金屬塑性變形理論本構(gòu)方程

1、2022-3-141金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第十講第十講Lesson Ten張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-3-142第十二章 變形力學方程主要內(nèi)容Main Contento力平衡微分方程 o屈服條件 o應力應變關(guān)系方程 o等效應力、等效應變 o平

2、面變形和軸對稱變形 2022-3-14312.3 應力應變關(guān)系方程o塑性變形時應力與應變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，塑性變形時應力與應變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學表達式稱為其數(shù)學表達式稱為本構(gòu)方程本構(gòu)方程或或物理方程物理方程。zxyzxyzyxijijf,2022-3-14412.3.1 彈性變形時的應力應變關(guān)系彈性變形時的應力應變關(guān)系彈性變形的特點彈性變形的特點o應力與應變完全成線性關(guān)系，即應力主軸與應力與應變完全成線性關(guān)系，即應力主軸與全量應變主軸重合全量應變主軸重合o彈性變形是可逆的，與應變歷史（加載過程彈性變形是可逆的，與應變歷史（加載過程無關(guān)），應力與應變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)無關(guān)），應力與應

3、變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)系系o彈性變形時，應力張量使物體產(chǎn)生體積變化，彈性變形時，應力張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比小于泊松比小于0.52022-3-145o虎克定律虎克定律o廣義虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量：彈性模量v：泊松比：泊松比xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量剪切模量)1 (2EG2022-3-146zyxxE1由由xzyxxE1mxEE31mE21mxE1則則xmmxEE31mmE21而而xmxmxGE211即即2022-3-147o同理同理ymymyGE211zmymzGE211所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式所以廣

4、義虎克定律可寫成求和約定的形式 ijmijijEG2121jijiij , 0 , 1克羅內(nèi)克兒記號克羅內(nèi)克兒記號 2022-3-148o彈性變形的比列及差比形式彈性變形的比列及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx212022-3-149廣義虎克定律的矩陣形式廣義虎克定律的矩陣形式zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1 ( 0 0 0 0 00 )1 ( 0 0 0 00 0 )1 ( 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 112022-3-141012.3.2 塑性變形時的應力應變關(guān)系塑性變形時的應力應變關(guān)系

5、塑性變形的特點塑性變形的特點o體積不變，泊松比體積不變，泊松比v=0.5v=0.5o應力、應變?yōu)榉蔷€性關(guān)系應力、應變?yōu)榉蔷€性關(guān)系 o全量應變與應力主軸不一定重全量應變與應力主軸不一定重合合 o塑性變化不可逆塑性變化不可逆無單值一無單值一一對應關(guān)系一對應關(guān)系與加載路徑有與加載路徑有關(guān)關(guān) o對于應變硬化材料，卸載后的對于應變硬化材料，卸載后的屈服應力比初始屈服應力高屈服應力比初始屈服應力高2022-3-1411應變增量與小變形及大變形的關(guān)系應變增量與小變形及大變形的關(guān)系o應變增量應變增量 與小變形與小變形 數(shù)值大小處于同一數(shù)值大小處于同一數(shù)量級，都屬于無窮小量；數(shù)量級，都屬于無窮小量；o大變形是對

6、應變增量進行積分獲得的大變形是對應變增量進行積分獲得的ddd2022-3-1412塑性變形時應力與應變的關(guān)系塑性變形時應力與應變的關(guān)系o增量理論增量理論 PrantlReuss理論理論 LevyMises理論理論 o全量理論全量理論 Hencky小變形理論小變形理論 2022-3-1413PrantlReuss理論理論基本觀點基本觀點o o 應力與應變的位向關(guān)系應力與應變的位向關(guān)系塑性應變增量塑性應變增量主軸與應力主軸一致主軸與應力主軸一致應力與應變的分配關(guān)系應力與應變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，塑性應變增量各分量在任意加載瞬間，塑性應變增量各分量與該與該瞬時瞬時相應的各偏差應力分量成比例相應

