概率論與數理統(tǒng)計總復習1講

1、 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計總復習總復習1 1講講主講教師：楊勇主講教師：楊勇佛山科學技術學院數學系佛山科學技術學院數學系1. 1. 學會使用簡單事件表示復雜事件學會使用簡單事件表示復雜事件第一章第一章例如：設例如：設A A，B B，C C 為三個事件，用它們表示下為三個事件，用它們表示下列事件：列事件：（1 1） A A，B B，C C 中至少有一個發(fā)生；中至少有一個發(fā)生； A AB B C C（2 2） A A，B B，C C 同時發(fā)生；同時發(fā)生； ABCABC（3 3） A A不發(fā)生；不發(fā)生；A2. 2. 常用公式常用公式(1) ABABABAB，；(2), .ABABAABABP

2、 P( ( )= )= P P( (A- -B)=)=P P( (A) )P P( (AB) )AB()1()1()P ABP ABP AB ( )()()()P AP ABABP ABP AB()1()1()P ABCP ABCP ABC )()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP (3)()( )( )()P ABP AP BP AB（4）加法公式）加法公式()( )( ),P ABP AP BAB其中 ， 互斥.若若P(B)0, 則則 P(AB)=P(B)P(A|B)；若若 P(A)0，則，則P(AB)=P(A)P(B|A

3、) ；（5）乘法公式）乘法公式（6）條件概率）條件概率 設設A、B是兩個事件。是兩個事件。若若P(B)0，則，則()(|).( )P ABP A BP B若若P(A)0，則，則()(|).( )P ABP B AP A（7）獨立性）獨立性,A B相互獨立相互獨立()( ) ( )P ABP A P B(|)( )P A BP A(|)( )P B AP B或或1,( )0.3,()0.6,().A BP BP ABP AB例 設為兩事件，且設求解：()P AB()()P AP AB()P AB()()()()P ABP AP BP AB因為()()()()0.3P AP ABP ABP B所以

4、2()0.2,()0.1,()0.9,().PAPA BPABPAB例 設求解：()()()()()()()()()()()()()0.9P ABP AP BP ABP AP BP B AP AP BP BP ABP AP AB例例3： 從一副不含大小王的撲克牌中任取一從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記張，記 A= 抽到抽到K , B=抽到黑色的牌抽到黑色的牌。故故, P(AB) = P(A)P(B). 解：解：由于由于 P(A) = 4/52 = 1/13, 這說明事件這說明事件A, B獨立。獨立。問事件問事件A, B是否獨立？是否獨立？P(AB) = 2/52 = 1/26。P(B)

5、= 26/52 = 1/2，例例4: 三人獨立地去破譯一份密碼三人獨立地去破譯一份密碼, 已知每個人已知每個人能譯出的概率分別為能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。問三人中。問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解：解：將三人分別編號為將三人分別編號為1, 2, 3，故，所求為故，所求為 P(A1A2A3)。記記 Ai = 第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 ， i=1, 2, 3。已知已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，且，且P(A1A2A3)(121nAAAP)(1321AAAP)()()(1321APAP

6、AP. 6 . 0)4/3() 3/2()5/4(1A1，A2，A3相互獨立，相互獨立，例例5 5：8 8支步槍中有支步槍中有5 5支已校準過支已校準過,3,3支未校準。支未校準。一名射手用校準過的槍射擊時，中靶概率為一名射手用校準過的槍射擊時，中靶概率為0.8；用未校準的槍射擊時，中靶概率為；用未校準的槍射擊時，中靶概率為0.3?，F從現從8 8支槍中任取一支用于射擊，結果中靶。支槍中任取一支用于射擊，結果中靶。 求：所用的槍是校準過的概率。求：所用的槍是校準過的概率。解：解：設設 A=射擊時中靶射擊時中靶 ，B1 1=槍校準過槍校準過, , B2 2=槍未校準槍未校準 ，則則 B1 1, ,

7、B2 2 是是一個劃分，得一個劃分，得112()()()P B AP ABP AB4940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/5(8 . 0111122( |) ()( |) ()( |) ()P A B P BP A B P BP A B P B11()(|)( )P B AP BAP A例例6 6：一批同型號的螺釘由編號為一批同型號的螺釘由編號為I,II,IIII,II,III的的三臺機器共同生產。各臺機器生產的螺釘占三臺機器共同生產。各臺機器生產的螺釘占這批螺釘的比例分別為這批螺釘的比例分別為35%,40%, 25%35%,40%, 25%。各臺。各臺機器生產的螺釘的次品

