專升本高等數(shù)學(xué)第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【測(cè)試要求】1 .掌握羅爾中值定理、拉格朗日中值定理并了解它們的幾何意義.2 .熟練掌握洛必達(dá)法那么求“0/0、“8/8、“08、“88、“廣、“0°和“8°型未定式極限的方法.3 .掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法,會(huì)利用函數(shù)的增減性證實(shí)簡(jiǎn)單的不等式.4 .理解函數(shù)極值的概念,掌握求函數(shù)的極值和最值(最大值和最小值)的方法,并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.5 .會(huì)判定曲線的凹凸性,會(huì)求曲線的拐點(diǎn).6 .會(huì)求曲線的水平漸近線與垂直漸近線.【測(cè)試內(nèi)容】一、微分中值定理1 .羅爾定理如果函數(shù)y=f(x)滿足下述的三個(gè)條件：(1)在

2、閉區(qū)間.,句上連續(xù)；(2)在開(kāi)區(qū)間(/)內(nèi)可導(dǎo);(3)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即/(.)=/(),那么在,Z?)內(nèi)至少有一點(diǎn)J<b),使得f'(4)=0.說(shuō)明：通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn),臨界點(diǎn)),即假設(shè)/'(%)=0,那么稱點(diǎn)/為函數(shù)/(x)的駐點(diǎn).2 .拉格朗日中值定理如果函數(shù)y=fx滿足下述的兩個(gè)條件：1在閉區(qū)間句上連續(xù)；2在開(kāi)區(qū)間.,匕內(nèi)可導(dǎo),那么在4,b內(nèi)至少有一點(diǎn)Ja<<b,使得下式拉格朗日中值公式成立：說(shuō)明：當(dāng)/S=/.時(shí),上式的左端為零,右端式S-.不為零,那么只能尸4=0,這就說(shuō)明羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.此外,

3、由于拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要的地位,因此有時(shí)也稱這定理為微分中值定理.3 .兩個(gè)重要推論1如果函數(shù)/X在區(qū)間/上的導(dǎo)數(shù)恒為零,那么/X在區(qū)間/上是一個(gè)常數(shù).證：在區(qū)間/上任取兩點(diǎn)、X2假定玉工2,同樣可證,應(yīng)用拉格朗日中值公式可得/王一/%=/"0工2玉%V4V/由假定,/e=0,所以/玉=0,即/=/N.由于內(nèi)、公是/上任意兩點(diǎn),所以上式說(shuō)明/X在區(qū)間/上的函數(shù)值總是相等的,即/X在區(qū)間/上是一個(gè)常數(shù).2如果函數(shù)/X與gO在區(qū)間.力內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒有/工=g'X,那么這兩個(gè)函數(shù)在.,人內(nèi)至多相差一個(gè)常數(shù),即fxgx=CC為常數(shù).證:設(shè)Fx=/x-gx,那么Fx=/xgx

4、'=fx-gXx=0,根據(jù)上面的推論可得,尸x=C,即fx-gx=C,故/x-gx=C.二、洛必達(dá)法那么1.不一.時(shí)“2型未定式的洛必達(dá)法那么o如果函數(shù)/X及/x滿足下述的三個(gè)條件:1當(dāng)X4時(shí),函數(shù)/X及/X都趨于零；2在點(diǎn)4的某個(gè)去心鄰域內(nèi)fx及Ffx都存在且尸'XW0；vfx、一3lim存在或?yàn)闊o(wú)窮大,1 尸X于X/'X那么lim-=lim-.FxfFx/'xfW/rx說(shuō)明：這就是說(shuō),當(dāng)hm存在時(shí),hm也存在且等于hm:當(dāng)尸'x-FxfF'x./'x.fxhm為無(wú)窮大時(shí),也是無(wú)窮大.FxFx2） X.8時(shí)“9型未定式的洛必達(dá)法那么0如

5、果函數(shù)/X及尸X滿足下述的三個(gè)條件:1當(dāng)XfS時(shí),函數(shù)/X及尸X都趨于零：2當(dāng)國(guó)X時(shí)/'X及尸X都存在且尸X.0；./'x、3） lim-存在或?yàn)闊o(wú)窮大,28尸Xfxfrx那么lim-=lim-.fcrF'y說(shuō)明：我們指出,對(duì)于xfa或x8時(shí)的未定式“一,也有相應(yīng)的洛必達(dá)法那么.0003.使用洛必達(dá)法那么求“一型或“一型極限時(shí)的考前須知0000OO1使用洛必達(dá)法那么之前要先判斷所求極限是不是“一型或“一型,如果不是那么不0OO,smx能使用洛必達(dá)法那么.例如：lim就不能運(yùn)用洛必達(dá)法那么,直接代入求極限即可,故.v->|xsincsinx92lim=-二.x-&g

