兩點間的距離教案

1、兩點間距離教學目標1 .使學生理解并掌握平面上任意兩點間的距離公式.2 .使學生初步了解解析法證實.3 .教學中滲透由特殊到一般,再由一般到特殊的思想.“數和“形結合轉化思想.鑒賞公式蘊含的數學美.教學重點與難點重點猜測兩點間的距離公式.難點理解公式證實分成兩種情況.教學過程B是X軸上兩點,C、|CD|又怎樣求？師：上節(jié)我們學習了有向線段,現在有問題是：如果A、D是y軸上兩點,它們坐標分別是xa、xb、yc、丫口,那么|AB|生：|AB|=|xb-Xa|,|CD|=|y.師：現在再請同學們解如下兩題.求B(3,4)到原點的距離.設A(xi,yi);B(X2,y2),求|AB|.生：B到原點距離

2、是5.師：你是怎么得出來的?生：我是通過觀察圖形,發(fā)現一個RtBMO應用勾股定理得到的.注:為猜測打根底.師：請同學們猜猜題的結果？生：甲：|AB|=Jg/力"斗機J.乙固尸陽-叼2+C?i-y2,丙呼尸向父爐乜力-加產丁：師：哪個公式對呢？或問甲、乙、丙怎么猜出來的.生甲：利用題求出A點到原點距離加上B點到原點距離.其他學生討論反向原點O在R、P2直線上嗎？引導討論到達認同I碎=J因-叼2+力-力2,根據第題構造RtA的想法,把題也構師：我們來欣賞和考驗它的正確性. 按距離要求它大于等于零,是這樣嗎？生：是. |AB|=|BA|.公式滿足嗎？生：滿足.師：用猜出公式檢驗題.生,IB

3、q-3-02+4-0/-725=5.師：當AB平行于x軸或平行于y軸,公式還適用嗎？生；當AB平行和軸,那么門=%.所以|叫=/弧-近于二區(qū)-町|.同理當AB平行于,由,那么卷i=叼.所以|AB|二水力-y3弓力一力是適用的.師：這就增強了我們猜測公式的信心.那么我們應該對公式從理論上加以證明.應該怎么辦？生：證實時要構造RtA.師：總能構造Rt嗎？生：當AB平行于x軸或AB平行于y軸時不行.師：那么AB不平行于x軸或y軸任意兩點總能構造Rt嗎？生：可以.師：好！要求我們證實時分兩種情況：兩點連線平行x軸或y軸時；兩點連線不平行于x軸或y軸.下面,我們來求平面上任意兩點間的距離.(教師在黑板上

4、畫圖,學生完成證實過程.)生：在直角坐標系中,兩點R(xi,v»P2(x2,y2)如圖：從Pi、B分別向x軸和y軸作垂線RM、PW和P2M、P2N2,垂足分別為M(xi,0)、N2(0,yi)、M1,0)、N(0,yz),其中直線RN和P2M相交于點Q在RtAPiQf?中,|PR|2=|PiQ|2+|QP2|2.由于|PiQ|=|MiM|=|x2-xi|,|QPz|=|NN|=|y2-yi|,所以|PR|2=|x2-xi|2+|y2-yi|2.由此得到兩點Pi(xi,yi)、F2(xz,yz)的距離公式:師：同學們道兩點的距離公式,請大家回憶一下我們怎樣知道的.回憶過程我們先計算在x

5、軸和y軸兩點間的距離.又問了B3.4到原點的距離,發(fā)現了RtA.猜測了任意兩點距離公式.最后求平面上任意兩點間的距離公式.這種由特殊到一般,由特殊猜測任意的思維方式是數學發(fā)現公式或定理到推導公式、證實定理經常應用的方法.同學們在做數學題可以采用！下面對兩點間的距離公式應該進一步理解和鑒賞它.距離這個量是非負數,那么|PiPal=V的-盯"十八一為產是非負數嗎T答案是肯定的.再看看公式處一下結構由馬十力-打產工&叼-町*力-y爐是恒等嗎?名吉陶對稱嗎？答案也是肯定的.從公式田衛(wèi)尸J的士尸+力-刈沒有涉及長度單位,那么對任何長度單位都適用嗎？答案也是肯定的,說明公式應用的廣泛性.

6、當R、P2點同時平移時,不管PR落在什么位置,|PR|有變化嗎？答案也是肯定的,又說明了公式的任意性.對于這個公式的重要性：公式是解析幾何的根底知識,根本公式.它對以后繼續(xù)學習研究解析幾何問題有著廣泛的用途,在以后學習任何曲線問題時都會用到它,在解決實際問題時也會經常用到,在今后的學習中會體會到這一點.現在我們再看一個例子：在一個圓上,有A、BGD4個點,你怎樣證實：|AO|=|BO|=|CO|=|DO|=R呢?引導學生利用三角解決.設A(x0,yo),/AOM=.所以笈=|OA|*cos0.y=|0A|*sin.所以|A0|=y/x2+y3=7lW2e-b|OA|2sin20=OAcos2?

