人教版高中數(shù)學(xué)【選修2-2】[知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理]數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念(理)

1、人教版高中數(shù)學(xué)選修2-2知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型?？贾R(shí)點(diǎn)穩(wěn)固練習(xí)數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念：虛數(shù)單位i、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)、實(shí)部、虛部等.2 .理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.3 .理解復(fù)數(shù)的幾何意義,會(huì)用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量來(lái)表示復(fù)數(shù).【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的根本概念1 .虛數(shù)單位i數(shù)i叫做虛數(shù)單位,它的平方等于-1,即i2=-1.要點(diǎn)詮釋：2 2.i是一1的一個(gè)平萬(wàn)根,即萬(wàn)程x=1的一個(gè)根,方程x=1的另一個(gè)根是i;i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四那么運(yùn)算,進(jìn)行四那么運(yùn)算時(shí),原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.2 .復(fù)數(shù)的概念形如a+bia,bwr的數(shù)叫復(fù)數(shù),記作：z=a+bia,bR；其中：a

2、叫復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫復(fù)數(shù)的虛部,i是虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集,用字母C表不.要點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)定義中,a,bwR容易無(wú)視,但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)3 .復(fù)數(shù)的分類對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bia,bWR那么a+bi為純虛數(shù).假設(shè)b=0,貝Ua+bi為實(shí)數(shù),假設(shè)bw0Ha+bi為虛數(shù),假設(shè)a=0且bwQ分類如下:實(shí)數(shù)b=0z=a+bi(a,bR)由將純虛數(shù)a=0虛數(shù)b/0«,一I非純虛數(shù)a#0用集合表示如下列圖:4 .復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系N至Z至QR至C(其中N為自然數(shù)集,Z為整數(shù)集,Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集.)要點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)

3、復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛局部別相等,那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即：,m,(a=c如果a,b,c,dRR,那么a+bi=c+diuWb=d特別地：a,bi=0=a=b=0.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定,那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣 根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的定義,可知在a=c,b=d兩式中,只要有一個(gè)不成立,那么就有a+biwc+dia,b,c,dCR). 一般地,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等,而不能比擬大小.如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù),就可以比擬大??；也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比擬大小復(fù)數(shù)相等的充要條件提供了將復(fù)數(shù)問(wèn)題化歸為實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決的途徑,這也是本章常用的方法,簡(jiǎn)稱為復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化

4、要點(diǎn)三：復(fù)數(shù)的幾何意義1 .復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：如下圖,復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bWR)可用點(diǎn)Z(a,b)表示,這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,也叫高斯平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.平一當(dāng)要點(diǎn)詮釋：實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).2 .復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何表示法,每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái),復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn),有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,即復(fù)數(shù)z=a+bi一mJ復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.3 .復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系而有序?qū)崝?shù)對(duì)

5、與復(fù)數(shù)是對(duì)在平面直角坐標(biāo)系中,每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示,應(yīng)的,所以,我們還可以用向量來(lái)表示復(fù)數(shù).設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)表示復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bwR),向量OZ由點(diǎn)Z(a,b)唯一確定；反過(guò)來(lái),點(diǎn)Z(a,b)也可以由向量OZ唯一確定.復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量OZ所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,即復(fù)數(shù)z=a+bi平面向量OZ這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義.4 .復(fù)數(shù)的模設(shè)OZ=a+bi(a,bwR),那么向量OZ的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模,記作|a+bi|.即|z|=|OZ|=.a'b2_0.要點(diǎn)詮釋：兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)不能比擬大小,但它們的模可以比擬大小復(fù)平面內(nèi),表示兩