6、t;-Xn719-202洛必達(dá)法那么可屢次連續(xù)使用,也就是說(shuō),如果使用一次洛必達(dá)法那么后算式仍然是“一000型或“一型,那么可再次使用洛必達(dá)法那么,依此類推.000003洛必達(dá)法那么是求“一型或“一型未定式極限的一種有效方法,但最好能與其他000求極限的方法結(jié)合使用,例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn),可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替代或重要極tanx-x限時(shí),應(yīng)盡可能應(yīng)用,這樣可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便.例如：求hm時(shí),可先用xtanxftanx進(jìn)行無(wú)窮小的等價(jià)替換,然后再用洛必達(dá)法那么,故tanx-xtanx-xsecr-1tarrx1lim；=lim；=lim；=lim-=-.工rtanx入Tx工-3jt334如果求極

7、限的式子中含有非零因子,那么可以對(duì)該非零因子單獨(dú)求極限即可以先求出Insin2x這局部的極限,然后再利用洛必達(dá)法那么,以便簡(jiǎn)化運(yùn)算.例如：求hm時(shí),so.Insin3xlnsin2xsin3x-cos2x-2一2sin3x_23x.lim=lim=lim=lim=1,從第Insin3xsin2x-cos3x-3-o+3sin2x廣32x二步到第三步的過(guò)程中,分子上的因子cos2x和分母上的因子cos3x當(dāng)x-0+時(shí)極限均為1,故可先求出這兩局部的極限以便化簡(jiǎn)運(yùn)算./'X5當(dāng)洛必達(dá)法那么的條件不滿足時(shí),所求極限不一定不存在,也即是說(shuō),當(dāng)hm不x+sinx存在時(shí)等于無(wú)窮大的情況除外,lim

8、L仍可能存在.例如：極限lim一-一二,Fxfx(x+sinx)1+cosxlim-=lim=lim(l+cosx)極限是不存在的,但是原極限AT81XT8=1+0=1.Ix+sinx八sinx、.sinx是存在的,lim=lim(l+)=l+limA>XxA-KC(4.其他類型的未定式0s八除了“一型或“一型未定式之外,還有其他類型的未定式,如“08、“88、08i(r"、“0°及“8°型等.對(duì)于“08和“88型的未定式,處理方法為將它們直接轉(zhuǎn)化成“-或“型；對(duì)于“亡、“0°及“8°型的未定式,處理方08八08法為先取對(duì)數(shù)將它們轉(zhuǎn)化成“

9、08型,然后再轉(zhuǎn)化成“一型或“型未定式.000三、函數(shù)單調(diào)性的判定法1.單調(diào)性判定法設(shè)函數(shù)y=/(x)在句上連續(xù),在(.力)內(nèi)可導(dǎo),(1)如果在(,人)內(nèi)/'(x)>0,那么函數(shù)y=/(x)在,句上單調(diào)增加；(2)如果在(4,6)內(nèi)/'(x)<0,那么函數(shù)y=/(x)在,句上單調(diào)減少.說(shuō)明：如果把這個(gè)判定法中的閉區(qū)間改為其他各種區(qū)間(包括無(wú)窮區(qū)間),結(jié)論也成立;假設(shè)判定法中/'(X)在(.力)內(nèi)只有有限個(gè)點(diǎn)上,尸(x)=0,而在其余點(diǎn)上恒有fXx)>0(或/'(x)<0),那么函數(shù)/(x)在區(qū)間.,匕上仍然是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的.2

10、.單調(diào)區(qū)間的求法設(shè)函數(shù)/(X)在定義區(qū)間上連續(xù),除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),那么求函數(shù)/(X)的單調(diào)性的步驟如下:1求出函數(shù)/X的定義域；2求出函數(shù)/X的導(dǎo)數(shù)/'X,并令7'0=0求出函數(shù)的駐點(diǎn)：此外,再找出導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)一般是使得了'X分母為零的點(diǎn)：3用函數(shù)/X的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間,然后用單調(diào)性判定定理逐個(gè)判定各個(gè)局部區(qū)間的單調(diào)性.3 .用單調(diào)性證實(shí)不等式函數(shù)/X的單調(diào)性還可以用來(lái)證實(shí)不等式,步驟如下：1將不等式的一邊變?yōu)榱?不等于零的一邊設(shè)為/X,根據(jù)要證實(shí)的式子找出不等式成立的X的范圍/：2求/*的導(dǎo)數(shù)/'X,判斷廣

