金屬塑性變形理論本構(gòu)方程

1、2022-3-141金屬塑性變形理論Theory of metal plastic deformation 第十講第十講Lesson Ten張貴杰張貴杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大學(xué)金屬材料與加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092022-3-142第十二章 變形力學(xué)方程主要內(nèi)容Main Contento力平衡微分方程 o屈服條件 o應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程 o等效應(yīng)力、等效應(yīng)變 o平

2、面變形和軸對(duì)稱變形 2022-3-14312.3 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系方程o塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程本構(gòu)方程或或物理方程物理方程。zxyzxyzyxijijf,2022-3-14412.3.1 彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系彈性變形的特點(diǎn)彈性變形的特點(diǎn)o應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合全量應(yīng)變主軸重合o彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程無(wú)關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)無(wú)關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)

3、變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)系系o彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比小于泊松比小于0.52022-3-145o虎克定律虎克定律o廣義虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量：彈性模量v：泊松比：泊松比xyxyG21yzyzG21zxzxG21EG2zyxxE1xzyyE1yxzzE1剪切模量剪切模量)1 (2EG2022-3-146zyxxE1由由xzyxxE1mxEE31mE21mxE1則則xmmxEE31mmE21而而xmxmxGE211即即2022-3-147o同理同理ymymyGE211zmymzGE211所以廣義虎克定律可寫成求和約定的形式所以廣

4、義虎克定律可寫成求和約定的形式 ijmijijEG2121jijiij , 0 , 1克羅內(nèi)克兒記號(hào)克羅內(nèi)克兒記號(hào) 2022-3-148o彈性變形的比列及差比形式彈性變形的比列及差比形式Gzxzxyzyzxyxyzzyyxx21Gzxzxyzyzxyxyxzxzzyzyyxyx212022-3-149廣義虎克定律的矩陣形式廣義虎克定律的矩陣形式zxyzxyzyxzxyzxyzyxE)1 ( 0 0 0 0 00 )1 ( 0 0 0 00 0 )1 ( 0 0 00 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 112022-3-141012.3.2 塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

5、塑性變形的特點(diǎn)塑性變形的特點(diǎn)o體積不變，泊松比體積不變，泊松比v=0.5v=0.5o應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系 o全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重合合 o塑性變化不可逆塑性變化不可逆無(wú)單值一無(wú)單值一一對(duì)應(yīng)關(guān)系一對(duì)應(yīng)關(guān)系與加載路徑有與加載路徑有關(guān)關(guān) o對(duì)于應(yīng)變硬化材料，卸載后的對(duì)于應(yīng)變硬化材料，卸載后的屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高2022-3-1411應(yīng)變?cè)隽颗c小變形及大變形的關(guān)系應(yīng)變?cè)隽颗c小變形及大變形的關(guān)系o應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽?與小變形與小變形 數(shù)值大小處于同一數(shù)值大小處于同一數(shù)量級(jí)，都屬于無(wú)窮小量；數(shù)量級(jí)，都屬于無(wú)窮小量；o大變形是對(duì)

6、應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)行積分獲得的大變形是對(duì)應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)行積分獲得的ddd2022-3-1412塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系o增量理論增量理論 PrantlReuss理論理論 LevyMises理論理論 o全量理論全量理論 Hencky小變形理論小變形理論 2022-3-1413PrantlReuss理論理論基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o o 應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系塑性應(yīng)變?cè)隽克苄詰?yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力主軸一致主軸與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至吭谌我饧虞d瞬間，塑性應(yīng)變?cè)隽扛鞣至颗c該與該瞬時(shí)瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例相應(yīng)

7、的各偏差應(yīng)力分量成比例2022-3-1414數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 dddddddzxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpijdd2022-3-1415對(duì)對(duì)PR理論的解釋理論的解釋 o應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力主軸重合的含義：若在應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力主軸重合的含義：若在某一方向加載某一方向加載 ，則在該方向必產(chǎn)生，則在該方向必產(chǎn)生o應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽糠峙潢P(guān)系的含義：把塑性應(yīng)應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽糠峙潢P(guān)系的含義：把塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力在數(shù)學(xué)上聯(lián)系起來變?cè)隽颗c應(yīng)力在數(shù)學(xué)上聯(lián)系起來 o 是一個(gè)非零非負(fù)的瞬時(shí)比例系數(shù)，是一個(gè)非零非負(fù)的瞬時(shí)比例系數(shù)， 時(shí)，時(shí)，表示彈性變形，表示彈性變形， 時(shí)，無(wú)實(shí)際情況與其時(shí)，