7、的各偏差應力分量成比例2022-3-1414數(shù)學表達式數(shù)學表達式 dddddddzxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpijdd2022-3-1415對對PR理論的解釋理論的解釋 o應變增量主軸與應力主軸重合的含義：若在應變增量主軸與應力主軸重合的含義：若在某一方向加載某一方向加載 ，則在該方向必產(chǎn)生，則在該方向必產(chǎn)生o應力與應變增量分配關(guān)系的含義：把塑性應應力與應變增量分配關(guān)系的含義：把塑性應變增量與應力在數(shù)學上聯(lián)系起來變增量與應力在數(shù)學上聯(lián)系起來 o 是一個非零非負的瞬時比例系數(shù)，是一個非零非負的瞬時比例系數(shù)， 時，時，表示彈性變形，表示彈性變形， 時，無實際情況與其時，

8、無實際情況與其對應。對應。11dd0d0d2022-3-1416PrantlReuss方程方程o總的應變增量是彈性與塑性變形增量之和，總的應變增量是彈性與塑性變形增量之和，即即 pijeijijdddddEdGijijmij)2121(pmijpijeijpijeijijdddddd而而0pzpypxpmddddmijijddd又又2022-3-1417ddGdijijij21 該式稱為該式稱為PrantlReuss方程，建立了方程，建立了偏差變形增量與偏差應力之間的關(guān)系偏差變形增量與偏差應力之間的關(guān)系 2022-3-1418適用范圍適用范圍 o該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，該理論適

9、用于彈塑性問題，即塑性變形很小，與彈性變形處于同數(shù)量級，而不能忽略彈性與彈性變形處于同數(shù)量級，而不能忽略彈性變形。變形。2022-3-1419LevyMises理論理論o基本觀點基本觀點o o 應力與應變的位向關(guān)系應力與應變的位向關(guān)系應變增量應變增量主軸與應力主軸一致主軸與應力主軸一致應力與應變的分配關(guān)系應力與應變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，應變增量應變增量各分量與該各分量與該瞬時瞬時相應的各偏差應力分量成比例相應的各偏差應力分量成比例塑性塑性2022-3-1420數(shù)學表達式數(shù)學表達式 dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx或或ijijdd2022-3-1421對對

10、LM理論的說明理論的說明o與與PrantlReuss理論相比，理論相比， LevyMises理理論只適用于大塑性變形問題；論只適用于大塑性變形問題；o又稱為又稱為LevyMises流動法則流動法則；o同樣用于應變速率同樣用于應變速率 ijijijijddtddtd2022-3-1422)(mxxxddd)(31(zyxxd)(2132zyxd)(2132xzyydd)(2132yxzzddxyxyddyzyzddzxzxdd2022-3-1423全量理論全量理論 o全量理論建立了全應變與應力的關(guān)系。其中全量理論建立了全應變與應力的關(guān)系。其中比較由影響的是比較由影響的是Hencky小變形理論。小

11、變形理論。2022-3-1424加載條件加載條件 o簡單加載簡單加載 在加載過程中，應力張量各分量按同樣的在加載過程中，應力張量各分量按同樣的比例增加，也稱為比例加載。即比例增加，也稱為比例加載。即 。例：。例： 0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，則，則簡單加載的特點：加載過程中，應力主軸不動。簡單加載的特點：加載過程中，應力主軸不動。 o復雜加載：加載過程中各應力分量之間無規(guī)律可循。復雜加載：加載過程中各應力分量之間無規(guī)律可循。 2022-3-1425Hencky小變形理論小變形理論基本觀點基本觀點o應力與應變的位向關(guān)系應力與應變的位向關(guān)系 塑性應變塑性應變主軸與應力主軸一致。主軸與應力主軸一致。o應力與應變的分配關(guān)系應力與應變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，塑性應變塑性應變各分量與該各分量與該瞬時相應的各偏差應力分量成比例。瞬時相應的各偏差應力分量成比例。 2022-3-1426數(shù)學表達式數(shù)學表達式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2022-3-1427o總的變形ijijmijpijeijijEG)2121(2022-3-1428小變形理論用于大變形小變形理論用于大變形o對于大塑性變形，僅用于對于大