11、X在上述/范圍內(nèi)的符號(hào)即正負(fù)：3根據(jù)范圍/的邊界值與f'R的情況,導(dǎo)出所需要證實(shí)的不等式即可.例如：試證實(shí)當(dāng)x>l時(shí),2«>3.X證實(shí)：原不等式即為23H,故令/'x=2.-fx3d,X>0,XX那么fx=-=-=-1,/*在1,+8上連續(xù),在1,+8內(nèi)yJX廠廠/V>0,因此在1,+8上/X單調(diào)增加,從而當(dāng)X>1時(shí),fx>/l,又由于/1=0,故fx>0,即-3T>0,亦即2>3.XX四、函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)1 .函數(shù)凹凸性的定義設(shè)函數(shù)/X在區(qū)間/上連續(xù),如果對(duì)/上任意兩點(diǎn)X、*2,恒有f-一!一那么稱/X在/上的

12、圖形是向上凹的或凹272?。喝绻阌?#39;$；/82,那么稱/*在/上的圖形是向上凸的或凸弧.如果函數(shù)/x在/內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定曲線的凹凸性,如下所示.2 .函數(shù)凹凸性的判定法設(shè)函數(shù)/x在區(qū)間凡切上連續(xù),在.力內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù),那么1假設(shè)在.力內(nèi)/"X0,那么/X在,句上的圖形是凹的：2假設(shè)在他,加內(nèi)/"X0,那么/X在.,切上的圖形是凸的.說(shuō)明：假設(shè)在.,匕內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)上/犬=.外,其它點(diǎn)上均有了".0或/"x0,那么同樣可以判定曲線y=/x在.,句上為凹曲線或凸曲線.3 .曲線的拐點(diǎn)的求法一般地,設(shè)y=/O在區(qū)間

13、/上連續(xù),/是/的內(nèi)點(diǎn)除端點(diǎn)外/內(nèi)的點(diǎn).如果曲線y=/x在經(jīng)過(guò)點(diǎn)玉,/毛時(shí),曲線的凹凸性改變了,那么就稱點(diǎn)x0,/x0為這曲線的拐點(diǎn).我們可以根據(jù)下述步驟求區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)y=/工的拐點(diǎn)：求/"x；2令fx=0,解出這方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根,并求出在區(qū)間I內(nèi)/"X不存在的點(diǎn)：3對(duì)于2中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)X.,檢查了X在X.左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào),當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相反時(shí),點(diǎn)%,/%是拐點(diǎn),當(dāng)兩側(cè)的符號(hào)相同時(shí),點(diǎn)/,/七不是拐點(diǎn).在切上單3.根本初等函數(shù)的微分公式說(shuō)明：假設(shè)要求函數(shù)'=/工的凹凸區(qū)間,那么用2中求出的每一個(gè)實(shí)根或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)把區(qū)間/分成

14、假設(shè)干局部區(qū)間,然后在這些局部區(qū)間上判定了X的符號(hào),假設(shè)那么該局部區(qū)間為凹區(qū)間,假設(shè)/"x0,那么該局部區(qū)間為凸區(qū)間.五、函數(shù)的極值與最值1 .函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)/x在點(diǎn)七的某鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于去心鄰域.%內(nèi)任一X,有了Xv/,X0或/x/工0,那么就稱/%是函數(shù)/X的一個(gè)極大值或極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).說(shuō)明：函數(shù)的極大值與極小值概念是局部性的,如果/X.是函數(shù)/X的一個(gè)極大值,那只是就入0附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō),/%是/X的一個(gè)最大值,如果就/X的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō),/毛不見(jiàn)得是最大值.關(guān)于極小值也類似.2 .函數(shù)取得極值的必要

