ABC中，若,則”.那么命題（）為真命題.其中正確的個數(shù)是A. 4B. 3C. 2D. 110.雙曲線的右是焦點是拋物線的焦點，兩曲線的一個公共點為P，且|PF|=5，則該雙曲線的離心率為A. B. C. 2D.

4、 11.四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內(nèi)，當此四棱錐的體積取得最大值時，它的表面積等于，則球的體積等于A.B.C.D.12.現(xiàn)有4名教師參加說題比賽，共有4道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一道題沒有被這4位選中的情況有A.288種B.144種C.72種D.36種第卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上).13.二項式的展開式中的系數(shù)是_.14

5、.某長方體的三視圖如右圖，長度為的體對角線在正視圖中的長度為，在側(cè)視圖中的長度為，則該長方體的全面積為_.15.等比數(shù)列的首項為，公比為，其前項和為，則數(shù)列為遞增數(shù)列的充分必要條件是_.16、 如果直線和函數(shù)的圖像恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍是_.三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.17、（本小題滿分12分）在中，向量，向量，且滿足.求角的大小；求的取值范圍.18.（本小題滿分12分） 2012年2月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準利率. 某大型銀行在一個星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計如圖所示：求

6、在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年限（取過剩近似整數(shù)值）；從本周內(nèi)該銀行所借貸客戶中任意選取兩位，求他們貸款年限相同的概率；假設(shè)該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù)10個星期不變，在這段時間里，每星期都從借貸客戶中選出一人，記表示其中貸款年限不超過20年得人數(shù)，求.19.（本小題滿分12分）已知四棱柱中，,，. 求證：； 求二面角的正弦值; （3）求四面體的體積.20.（本小題滿分12分）已知分別為橢圓的左右焦點， 分別為其左右頂 點，過的直線與橢圓相交于兩點. 當直線與軸垂直時，四邊形的面積等于2，且滿足.求此橢圓的方程；當直線繞著焦點旋轉(zhuǎn)但不與軸重合時，求的取值范圍.21.（本小題滿分12分）

7、已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；對于任意正實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；是否存在最小的正常數(shù)，使得：當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立？給出你的結(jié)論，并說明結(jié)論的合理性. 請考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿分10分）選修41：幾何證明選講.自圓外一點引圓的一條切線，切點為，為的中點，過點引圓的割線交該圓于兩點，且，.求證： 與相似；求的大小.23.（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數(shù)方程選講.在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數(shù)

8、）.若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離.24.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講.已知函數(shù) 解不等式； 若關(guān)于的方程的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.2012年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試2012年長春市高中畢業(yè)班第三次調(diào)研測試數(shù)學(理科)參考答案及評分標準一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.D 2.C 3. B 4. A 5.D 6. B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B簡答與提示：1. D集合，則，即.故選D.2. C 由于. 故選C.3. B 由題意可知，圓：的圓心到直線：的距離為圓的半

9、徑，由點到直線的距離公式可知或. 故選B.4. A 由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點圖所表達的含義可知，故選A.5. D 由題意，即，可得，或，又已知，即，.故選D.6. B在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖像，可得交點個數(shù)為3. 故選B.7. C初始值，第一次循環(huán)后，第二次循環(huán)后，第三次循環(huán)后，第四次循環(huán)后，因此循環(huán)次數(shù)應(yīng)為4次，故可以作為判斷循環(huán)終止的條件. 故選C.8. A 由函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列可知，函數(shù)的周期為，可知，即函數(shù)，可將化為，可知只需將向左平移個單位即可獲得. 故選A.9. B命題“若 ，則”的否命題是“若 ，則”，是假命題，因此正確；命題 使，則完全符合

10、命題否定的規(guī)則，因此也正確；“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件是，即，因此錯誤；命題，使”中，當時，即，使”為假命題，而命題中，若，則”為真命題，可知命題（）為真命題，因此正確.一共有3個正確. 故選B.10. C 雙曲線的右焦點是拋物線的焦點可知，又可知到拋物線的準線的距離為5，可設(shè)，根據(jù)兩點間距離公式可得到，將雙曲線方程化為，代入點的坐標并求解關(guān)于的一元二次方程，可求得或. 又，可將舍去，可知，即，（或根據(jù)雙曲線定義得2a=|PF2|PF1|=2），綜上可知雙曲線的離心率為. 故選C.11. B 由題意可知四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內(nèi)，當體積最大時, 可以判定