8、率分別為機器生產的螺釘的次品率分別為3%, 2%3%, 2%和和1%1%?，F從該批螺釘中抽到一顆次品。求現從該批螺釘中抽到一顆次品。求: :這顆螺釘這顆螺釘由由I, II, IIII, II, III號機器生產的概率各為多少號機器生產的概率各為多少? ?解：解：設設 A=螺釘是次品螺釘是次品, B1 1=螺釘由螺釘由I I號機器生產號機器生產, , B2 2=螺釘由螺釘由IIII號機器生產號機器生產, B3 3=螺釘由螺釘由IIIIII號機器生產號機器生產 。則則則則 B B1 1,B,B2 2,B,B3 3是是一個劃分，得一個劃分，得1111()( |) ()(|)( )( )P B AP

9、A B P BP BAP AP A0.35 0.030.5 .0.35 0.03 0.40 0.02 0.25 0.01. 425)|( 218)|(32ABPABP，P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。123112233( )()() ( |)() ( |)() ( |)P AP ABABABP B P A BP B P A BP B P A B解：解：記記A=將信息將信息X傳送出去傳送出去， B=接收到信接收到信息息X。則。則例例7： 將兩信息分別編碼為將兩信息分別編碼為X和和Y后

10、傳送出去，后傳送出去，接收站接收時，接收站接收時， X被誤收作被誤收作Y的概率為的概率為0.02，而，而Y被誤收作被誤收作X的概率為的概率為0.01。信息信息X與信息與信息Y傳送的傳送的頻率程度之比為頻率程度之比為2：1。若接收站收到的信息是。若接收站收到的信息是X,問原發(fā)信息也問原發(fā)信息也X是的概率是多少？是的概率是多少？.BY 接收到信息,AY將 信 息傳 送 出 去21()()(|)0.0233(|)0.01P AP AP BAP BA，并且并且 ()()(|)()()(|)()(|)()(|)()P ABP ABP A BP BP ABABP BA P AP BA P AP BA P

11、A 由貝葉斯公式有由貝葉斯公式有 (|)0.02P BA 210.02)32110.02)0.0133196.197（ （ 第二章第二章1. 常見概率分布常見概率分布(1)（01）分布（兩點分布）分布（兩點分布）,記成記成 Xb(1, p)。即隨機變量即隨機變量X具有概率分布具有概率分布P(X=1 ) = p , P(X=0) = 1- -p .E(X)= p , D(X) = p(1- -p) . , , 1 , 0 ,)1 ()(nkppCkXPknkkn(2)(2)二項分布二項分布, 記成記成 X b(n, p)。 即隨機變量即隨機變量X具有概率分布具有概率分布E(X)= np , D(

12、X) = np(1- -p) .即隨機變量即隨機變量X具有概率分布具有概率分布, 0, 1, 2, .!kP Xkekk( ).X (3)泊松分布,記作();().E XD X(4) 均勻分布，記作：均勻分布，記作： X U（a, b）1, ,( )0, .axbf xba其他即隨機變量即隨機變量X具有概率密度函數具有概率密度函數2()();().212abbaE XD X即隨機變量即隨機變量X具有概率密度函數具有概率密度函數211();().E XD X0)( . 0 , 0 , 0 , )(xxexfx(5) 指數分布，記成指數分布，記成 X E()。22()21( ),2xf xex (

13、6) 正態(tài)分布正態(tài)分布, ),(2NX記作記作 即隨機變量即隨機變量X具有概率密度函數具有概率密度函數2();().E XD X2/21( ) 2xxex，(7) 標準正態(tài)分布，記為標準正態(tài)分布，記為X N(0, 1)即隨機變量即隨機變量X具有概率密度函數具有概率密度函數2/21( )d .2xtxet或隨機變量或隨機變量X具有分布函數具有分布函數()0;()1.E XD X定義定義1: 設設 X是一個隨機變量，稱函數是一個隨機變量，稱函數 F (x) = PXx, - - x 0 時時,)()(yYPyFY)(2yXP. )()(yFyFXX例例5：設設 X 具有概率密度具有概率密度fX(x