15、條件設(shè)函數(shù)/x在/處可導(dǎo),且在x0處取得極值,那么/'x=0.說(shuō)明：這也就是說(shuō),可導(dǎo)函數(shù)/X的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn).但反過(guò)來(lái),函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).例如,/幻=/的導(dǎo)數(shù)/'幻二3/,/'0=0,因此x=0是這函數(shù)的駐點(diǎn),但x=0卻不是這函數(shù)的極值點(diǎn),所以,函數(shù)的駐點(diǎn)只是可能的極值點(diǎn).此外,函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)處也可能取得極值.例如,函數(shù)/x=k|在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo),但函數(shù)在該點(diǎn)取得極小值.3 .判定極值的第一充分條件O設(shè)函數(shù)/X在/處連續(xù),且在X.的某去心鄰域U%內(nèi)可導(dǎo).1假設(shè)XEX05,Xo時(shí),/'x0,而不£毛,毛+5時(shí),/fx0,那么/

16、X在X.處取得極大值：2假設(shè)工£*05,工0時(shí),/'XO,而%,%+5時(shí),/'00,那么/0在X.處取得極小值：3假設(shè)xeUXo,5時(shí),/'x的符號(hào)保持不變,那么/x在/處沒(méi)有極值.4 .用第一充分條件求極值點(diǎn)和極值的步驟設(shè)函數(shù)/x在所討論的區(qū)間內(nèi)連續(xù),除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo),那么用第一充分條件求極值點(diǎn)和相應(yīng)的極值的步驟如下：1求出導(dǎo)數(shù)/'x；2求出了X的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)；3考查了'X的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情形,以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)：如果是極值點(diǎn),進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；4求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值,就得函數(shù)/X的全部極值.

17、5 .判定極值的第二充分條件設(shè)函數(shù)/X在X.處具有二階導(dǎo)數(shù)且/'%=0,/"不.,那么1當(dāng)/"不0時(shí),函數(shù)/X在七處取得極大值；2當(dāng)/"玉0時(shí),函數(shù)/X在X.處取得極小值.說(shuō)明：該極值判定條件說(shuō)明,如果函數(shù)/X在駐點(diǎn)七處的二階導(dǎo)數(shù)/"天.,那么該駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),并且可按二階導(dǎo)數(shù)/"不的符號(hào)來(lái)判定了%是極大值還是極小值.但如果/Xo=O,那么該判定條件失效.事實(shí)上,當(dāng)了'Xo=O,/%=0時(shí),/x在/處可能有極大值,可能有極小值,也可能沒(méi)有極值.例如,fX=-X4,f2x=x4,力*=/這三個(gè)函數(shù)在x=0處就分別屬于上述三種情

18、況.因此,如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零,那么還得用一階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)左右鄰近的符號(hào)來(lái)判定.6 .求/X在區(qū)間4,切上的最值的步驟設(shè)函數(shù)/X在閉區(qū)間凡切上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間4,內(nèi)除有限個(gè)點(diǎn)外可導(dǎo),且至多有有限個(gè)駐點(diǎn),那么求/X在閉區(qū)間上的最值的步驟如下：1求出/X在4,.內(nèi)的駐點(diǎn)內(nèi),公,Xm及不可導(dǎo)點(diǎn)X：,X；：2計(jì)算/乙=1,2,？,fx；=1,2產(chǎn),及fa,于b；3比擬2中諸值的大小,其中最大的便是/X在.,匕上的最大值,最小的便是/X在凡瓦|上的最小值.說(shuō)明：在實(shí)際問(wèn)題中,往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)/X確有最大值或最小值,而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得.這時(shí)如果/X在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐

19、點(diǎn)X.,那么不必討論了X.是不是極值,就可以斷定/%是最大值或最小值.六、函數(shù)的漸近線的求法1 .水平漸近線假設(shè)lim/x=.包括lim/x=或lim/x=Q,那么直線y=a就是工T8A->-XA->-HX函數(shù)fx的水平漸近線.2 .垂直漸近線或稱鉛直漸近線假設(shè)lim/x=8包括lim/x=s或lim/x=8,那么直線工=/就Xf卬4一XT是函數(shù)/X的垂直鉛直漸近線.【典型例題】/、1.-tc5zr【例3-1驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)fx=Insinx在區(qū)間一,上的正確性.66、.兀57rlz7C54、解：顯然函數(shù)/x=lnsinx在閉區(qū)間一,上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間一,上可導(dǎo),6666fx)=(