6、個(gè)共軻復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,并且他們的模相等.【典型例題】類型一、復(fù)數(shù)的根本概念1 .1.例1.m說(shuō)出具數(shù)2+3i,34i,i,-V3-V5i的實(shí)部和虛部,有沒(méi)有純虛數(shù)2 3【解析】2+3i的實(shí)部是2,虛部是3.-3+1i的實(shí)部是3,虛部是1.22-1i的實(shí)部是0,虛部是一1.一代-J5i的實(shí)部是-J3,虛部是-J5.1純虛數(shù)為-1i.3【總結(jié)升華】準(zhǔn)確理解復(fù)數(shù)的概念,明確實(shí)部、虛部的所指是關(guān)鍵.舉一反三：【變式1】復(fù)數(shù)一2i+3.14的實(shí)部和虛部是什么【答案】實(shí)部是3.14,虛部是-2.精品文檔用心整理注意：易錯(cuò)的結(jié)果為：實(shí)部是2,虛部是3.14.【變式2】以2iJ5的虛部為實(shí)部,以J5i+

7、2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是【答案】2i3的虛部為2,J5i+2i2的實(shí)部為-2,所以新復(fù)數(shù)為22i.2a-7a-62例2.復(fù)數(shù)z=2+(a5a+6)i(awR),試求實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí),z為:a-1(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).利用它們的充要條件可分別【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)、虛數(shù)及純虛數(shù)的概念,判斷實(shí)部與虛部取值情況求出相應(yīng)的a值.a2-5a-6=0【解析】(1)當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),那么,a2=1a-1或a=6一二./,故a=6,a；二1當(dāng)a=6時(shí),z為實(shí)數(shù).(2)當(dāng)z為虛數(shù)時(shí),'2_一一a-5a-6=0那么有a2=1aw±且a6當(dāng)aC(吟1)(1,1)U(1,6

8、)U(6,+8)時(shí),z為虛數(shù).(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),那么有a-5a-6:0a2-7a6a2-1a#1J=La#6la=6,不存在實(shí)數(shù)a使z為純虛數(shù).【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù),虛數(shù)又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù),合理利用復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)、虛數(shù)以及純虛數(shù)的條件是解決本類題目的關(guān)鍵.舉一反三：2【變式1右受數(shù)z=(x-1)+(x-1)i為純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)x的值為()A.-1B.0C.1D.-1或1x2-1=0口.【答案】由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù),得x,解得x=-1,應(yīng)選A.x-1:0【數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念401749例題1】【變式2當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),復(fù)數(shù)z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i,(mRR),表

9、不(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)【答案】(1)zwR,那么m2-5m-6=0,即m=6或m=1.(2) z表示虛數(shù),那么m2-5m-60,即m#6且m.一1.彳2,-m一3m-4=0一(3) z表示純虛數(shù),那么?,所以m=4.m2-5m-6=0【變式3】設(shè)復(fù)數(shù)z=lgm2-2m-2+m2+3m+2i,mR,當(dāng)m為何值時(shí),1z是實(shí)數(shù);2z是純虛數(shù).【答案】1要使z是實(shí)數(shù),2一-一m3m2=0八,八,口一那么需4=m=1或m=2,所以當(dāng)m=1或m=2時(shí),z是頭數(shù).m2-2m-202要使z是純虛數(shù),jm22m2_1那么需«=m=3,所以m=3時(shí),z是純虛數(shù).m23m2=0類型二、復(fù)數(shù)

10、相等例3.(2x一1)+i=y-(3-y)i,其中x,yWR,求x與y.【思路點(diǎn)撥】因x6R,y是純虛數(shù),所以可設(shè)y=bib6R且bO,代入原式,由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得方程組,解之即得所求結(jié)果【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,得方程組'2x-1=y,所以J=-(3-y),y=4【總結(jié)升華】?jī)蓮?fù)數(shù)a+bi與c+dia,b,c,dCR相等的充要條件是a=c且b=d,可得到兩個(gè)實(shí)數(shù)等即兩個(gè)方程組,通過(guò)解方程組求出x與y.舉一反三：【變式1】x2y2+xyi=7+12i,求x+yi的值x,yCR.【解析】由題意知卜之一；：=7xy=12x=4,解得?y=4所以x+yi的值為4+3i或43i.【數(shù)系