11、該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可得知底面正方形的對角線長度為球的半徑，且四棱錐的高，進而可知此四棱錐的四個側(cè)面均是邊長為的正三角形，底面為邊長為的正方形，所以該四棱錐的表面積為， 因此，進而球的體積. 故選B.12. B 首先選擇題目，從4道題目中選出3道，選法為，而后再將獲得同一道題目的2位老師選出，選法為，最后將3道題目，分配給3組老師，分配方式為，即滿足題意的情況共有種. 故選B.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 314. 15.且16. 簡答與提示：13. 利用分步計數(shù)原理與組合數(shù)公式，符合題目要求的項有和，求和后可得 ，即的系數(shù)為3.14. 由體對角線長

12、，正視圖的對角線長，側(cè)視圖的對角線長，可得長方體的長寬高分別為，2，1，因此其全面積為.15. 由得，當時，；當時，即，.綜合可得數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是:且.16. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)恒過定點，將點代入，可以得. 對作如下變形：.由于始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以. 由，解得或，這說明點在以和為端點的線段上運動，所以的取值范圍是，從而的取值范圍是，進一步可以推得的取值范圍是.三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分)17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題借助向量的垂直與數(shù)量積考查三角函數(shù)的化簡，并且考查利用三角函數(shù)的變換與輔助角公式求取三角函數(shù)的值域. 【

13、試題解析】解：由，可知.然而 ， 所以，. (5分). (9分)因為，所以，即，即所以，即的取值范圍是. (12分) 18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關(guān)知識，具體涉及到統(tǒng)計圖的應(yīng)用、二項分布以及數(shù)學期望的求法.【試題解析】平均年限. (4分) 所求概率. (8分)由條件知，所以. (12分)19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的垂直關(guān)系、二面角的求法、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用以及幾何體體積的求法.【試題解析】解：由四邊形是正方形，所以.又平面，所以，而，所以平面，.又，所以平面，從而. (4分)以為坐標原

14、點，,為坐標軸建立空間直角坐標系，則易得，設(shè)平面的法向量為，則由 ，求得；設(shè)平面的法向量為， 則由，求得，則根據(jù),于是可得. (9分)(3) 設(shè)所給四棱柱的體積為V,則，又三棱錐的體積等于三棱錐的體積，記為，而三棱錐的體積又等于三棱錐的體積，記為.則由于， ，所以所求四面體的體積為. (12分) 20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識.【試題解析】當直線與x軸垂直時，由，得. 又,所以，即，又，解得. 因此該橢圓的方程為. (4分)設(shè)，而，所以，.從而有. (6分)因為直

15、線過橢圓的焦點，所以可以設(shè)直線的方程為，則由消去并整理，得，所以，. (8分)進而，可得. (10分)令，則. 從而有，而，所以可以求得的取值范圍是.(12分)21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點的情況.【試題解析】令,得.當時，；當時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. (3分)由于，所以.構(gòu)造函數(shù)，則令，得.當時，；當時，.所以函數(shù)在點處取得最小值，即.因此所求的的取值范圍是. (7分)結(jié)論：這樣的最小正常數(shù)存在. 解釋如下：.構(gòu)造函數(shù)，則問題就是要求恒成立. (9分)對于求導(dǎo)得 .令，則，

16、顯然是減函數(shù).又，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而， ，. 所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，令為和，并且有: 在區(qū)間和上，即；在區(qū)間上，即. 從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增. ，當時，；當時，. 還有是函數(shù)的極大值，也是最大值. 題目要找的，理由是： 當時，對于任意非零正數(shù)，而在上單調(diào)遞減，所以一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說明； 當時，取，顯然且，題目所要求的不等式不恒成立，說明不能比小. 綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立. (12分)( 注意：對于和的存在性也可以如下處理：令，即. 作出基本函數(shù)和

17、 的圖像，借助于它們的圖像有兩個交點很容易知道方程有兩個正實數(shù)根和，且，（實際上），可知函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.，當時，；當時，. 還有是函數(shù)的極大值，也是最大值. ） 22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明及其運算，具體涉及圓的性質(zhì)以及三角形相似等有關(guān)知識內(nèi)容.【試題解析】因為為圓的切線，所以.又為中點，所以.因為，所以與相似.（5分）由中與相似，可得.在中，由，得.(10分)23. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關(guān)系以及點到直線的距離等知識內(nèi)容.【試題解析】對于曲線M,消去參數(shù)，得普通方程為,曲線 是拋物線的一部分； 對于曲線N，化成直角坐標方程為，曲線N是一條直線. (2分)(1)若曲線M,N只有一個公共點，則有直線N過點時滿足要求，并且向左下方平行運動直到過點之前總是保持只有一個公共點，再接著向左下方平行運動直到相切之前總是有兩個公共點，所以滿足要求；相切時仍然只有一個公共點，由，得，求得. 綜合可求得的取值范圍是：或. （6分） (2)當時，