20、lnsinx)z=!cosx=cotx,且/(生)=/(2)=-ln2,故滿sinx66足羅爾定理的條件,由定理可得至少存在一點(diǎn)4E(工,2),使得f'(4)=0,即66cot4=0,4=g即為滿足條件的點(diǎn).【例3-2涵證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)f(x)=4x28x2在區(qū)間0,1上的正確性.解：顯然函數(shù)/(x)=4x28x2在閉區(qū)間0上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),/'(x)=8x8,根據(jù)拉格朗日中值定理可得至少存在一點(diǎn)4七(0),使得/(l)-/(0)=/zOl-0),即6(2)=8J8,可得q=Jc(0,l),4=1即為滿足條件的點(diǎn).2【例3-3不求導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)/(x)=

21、01).-2)(X-3)(1-4)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn),這些零點(diǎn)分別在什么范圍.解：顯然/(x)是連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù),且/(l)=/(2)=/(3)=f(4)=0.故/(x)在區(qū)間1,2,2,3,3,4上滿足羅爾定理的條件,所以在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&,使得/'(0)=0,即0是/'(X)的一個(gè)零點(diǎn)：在區(qū)間(2,3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)乙,使得/'(芻)=0,即4?是/'(X)的一個(gè)零點(diǎn)；又在區(qū)間(3,4)內(nèi)至少存在一點(diǎn)盤,使得/'(孱)=0,即芻也是廣*)的一個(gè)零點(diǎn).又由于了'(X)是三次多項(xiàng)式,最多只能有三個(gè)零點(diǎn),故/'(X)恰好有

22、三個(gè)零點(diǎn),分別在區(qū)間(1,2),(2,3)和(3,4)內(nèi).【例3-4】證實(shí)arcsinx+arccosx=C,其中一2證實(shí)：設(shè)f(x)=arcsinx+arccosx,xe-lj,由于/'(x)=<1+(-/1)=0,Vl-X2y/l-X2所以f(x)=C,xe-l,l.又由于/(0)=arcsin0+ai-ccosO=0+=,即C=上71arcsinx+arccosx=271,、說(shuō)明：同理可證,aivtanx+arccotx=,xe(-oo,+<x).2【例35】求以下函數(shù)的極限.3x+21.求lim-；nx-x-x+1 0解：該極限為X->1時(shí)的“一型未定式,由洛

23、必達(dá)法那么可得0.、r3x2-3r6x3原式二lim=11in=f3r-2x-t6x-22兀arctanx2 .求lim-.XT+ocIX0解：此題為Xf+CO時(shí)的“一型未定式,由洛必達(dá)法那么可得01原式=lim十.=lim=1.工T+OCJKT+OC+尸一lnsin2x3 .求lim5- Insin3x解：該極限為戈-0時(shí)的“一型未定式,由洛必達(dá)法那么可得00原式=limcos2x-2sin2xcos3x-3sin3x2sin3x.23x1=lim=lim=1.3sin2xd+32xtanx4 .求lim.tan3x271OO解：此題為X時(shí)的“一型未定式,由洛必達(dá)法那么可得28sec2x-c

24、os23x_2cos3x-(-sin3x)-3原式二lim；=lim-=lim工杉3seer3xY3cos-x工杉6cosx(-sinx)cos3x-3sin3x=lim=lim=3.Y-cosx,r->-sinx22一tanx-x5 .求lim-.3廠tanx解：該極限為xfo時(shí)的“9型未定式,結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小的替換,運(yùn)用洛必達(dá)法那么可得0tanx-xrsec2x-1-2sec2xtanx2x1原式二lim；=lim；=lim=lim=-.工/03廠,306x-6x3說(shuō)明：此題也可這樣求解運(yùn)用公式sec?x=+tan2x和等價(jià)無(wú)窮小替換來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算:9A79-tanx-xrsecx-1ta

25、n-x一廠1原式=lim：=lim；=lim-=lim-7=一.10%353廠工3r36 .求limdsinxx八11解：該極限為X.時(shí)的“8S型未定式,解決方法為先化為“一一一型,然后000通分化為“一型,故0一x-sinxx-sinx-1-cosx一sinx八原式=hm=lim；=lim=lim=0.1°xsinxio尸d2x27 .求limxA.解：該極限為x-0+時(shí)的“0°型未定式,解決方法為取對(duì)數(shù)化為“0-In0型,進(jìn)0而化為“一,型,故0limxlnxlim-x->o+-Llim(-x)原式=lime"n'=63°-=e'