11、的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念401749例題2x,y【變式2】x,ywR,復(fù)數(shù)3x+2y+5xi與復(fù)數(shù)y2i+18相等,求,解得x=一2y=123x2y=18【答案】(y2)i+18=18(y-2)i,所以475x=2-y類型三、復(fù)數(shù)的幾何意義例4.當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1)為純虛數(shù)；(2)為實(shí)數(shù)；(3)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第二象限內(nèi).【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)Z的位置確定復(fù)數(shù)z實(shí)部與虛部取值情況.2【解析】(1)假設(shè)z為純虛數(shù),那么1g2m-m-)=°,解得m=3|,m3m2吏02假設(shè)z為實(shí)數(shù),那么(g(mm)°,解得m=-1或m=-2Im23

12、m2=02(3)假設(shè)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限,那么gg(m一m一)<°解得-1<m<1-J3或1+O<m<3.2Im3m20即(1)m=3時(shí),z為純虛數(shù);(2) m=-1或m=-2時(shí),z為實(shí)數(shù);(3) -1<m<1-J3或1+J3<m<3時(shí),z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二象限內(nèi).【總結(jié)升華】復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的,點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)即為復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的特征【變式1】(2021安徽卷)設(shè)i是虛數(shù)單位,那么復(fù)數(shù)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限且在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1-i(D)第四象限2i2i(1i)1-i(1-i)(1i)2-22i=

13、1+i.其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(-1,1),第二象限,應(yīng)選B.【變式2】復(fù)數(shù)(2k23k2)+(k2k)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,2k2-3k-20,一k2,12即?2解得：一卜0或1卜2k-k0,k：二及k1.2【數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念401749例題3】【變式3】復(fù)數(shù)z=(m22m3)+(m24m+3)i(mCR)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,求實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),點(diǎn)Z(1)在實(shí)軸上；(2)在虛軸上；(3)在第一象限.【答案】(1)點(diǎn)Z在實(shí)軸上,即復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù),由m2-4m3=0=m=3或m=1,當(dāng)m=3或m=1時(shí),點(diǎn)Z在實(shí)軸上.(2)點(diǎn)Z在虛軸上

14、,即復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)或0,故m2-2m-3=0=m=-1或m=3,當(dāng)m=-1或m=3時(shí),點(diǎn)Z在虛軸上.3)點(diǎn)Z在第一象限,即復(fù)數(shù)z的實(shí)部虛部均大于0-2m-30-4m30,解得m<1或m>3當(dāng)m<1或m>3時(shí),點(diǎn)Z在第一象限.例5.在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),向量OA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i.(1)如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,求向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)如果(1)中點(diǎn)B關(guān)于虛軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【解析】(1)設(shè)所求向量OB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)Z1=x1+y1i(X1,yCR),那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為(X1,y1).由題意可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),根據(jù)對(duì)稱性可知X1=2,y1二1

15、,故Z1=2i.(2)設(shè)所求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2=X2+y2i(X2,y2CR),那么點(diǎn)C的坐標(biāo)為(X2,y2).由對(duì)稱性可知X2=_2,y2=1,Z2=一2一i.【總結(jié)升華】由復(fù)數(shù)的幾何意義知,復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因而在解決復(fù)數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí),我們可以利用復(fù)平面上的點(diǎn)的一些數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)解決.舉一反三：【變式】在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)Z1=1+i、Z2=2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OP=OA+九OB.假設(shè)點(diǎn)P在第四象限內(nèi),那么實(shí)數(shù)九的取值范圍是.【答案】OP=(12,13),-12'0“口11由題息：i,解得：一一<八<-13：023例6.z=1+2i,求z.【解析】z=J12+22=J5【總結(jié)升華】依據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義,即可求得.舉一反三：【變式1】(2021江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3+4i(i是虛數(shù)單位),那么z的模為【答案】5|z2|=