14、)，求，求Y=X2的密度。的密度。解：解：設設Y 和和X的分布函數分別為的分布函數分別為FY(y)和和FX(x), 注意到注意到 Y=X2 0，故當，故當 y0時，時，FY(y)=0；則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：121, 116,( )6 0, .Yyfyy其他. 0 , 0 , 0 , )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY若若X U（1, 4）,即即1, 14,( )30, .Xxfx其他例例6：設隨機變量設隨機變量X在在 (0,1) 上服從均勻分布，上服從均勻分布，求求 Y=- -2ln X 的概率密度。的概率密度。解：解：在區(qū)間在區(qū)間 (0, 1) 上

15、，函數上，函數 ln x 0, ，02xy于是于是 y = - -2ln x 在區(qū)間在區(qū)間 (0,1) 上單調下降，上單調下降，有反函數有反函數.)(2/yeyhx由前述定理，得由前述定理，得., 0, 10,)()()(2/2/2/其他yyyXYedyedefyf注意取注意取絕對值絕對值., 0, 10,)()()(2/2/2/其他yyyXYedyedefyf., 0, 10, 1)(其他xxfX已知已知 X 在在 (0,1) 上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達式中的表達式中)(yfY . , 0 , 0,21)(2/其他yeyfyY得得即即Y 服從參數為服從參數為1/2的指數

16、分布。的指數分布。1. 1. 二維離散型隨機向量的聯合分布函數二維離散型隨機向量的聯合分布函數設二維離散型隨機向量設二維離散型隨機向量 (X, Y) 的聯合分布律為的聯合分布律為 pij， i=1, 2, , j=1, 2, .于是于是, (X, Y) 的聯合分布函數為的聯合分布函數為yyxxjijiyYxXPyYxXPyxF , , ,),(第三章第三章概率密度概率密度 設二維隨機向量設二維隨機向量( (X, Y) )的聯合分布函數為的聯合分布函數為F(x, y) )，如果存在一個非負函數，如果存在一個非負函數f( (x, ,y),),使得使得對任意實數對任意實數 x, ,y, , 有有則稱

17、則稱( (X, ,Y) )為二維連續(xù)型隨機向量為二維連續(xù)型隨機向量, ,f( (x, ,y) )為為(X,Y)的的概率密度函數概率密度函數, , 簡稱概率密度。簡稱概率密度。. ., ),(),(yxdudvvufyxF2. 二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量則則 X 的邊緣概率分布為的邊緣概率分布為, 2 , 1,)(ipxXPpjijii., 2 , 1,)(jpyYPpiijjjY 的邊緣概率分布為的邊緣概率分布為 設設(X, Y ) 是二維離散型隨機向量，聯合是二維離散型隨機向量，聯合概率分布為概率分布為, 2 , 1, ),(jiyYxXPpjiij3 3 二維離散型隨機向量的邊緣

18、分布二維離散型隨機向量的邊緣分布4 連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度 若若 (X, Y) 的聯合概率密度為的聯合概率密度為 f (x, y)，則，則X的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為Y 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為( )( , ) ,Xfxf x y dy( )( , ) .Yfyf x y dx5 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性設設 X, Y是兩個隨機變量是兩個隨機變量, 對任意的對任意的 x, y, 若若, )( )() ,(yYPxXPyYxXP則稱則稱 X與與Y 相互獨立。用聯合分布函數與邊緣相互獨立。用聯合分布函數與邊緣分布函數表示上式分布函數表示上式,

19、 就是就是. )( )(),(yFxFyxFYX),(yxf其中其中是是(X,Y)的聯合密度，的聯合密度， 若若 (X,Y) 是連續(xù)型隨機向量是連續(xù)型隨機向量 ，上述獨立性，上述獨立性定義等價于：對任意定義等價于：對任意 x, y R, 有有)( )(yfxfYX與分別是分別是X的邊緣密度和的邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 。 )()(),(yfxfyxfYX幾乎總成立幾乎總成立, 則稱則稱X與與Y相互獨立相互獨立 。 若若 (X,Y)是離散型隨機變量，則上述獨立性是離散型隨機變量，則上述獨立性定義等價于：對定義等價于：對(X,Y) 所有可能取值所有可能取值 (xi , yj), 有有)( )() ,(jijiyYPxXPyYxXP成立，則稱成立，則稱 X與與Y 相互獨立。相互獨立。例例1：設設(X, Y)的概率密度為的概率密度為.,0,0 , 10),2( ),(其他xyxxcyyxf求求 (1). c的值的值; (2). 邊緣密度。邊緣密度。= 5c/24=1,c = 24/5;dxdyxcyx )2(