7、4ain2=J|QA|2-|OA|=R.今天我們學習了平面上兩點間的距離.(教師在黑板上寫上課題：兩點間的距離.)練習：求以下坐標下的兩點間的距離？石企72V3(1)?!(,P式)(3)有一線段的長度是13,它的一個端點是A(-4,8),另一個端點是B的縱坐標3,求這個端點的橫坐標？并畫出這個點.練習方式：(1)(2)學生下面做,教師叫一個或二個學生板書后,再糾正錯誤.或叫學生口述,教師板演,標準書寫格式.而對于(3)應讓學生先畫圖,再解.解：設B(x,3),根據|AB|=13,即：(x+4)2+(3-8)2=132,x2+8x-128=0,解之：x8或x2=-16.學生先找點,有可能找不全,

8、丟掉點,而用代數解比擬全面.也可以引至到A-4,8點距離等于13的點的軌跡或集合是以A點為圓心13為半徑的圓上與y=3的交點,應交出兩個點.師：兩點間的距離公式能起到證實兩條線段相等作用嗎？我們看下面一題.例14ABC中,AD是BC邊上的中線,求證：|AB|2+|AC|2=2|AD|2+|DC|2.師：我們先作一個三角形ABCAD是BC邊上的中線.再想如何證實：|AB|2+|AC|2=2|AD|2+|DC|2.生：必須把ADO在直角坐標系內,利用距離公式.師：如何放呢？下面可以畫畫坐標系.生：在下面畫,教師下面巡視,最后歸納成以下幾種.師：ABCE坐標系中大致有以上4種,都能到達證實結論.請同

9、學觀察哪種放法比擬簡捷呢？生：14的放法比擬好,其中種最好.師：好,哪種放法最不好？生：3種放法最不好.師：為什么？說說理由？討論生：3A、B、C坐標均不一樣,字母太多,且D點坐標不知如何求？未學中點坐標公式.2種RC兩點縱坐標一樣.1種B點與原點重合B0,0,D、C坐標縱坐標為零,比擬好,計算較簡便.4種方法是B、DC在x軸上,縱坐標均為零,且B、C對稱,橫坐標互為相反數.師：好,我們就選4種方法證實.再問一下A點放在y軸上不更好嗎？生：把A點放在y軸上,三角形是特殊的等腰三角形,失去一般性.證實：取線段所在的直線為x軸,點D為原點O,建立直角坐標系,設點A的坐標為b,c,點C的坐標為a,0

10、,那么點B的坐標為-a,0,可得：|AB|2=a+b2+c2,|AC|2=a-b2+c2,|AD|2=b2+c2,|OC|2=a2.所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).例2對任意實數xi,X2,yi,y2下面的不等式成立:h-町/十n一力舊式J町"十十J工4十師：這樣的代數不等式通常怎樣證？生：從現在學習代數不等式的知識來看有比擬法.師：是這樣,隨著學習的深入,代數不等式還有綜合法、分析法、放縮法、數學歸納法、反證法、判別式法、圖象法等.師：按距離公式,3個根式各像什么

11、?生：距離公式.師：涉及到哪幾個點？生：涉及(Xi,yi)、(X2,N斗、(0,0).師：畫圖看看,怎樣證？生：設0(0,0)、A(xi,yi)、B(X2,y2),且QAB構成一個三角形.由于|.閥=序守,|QB|=J叼2*力工所以|AB|二Jr町十%-力洛又由于四|<|.紳j0B|(三翻兩邊之和大于第三邊),由于水口一國產十.2一力)JxJ十十十療*師：等式如何取得？生：當.AB共線且0在AB之間時：那么|AB|=|0A|+|0B|.師：當QA、B3點共線,0在AB之外時,又怎么樣？生：這時|AB|<|0A|+|0B|.師,總之,J-2-的心二(七-力尸4為"+H+這道

12、題實際上是距離公式的逆用.我們在解數學問題時經常強調“形到“數轉化,而這道題以形解數.從例1來看是用代數方法解決幾何問題,起名叫做解析法,而例2是形解數.這些都是“數和“形相互轉化.今后我們由它在方程中的應用、在函數最值中應用、在證實恒等式中應用、在三角方面的應用,可以看出兩點間的距離公式在解決數學問題中的廣泛性.它的關鍵是轉化為J(七-應產+(力-力/的形式,并且要對有關的數或形進行幾何解釋,利用數形結合的數學思想,借助于圖形的有關性質得出問題的解或結論.練習：試證直角三角形斜邊中線等于斜邊一半.(學生自己完成)小結：1.學習了兩點間的距離公式.2 .解析法證實幾何問題,建立坐標系的原那么又

