利用線段中點(diǎn)

1、利用線段中點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：綜合運(yùn)用中點(diǎn)問題的處理方法，靈活地解決問題. 過程與方法：通過一題多解，發(fā)散學(xué)生的思維. 情感態(tài)度與價(jià)值觀：滲透數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一美;培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.教學(xué)重難點(diǎn)：通過一題多解, 培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解決綜合問題的能力.教學(xué)用具：直尺，三角板，投影儀.教學(xué)過程： （一）引入：上兩節(jié)課我們研究了中點(diǎn)問題的一般方法.接下來,我們研究如何靈活地利用中點(diǎn)用多種方法構(gòu)造中心對稱圖形或多角度構(gòu)造中位線來解決問題.（二）例題：圖1例1如圖1，在ABC中，D是AB的中點(diǎn)， ,tanBCD=,求A的正切值.設(shè)計(jì)思想：本題首先是要鞏固上兩節(jié)課中點(diǎn)問題的一般方法，然后學(xué)會靈活

2、地利用中點(diǎn)用多種方法構(gòu)造中心對稱圖形或多角度構(gòu)造中位線來解決問題.圖2本題由于要為tanBCD的利用創(chuàng)造直角，由于平行線有移角的功能，考慮到D是AB的中點(diǎn)，因此可以利用中位線或構(gòu)造中心對稱圖形，把BCD移到直角三角形中，或把直角移到BCD所在的三角形中來.方法一：如圖2，延長CD至F，使DF=CD，連結(jié)BF，易證：ACDBFD中，在RtCBF中，tanBCD= =,設(shè)BF=2x，則CF=6x,圖3則：CD=3x,AC=BF=2x.得tanA=. 方法二：如圖3，取B的中點(diǎn)，連結(jié).得：CDE=ACD=90°.在RtC中，tanBCD=,設(shè)=x，則C=x,AC=2x, tanA= =圖4

3、方法三：如圖4,，取A的中點(diǎn)G，連結(jié)G.圖5方法四：如圖5,延長AC至N，使AC=CN，連結(jié)BN.圖6方法五：如圖6, 延長BC至I，使BC=CI，連結(jié)AI.圖1例2已知：如圖1，ABC中，AB=AC，在AB上取點(diǎn)D，在AC延長線上取點(diǎn)E，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，若F是DE中點(diǎn)，求證：BD=CE設(shè)計(jì)思想：學(xué)會靈活地利用中點(diǎn)用多種方法構(gòu)造中心對稱圖形或多角度構(gòu)造中位線來解決問題.分析：要證的BD，CE不在同一個三角形中，而它們所在的三角形又不是同類三角形，無法證明它們?nèi)?，由于F是DE的中點(diǎn)，想到利用中點(diǎn)構(gòu)造中心對稱圖形或中位線來移動BD或CE的位置，把它們集中到同一個三角形中或把不同類三角形轉(zhuǎn)化

4、為同類三角形，使問題得以解決.圖2方法一：如圖2，過D作DM/CE交BC于M， 易證DMFECF,再證：BD=DM.圖3方法二:如圖3 , 過E作EG/AB交BC的延長線于G. 易證BDFGEF,再證：EC=EG.圖4方法三：如圖4,在AC取點(diǎn)H,使CH=CE,連結(jié)DH .則CF為EDH的中位線.再證BD=CH.圖5方法四: 如圖5,在AB的延長線上取點(diǎn)N,使BN=BD,連結(jié)NE.則FB為DNE的中位線. 再證BN=CE.圖6方法五: 如圖6, 連結(jié)BE,取BE的中點(diǎn)K，取BC的中點(diǎn)M ,連結(jié)MK,KF.則MK,KF分別為中位線. 再證KM=KF,得BD=CE.圖7方法六: 如圖7, 連結(jié)CD

5、,取CD的中點(diǎn)H，取BC的中點(diǎn)I,連結(jié)HI,HF.則HI,HF分別為中位線. 再證HI=HF,得BD=CE.（三）練習(xí)：1.已知如圖1，ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長交AC于點(diǎn)F. 求證：FC=2AF . 圖1圖12.如圖1所示，已知D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且ABCE，求證：12.3. 如圖1，ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，BEAC于點(diǎn)E，若 ，圖14. , 求證：.圖14如圖1，在四邊形ABCD中，AB=CD， E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H. 求證：BGE=CHE. 練習(xí)答案:(每題都有多種解法,請仿照例題進(jìn)行解答)

6、1. 提示：證法一（其余方法略）：如圖1，過點(diǎn)D做DGBF，交AC 于G 圖1 D是BC邊的中點(diǎn),DGBF . FG=GC . 同理，AF=FG ,2AF=2FG=FG+GC=FC . 即 FC=2AF. 圖12. 提示：證法一：如圖1，延長ED到F,使DF=AD，連結(jié)CF.易證ABDFCD.AB=CF ,1F.AB=CE,CE=CFF2,.12.圖2 (證法二：如圖2，取AC的中點(diǎn)G,取AE的中點(diǎn)H,連結(jié)DG.GH,利用中位線來證明.) （其余方法略）圖13.提示：證法一：如圖1，取CE的中點(diǎn)G, 連結(jié)DG，所以，DG為中位線，得DGBE, 由得AGD=90°,在ADG中，得DG=

7、AD,于是AD=BE.圖2（證法二：如圖2，取BE的中點(diǎn)M, 連結(jié)DM，類似法一可證AD=BE. （其余方法略） 4提示：證法一：如圖1：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，則 ME是BCD的中位線， MECD， MEF=CHE， 由MF是ABD的中位線， MFAB， MFE=BGE， AB=CD， ME=MF， MEF=MFE， 從而BGE=CHE.（證法二：如圖2，延長GE到K,使EK=EH，連結(jié)BK.略. 或者延長GE到K,使EK=GE，連結(jié)CK也行. （其余方法略）圖2圖1（四）總結(jié)：通過這兩道例題和習(xí)題，使學(xué)生熟練地掌握中點(diǎn)問題的一般方法，并在此基礎(chǔ)上靈活地進(jìn)行一題多解，提高他們的解題能力.習(xí)題中的每道題都有多種方法,希望同學(xué)們能仿照例題逐一進(jìn)行嘗試,逐漸形成一種解題能力.1. 如圖，在ABC中，D是AB的中點(diǎn)， ,tanBCD=,求A的正切值.2. 已知：如圖，ABC中，AB=AC，在AB上取點(diǎn)D，在AC延長線上取點(diǎn)E，連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F，若F是DE中點(diǎn)，求證：BD=CE練習(xí)（三）姓名： 日期： 指導(dǎo)教師： 成績： 1.已知如圖1，ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD邊的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長交AC于點(diǎn)F. 求證：FC=2AF . 圖1圖12.如圖1所示，已知D為BC中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且A