26、;i+'=e=ex=e)=1.K)+一x+cosx8 .求limY.1-sinx八.、解：原式=hm=hm(lsinx),最后的極限不存在,不滿足洛必達(dá)法那么的Af8X-»XcosXCOSX條件,實(shí)際上,原式=lim(l+)=l+lim=1+0=1.工8Y.28V【例36】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1. f(x)=2x3-9x2+l2x-3.解：因fx)=6x2-18x+12=6(-1)(-2),令f'(x)=0,得x=l,x2=2.用X1,占將函數(shù)的定義域(8,+8)分成三個(gè)區(qū)間(一8),(1,2),(2,+00),其討論結(jié)果如下表所示：X(一°0/)(1,2

27、)(2,一)廣.)+fM/X/由上表可得,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1和2,+00),單調(diào)遞減區(qū)間為1,2.2. f(x)=y.2解：函數(shù)的定義域?yàn)?8,+s),/'(x)二尸(XWO),當(dāng)X=O時(shí)導(dǎo)數(shù)不存3.x在.將函數(shù)定義域分成兩個(gè)區(qū)間(一8,0)和(0,+8),討論結(jié)果如下表所示：Xy,o)(.,+8)十fMX/所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0.【例3-7】利用函數(shù)的單調(diào)性證實(shí)不等式.1 .試證當(dāng)x>0時(shí),x>ln(l+x)成立.1x證實(shí)：設(shè)/(x)=xIn(l+x),那么/V)=l=,1+xl+x因f(x)在區(qū)間0,+oo)上連續(xù),在(

28、0,+8)內(nèi)可導(dǎo),且尸(x)>0,故/(X)在區(qū)間0,+8)上單調(diào)增加,又由于/(0)=0,所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)>o,即x-ln(l+x)>0,也即xln(l+x)成立.2 .試證當(dāng)x>l時(shí),2y>3-LX證實(shí)：令f(X)=2.yx(3)»貝ljf(X)=7=三(XyfV),XJx廠廠因/(x)在區(qū)間1,+8)上連續(xù),在(1,+8)內(nèi)可導(dǎo)且/'(X)>0,故/(X)在區(qū)間1,+S)上單調(diào)增加,令f'(x)=O,得駐點(diǎn)x=l,當(dāng)x=0時(shí)/")不存在,駐點(diǎn)x=l以及不可導(dǎo)點(diǎn)x=0將定義域分成三個(gè)區(qū)間,列表討論如下：X

29、SO)0(0,1)1(L+8)/V)+不存在+/(A)/極大值極小值/由上表可得,函數(shù)的極大值為/(0)=0,極小值為/(1)=-1.【例3-10求函數(shù)/(x)=2/+3,V2-12x4-14在區(qū)間3,4上的最值.解：由于fx)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-l),令;(x)=0,得玉=一2,工2=1,計(jì)算/(-3)=23,/(-2)=34,/=7,4)=142.比擬上述結(jié)果可知,最大值為7(4)=142,最小值為/(I)=7.【例3-11】求以下曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).1 ./(x)=3x4-4丁+1.解：函數(shù)的定義域?yàn)?8,+8),且有2/“(X)=12/-12/,fx)=36x(x

30、-二),2令/"(x)=0,得X=0,x?=,列表討論如下:X(-oo,0)0(0,|)232(-,+oo)/"(幻+00+/X凹對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)凸對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)凹22由上表可得,曲線/X的凹區(qū)間為-8,0和二,y,凸區(qū)間為0,拐點(diǎn)為330,1.3272 .于X=亞.12-解：函數(shù)的定義域?yàn)?s,+oo,當(dāng)XW.時(shí)有了'x=-X3,fx=一一X39當(dāng)X=.時(shí),/'R和/"X均不存在,但在區(qū)間一8,0內(nèi),/X0,故曲線在一8,0上是凹的；在區(qū)間0,+8內(nèi),/幻0,故曲線在0,+8上是凸的.所以曲線的凹區(qū)間為-8,0,凸區(qū)間為0,+8,拐點(diǎn)為0,0.【歷年真題】一、

31、選擇題1 .2021年,1分假設(shè)函數(shù)y=/x滿足/'/=0,那么x=/必為/x的A極大值點(diǎn)B極小值點(diǎn)C駐點(diǎn)D拐點(diǎn)解：假設(shè)rXo=O,那么x=/必為/X的駐點(diǎn),選C.2 .2021年,1分當(dāng)x0時(shí),曲線?=xsinXA沒(méi)有水平漸近線B僅有水平漸近線C僅有鉛直漸近線D既有水平漸近線,又有鉛直漸近線.11sin解：由limxsin=lim一井=1可知,y=1為曲線的水平漸近線："T8XXTBIXlimxsin-=0,故曲線無(wú)鉛直漸近線.選項(xiàng)B正確.x3. 2021年,3分函數(shù)/x=InX在區(qū)間1,2上滿足拉格朗日公式中的J等于AIn2BIniCIneD-In2解：對(duì)函數(shù)/O=Inx