13、是什么呢？在不失一般性的前提下：(1)設點盡可能出現對稱點.(2)盡可能的把點放在坐標軸上,這樣,點的坐標會出現有的坐標為零,優(yōu)化計算.3 .學習中運用特殊到一般,再由一般到特殊的思想.還有“數“形結合的數學思想.補充作業(yè)：1 .假設B>GD在數軸上的坐標是a,2a,3a(a>0),那么求出數軸上適合|0A+|AE+|AC+|AD/=5/的點A的坐標.(答案三a)L-J2 .在x軸上求一點P,使P點至ijA(-4,3)和B(2,6)兩點的距離帕等.(管藕=1)3 .判斷三點A(3,1)、B(-2,9)、C(8,11)是否共線？(答案不共線)4 .三點A(3,2)、B(0,5)、C(

14、4,6),那么ABC的形狀是什么？(答案B)A.直角三角形.B.等邊三角形.C.等腰三角形.D.等腰直角三角形.5 .試證矩形的對角線相等.設計說明距離概念,在日常生活中時刻遇到,學生在初中平面幾何中已經學習了兩點間的距離、點到直線的距離、兩條平行線間的距離概念.到高一立體幾何中又學習了異面直線距離、點到平面的距離、兩個平面間的距離等.其根底是兩點間的距離,許多距離的計算都轉化為兩點間的距離.在平面直角坐標系中任意兩點問的距離是解析幾何重要的根本概念和公式.到復平面內又出現兩點間距離,它為以后學習圓錐曲線,動點到定點的距離,動點到定直線的距離打下根底,為探求圓錐曲線方程打下根底.例如：圓的概念

15、是動點到定點的距離等于定長的點的集合.橢圓的概念是動點到兩個定點距離和等于常數的點的集合.雙曲線的概念以及拋物線的概念都涉及到距離的概念.另外,可以看出兩點間距離公式為解決代數、三角和幾何問題起到了重要作用,所以學習掌握運用兩點間的距離公式的重要性是顯而易見的.解析幾何是通過代數運算來研究幾何圖形的形狀、大小和位置關系的,因此,在學習解析幾何時應充分利用“數形結合的數學思想和方法.1 .關于本節(jié)課的宏觀想法從本節(jié)課的內容,即平面內兩點間的距離公式及應用公式解題,來了解解析法證實.初步會用解析法證實簡單的幾何題.因而確定的教學目標是從教材的性質確定本節(jié)課是概念及公式的推導課.而重點是掌握兩點間的

16、距離公式,所以采用了“歸納一演譯,滲透由特殊到一般,再由一般到特殊的方法.同時充分利用了數形轉化,以形促數、以數找形的數學思想和方法.確定導入課是在上節(jié)有向線段的長度根底上提出一個問題,即A、B是x軸上兩點,GD是y軸上兩點,求|AB|及|CD|?再引出一個特殊點B(3,4)到原點距離,讓學生觀察圖形發(fā)現RtA,利用勾股定理解決,為猜測兩點間的距離公式和推導打下根底.再提出任意兩點A(xi,yi)、B(X2,y2),如何求|AB|.讓學生猜測,引導到正確公式中來.應該在猜測的教學環(huán)節(jié)上下功夫.在猜出公式后及時引導學生欣賞和考驗它的正確性.由此說明公式普遍性及特殊性都適用,才稱其為公式.在經過嚴

17、格的理論推導出公式才能成為真理.更深一層引導同學理解和鑒賞公式.讓學生在學數學時更重要的是學會數學思維方法,在得到公式時不要到此而止,還要進一步理解它,鑒賞它,使學生體會到數學的美.解析法證明為幾何證實又開辟了新的途徑是本節(jié)的難點,特別是如何建立坐標系,比擬它優(yōu)劣,在小結中總結出建立坐標系的一般原那么,使學生初步了解解析法證實.對于例2代數不等式的證實,其目的是以形解數,如果利用代數中的比擬法、綜合法、逆證法等都是不能很快解決的,但這個題要根據所授學生的實際決定取舍.2 .教學微觀想法兩點間的距離公式的導出以及它的應用解題,從問題的提出開始,盡可能地讓學生參與知識的產生及形成過程,充分發(fā)揮學生的主體作用,要全方位、分層次參與任何問題結論的得出都由學生自己完成,教師只起到點撥作用.在有可能的情況下可以用電腦提升動畫效果.例：A、B平行移動,解析幾何證實坐標系的選擇、代數不等式中三角形的變化等.這樣,學生真正參與概念的建立、公式推導探索過程,從而體會獲取知識的樂趣,成為“生產知識的主人.3 .教學情境設計的想法以提出問題導入新課,每個問題又盡可能地讓學生動腦、動手、動口,去發(fā)現、去猜測、去在理論上推導,所有的時機都給學生,同時又