8、無(wú)實(shí)際情況與其對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)。11dd0d0d2022-3-1416PrantlReuss方程方程o總的應(yīng)變?cè)隽渴菑椥耘c塑性變形增量之和，總的應(yīng)變?cè)隽渴菑椥耘c塑性變形增量之和，即即 pijeijijdddddEdGijijmij)2121(pmijpijeijpijeijijdddddd而而0pzpypxpmddddmijijddd又又2022-3-1417ddGdijijij21 該式稱為該式稱為PrantlReuss方程，建立了方程，建立了偏差變形增量與偏差應(yīng)力之間的關(guān)系偏差變形增量與偏差應(yīng)力之間的關(guān)系 2022-3-1418適用范圍適用范圍 o該理論適用于彈塑性問題，即塑性變形很小，該理論適

9、用于彈塑性問題，即塑性變形很小，與彈性變形處于同數(shù)量級(jí)，而不能忽略彈性與彈性變形處于同數(shù)量級(jí)，而不能忽略彈性變形。變形。2022-3-1419LevyMises理論理論o基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o o 應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力主軸一致主軸與應(yīng)力主軸一致應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽扛鞣至颗c該各分量與該瞬時(shí)瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例塑性塑性2022-3-1420數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 dddddddzxzxyzyzxyxyzzyyxx或或ijijdd2022-3-1421對(duì)對(duì)

10、LM理論的說明理論的說明o與與PrantlReuss理論相比，理論相比， LevyMises理理論只適用于大塑性變形問題；論只適用于大塑性變形問題；o又稱為又稱為L(zhǎng)evyMises流動(dòng)法則流動(dòng)法則；o同樣用于應(yīng)變速率同樣用于應(yīng)變速率 ijijijijddtddtd2022-3-1422)(mxxxddd)(31(zyxxd)(2132zyxd)(2132xzyydd)(2132yxzzddxyxyddyzyzddzxzxdd2022-3-1423全量理論全量理論 o全量理論建立了全應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系。其中全量理論建立了全應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系。其中比較由影響的是比較由影響的是Hencky小變形理論。小

11、變形理論。2022-3-1424加載條件加載條件 o簡(jiǎn)單加載簡(jiǎn)單加載 在加載過程中，應(yīng)力張量各分量按同樣的在加載過程中，應(yīng)力張量各分量按同樣的比例增加，也稱為比例加載。即比例增加，也稱為比例加載。即 。例：。例： 0ijijc150001000050ij2c300002000010ij已知已知，則，則簡(jiǎn)單加載的特點(diǎn)：加載過程中，應(yīng)力主軸不動(dòng)。簡(jiǎn)單加載的特點(diǎn)：加載過程中，應(yīng)力主軸不動(dòng)。 o復(fù)雜加載：加載過程中各應(yīng)力分量之間無(wú)規(guī)律可循。復(fù)雜加載：加載過程中各應(yīng)力分量之間無(wú)規(guī)律可循。 2022-3-1425Hencky小變形理論小變形理論基本觀點(diǎn)基本觀點(diǎn)o應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的位向關(guān)系 塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變主軸與應(yīng)力主軸一致。主軸與應(yīng)力主軸一致。o應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變的分配關(guān)系 在任意加載瞬間，在任意加載瞬間，塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變各分量與該各分量與該瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例。瞬時(shí)相應(yīng)的各偏差應(yīng)力分量成比例。 2022-3-1426數(shù)學(xué)表達(dá)式數(shù)學(xué)表達(dá)式 zxpzxyzpyzxypxyzpzypyxpx或或ijpij2022-3-1427o總的變形ijijmijpijeijijEG)2121(2022-3-1428小變形理論用于大變形小變形理論用于大變形o對(duì)于大塑性變形，僅用于對(duì)于大