32、在區(qū)間1,2上應(yīng)用拉格朗日中值定理,21=1021,即ln2-0=i,故.選D.gIn24. 2007年,3分曲線y=-3不上切線平行于x軸的點(diǎn)為A-1,-4B2,2C0,0D1,-2解：切線平行于x軸的點(diǎn)即為一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn).由了=3123=0可得,x=±ix=l時(shí),y=-2,工=-1時(shí),y=2,故曲線y3工上切線平行于x軸的點(diǎn)為1,-2和一1,2.選項(xiàng)D正確.5. 2007年,3分假設(shè)在區(qū)間,內(nèi),導(dǎo)數(shù)f'xo,二階導(dǎo)數(shù)/"X0,那么函數(shù)/X在該區(qū)間內(nèi)A單調(diào)增加,曲線為凸的B單調(diào)增加,曲線為凹的C單調(diào)減少,曲線為凸的D單調(diào)減少,曲線為凹的解：/.0可得/X單調(diào)增

33、加,/*0可得曲線為凸的,應(yīng)選A.二、填空題1. (2021年,2分)函數(shù)/(工)=2*3912+12工的單調(diào)減區(qū)間是.解：令/'*)=6犬-18x+12=6(x-l)(x-2)=O,得駐點(diǎn)x=l和x=2；當(dāng)xi時(shí),r*)o,當(dāng)1工2時(shí),r(x)o,當(dāng)工2時(shí),r(x)o,故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為1,2.兀兀“、sinx2. (2021年,2分)當(dāng)一X一時(shí),/(x)=是函數(shù)(填“單調(diào)遞增、62x“單調(diào)遞減.4,乃sinzjsin個(gè)兀、C/兀、63.兀、£/兀、7,解：當(dāng)工=一時(shí),f()=:當(dāng)工=一時(shí),f(一)=一:故663乃2'2/)62兀?！?、sinx當(dāng)一x«

34、一時(shí),f(x)=是單調(diào)遞減函數(shù).62x3. (2021年,2分)函數(shù)/0)=2/一9+12X+1在區(qū)間0,2上的最大值點(diǎn)是.解：令/'(x)=6x?-18x+12=6(x-l)(x-2)=0,得駐點(diǎn)x=l和x=2.比較函數(shù)值/(1)=6,f(2)=5,/(0)=1,可知,函數(shù)的最大值為/(1)=6,故函數(shù)的最大值點(diǎn)為x=l.x=t24. (2007年,4分)曲線在,=1處的切線方程為.v'4解：將1=1代入?yún)?shù)方程可得切點(diǎn)為(1,4),切線斜率攵=工|,=Li=2,故X；2t切線方程為y-4=2(x-l),即y=2x+2.5. (2005年,3分)y=的凸區(qū)間是.解：y=(xe

35、x)'="X-x/x=(1-x)ex.yn=-ex-(1-x)ex=(x-2)ex.令),二(工一2)6一'=.可得,x=2,且當(dāng)x>2時(shí),y>0,當(dāng)x<2時(shí),y<0,故函數(shù)y二16一'的凸區(qū)間是(一00,2.6. (2005年,3分)曲線),=X、通過(guò)(1,1)點(diǎn)的切線方程為.解：因y'=(f)'=®ig),=/mx,(nx+l)=x'(lnx+l),故切線斜率k=xv(Inx+l)j|A=1=1,所以切線方程為y-l=l(x1),即y=x.三、應(yīng)用題或綜合題1. (201.年,io分)現(xiàn)有邊長(zhǎng)為96

36、厘米的正方形紙板,將其四角各剪去一個(gè)大小相同的小正方形,折做成無(wú)蓋紙箱,問(wèn)剪區(qū)的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)做成的無(wú)蓋紙箱容積最大？解：設(shè)剪區(qū)的小正方形邊長(zhǎng)為X,那么紙盒的容積y=x(962x)2,0<x<48.y'=(96-+x.2(96_2x)(2)=(96-2x)(966x),令y'=0,可得x=16(x=48舍去).因只有唯一的駐點(diǎn),且原題中容枳最大的無(wú)蓋紙箱一定存在,故當(dāng)剪區(qū)的小正方形邊長(zhǎng)為16厘米時(shí),做成的無(wú)蓋紙箱容積最大.2. (2021年,10分)設(shè)函數(shù),f(x)在0,1上連續(xù),并且對(duì)于0,1上的任意x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/(X)均為o«/(x)

37、1;l,證實(shí)：在0上至少存在一點(diǎn)使得了(?)=§.解：令廠(工)=/")一工,由于在0,1上連續(xù),故尸(王)在0,1上也連續(xù).F(0)=/(0)-0=/(0),尸(1)=/(1)1.而對(duì)V人弋0,1,故廠(0)20,F(l)<0.假設(shè)尸(0)=0,即/(0)0=0,/(0)=0,那么4=0；假設(shè)/1=0,即/11=0,/i=i,那么g=i：當(dāng)/(O)wO,尸(1).0時(shí),F(0)-F(l)<0,而/(工)在0,1上連續(xù),故根據(jù)零點(diǎn)定理可得,至少存在一點(diǎn)會(huì)(0,1),使得尸/)=0,即/©)4=0,/©)=4.綜上,在0上至少存在一點(diǎn)自,使得/

38、c)=q.3. (2021年,10分)某工廠需要圍建一個(gè)面積為512"/的矩形堆料場(chǎng),一邊可以利用原有的增壁,其他三邊需要砌新的墻壁.問(wèn)堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí),才能使砌墻所用的材料最省？512.512解：設(shè)堆料場(chǎng)的寬為xm,那么長(zhǎng)為m.設(shè)砌墻周長(zhǎng)為y,那么y=2x+,XX51?令y'=2二；=0,得x2=256,x=16(x=16舍去).因只有一個(gè)駐點(diǎn),廠且原題中最值一定存在,故當(dāng)x=16時(shí),函數(shù)有最小值.即當(dāng)寬為16加,長(zhǎng)為32利時(shí),才能使砌墻所用的材料最省.4. (2021年,io分)當(dāng)x>0,0<4<1時(shí),x0-ax<-a.解：原不等式即為-a

39、x+a-l<0.設(shè)/(x)=x"-ax+a-l,那么(1)當(dāng)x=l時(shí),/'(x)=1一.+41=0,即x"一.1+.-1=0成立；(2)當(dāng)0cx<1時(shí),fx)=uxal-t/=6/(-1)>0,故/(X)單調(diào)增加,X可得/(x)</(l)=0,即X"一.工+.一1<0成立：(3)當(dāng)天>1時(shí),f,(x)=axa-a=a(-l)<0,故/(x)單調(diào)減少,可得入/(X)</(1)=O,即0¥+41V.成立.綜上,當(dāng)x>0,0<.<1時(shí),不等式；1“一.工+.一1«0成立,即工&

40、quot;-ax<-a.5. (2021年,8分)求函數(shù)),=3工2/的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).解：函數(shù)的定義域?yàn)?一>,+8).先求單調(diào)區(qū)間和極值.令y'=6x3x2=3x2x=0,得駐點(diǎn)x=0,x=2,用駐點(diǎn)將整個(gè)定義域分為三個(gè)區(qū)間一8,0,0,2,2,+s.當(dāng)xe8,0時(shí),丁'<0,函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)xe0,2時(shí),y'>0,函數(shù)單調(diào)增加：當(dāng)xe2,+8時(shí),y'<0,函數(shù)單調(diào)減少.故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為0,2,單調(diào)減少區(qū)間為-8,0和2,+8：極小值0=0,極大值2=4.再求凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).令y=66x=0,得x=l.當(dāng)X£8,l時(shí),y">0,函數(shù)為凹的：當(dāng)工七1,+8時(shí),<0,函數(shù)為凸的,且當(dāng)x=l時(shí),y=2,故函數(shù)的凹區(qū)間為-8,1,凸區(qū)間為1,+8,拐點(diǎn)為1,2.16. 2007年,8分求函數(shù)y=X+的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).X+1解：函數(shù)的定義域?yàn)橐磺?一1Ul,+s先求單調(diào)區(qū)間和極值.令y'=11(X+1)2x(x+2)(工+1)2=0,得駐點(diǎn)工=-2,x=0.用駐點(diǎn)將整個(gè)定義域分為三個(gè)區(qū)間一8,2,-2,-1,1,0,0,+s