數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的應用

1、數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的應用    數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的應用摘要：文章詳盡闡述了數(shù)學歸納法在高中數(shù)學中的一些相關(guān)應用，通過對它基本形式的學習和理解，對數(shù)學歸納法在解決和正整數(shù)相關(guān)的類型題中的作用做出肯定。對與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、整除性問題和幾何問題等，用相應的實例進行解析說明在各類型中數(shù)學歸納法的具     摘要：文章詳盡闡述了數(shù)學歸納法在高中數(shù)學中的一些相關(guān)應用，通過對它基本形式的學習和理解，對數(shù)學歸納法在解決和正整數(shù)相關(guān)的類型題中的作用做出肯定。對與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、整除性問題和幾何問題等

2、，用相應的實例進行解析說明在各類型中數(shù)學歸納法的具體應用。在很多時候?qū)W生的錯誤就是在于不能真正理解數(shù)學歸納法和存在的一些數(shù)學歸納法應用的思維定勢。我們應該去除學生在學習歸納法時的這些弊端，充分了解它的好處和局限，更好的去應用它來幫助我們解決相應的問題。關(guān)鍵詞：歸納法；應用數(shù)學；教學中圖分類號：FG633.6 文獻標志碼： 文章編號：（11）1430402數(shù)學歸納法是高中數(shù)學中一種常用的論證方法，它雖然有一定的局限性，只適用和正整數(shù)有關(guān)的命題，但它在中學數(shù)學中的作用是不可或缺的。因此，它不僅是高考數(shù)學的一個考點，也是一個難點。在看似簡單易懂，形式固定的外表下，它卻使得很多學生不能真正掌握，難以理

3、解其實質(zhì)。有些同學僅僅只是生硬的記憶和牽強的套用，沒有真正體會到數(shù)學歸納法的核心思想。我們應該怎樣理解數(shù)學歸納法，在高中數(shù)學中又有哪些方面的應用？在哪些類型題上使用可以更加方便？數(shù)學歸納法又有哪些局限性？我們應該怎樣具體問題具體分析，更好的學習和利用數(shù)學歸納法呢？ 在本文中通過對數(shù)學歸納法基本形式理解的基礎(chǔ)上，進一步論述了在解決很多和自然數(shù)函數(shù)有關(guān)的整式、不等式、整除和幾何等問題時數(shù)學歸納法的應用。當然數(shù)學歸納法，在很多時候也會使解題變的復雜繁瑣，因此我們要理解其實質(zhì)，真正掌握正確運用數(shù)學歸納法的能力。數(shù)學歸納法的基本形式：（1）驗證當n取第一個值時，命題正確：（2）假設(shè)nk時命題正確，證明n

4、k+1時命題也正確：（3）根據(jù)（1） （2）斷定命題對于全體自然數(shù)都正確。例1： 證明n+（n+1）+（n+2）+（3n-2）（2n-1）2（nN*）證明：（1）當n1時，左邊1右邊，等式顯然成立。（2）假設(shè)nk時等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+（3k-2）（2k-1）2那么，當nk+1時，有（k+1）+（k+2）+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）k+（k+1）+（k+2）+（3k+2）（2k-1）2+8k（2k+1）22（k+1）-12即當nk+1時，等式也成立。故對于任意正整數(shù)n等式都成立。通過數(shù)學歸納法基本形式和例題可以看出其原理就是遞推思想，其中（1）是遞推的基礎(chǔ)

5、，沒有它歸納假設(shè)就失去了依據(jù)，后面遞推就沒有了奠基。（2）是遞推的依據(jù)是數(shù)學歸納法證明最根本的一步，是整個數(shù)學歸納法證明的核心，只有通過它無限次遞推成為可能，人們的認識才達到了質(zhì)的飛越通過有限認識無限，所以數(shù)學歸納法的兩個步驟缺一不可。 數(shù)學歸納證題的兩個步驟雖然都很重要，但在證題時第一步較易，第二步較難。學生往往感到很困難，絞盡腦汁都難以完成這一步，到底我們應該怎樣轉(zhuǎn)化，不同的問題我們又應該怎樣去解決？下面我們來探討一下數(shù)學歸納法在中學數(shù)學中的應用。一、應用數(shù)學歸納法證明恒等式應用數(shù)學歸納法證明的恒等式，包括與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、組合數(shù)公式及其恒等式等，證明過程中只要實現(xiàn)等式

6、左右兩邊相等即可。例1：用數(shù)學歸納法證明： n+（n+1）+（n+2）+（3n-2）（2n-1）2（nN*）證明：（1）當n1時，左邊1（2×1-1）2右邊，等式成立。（2）假設(shè)nk時，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+（3k-2）（2k-1）2那么，當nk+1時有（k+1）+（k+2）+（3k-2）+（3k-1）+3k+（3k+1）k+（k+1）+（k+2）+（3k+2）+8k（2k-1）2+8k4k2+4k+1（2k+1）22（k+1）-12即當nk+1時，等式也成立，故對于任意正整數(shù)n，等式都成立。二、應用數(shù)學歸納法證明不等式應用數(shù)學歸納法證明不等式，分為嚴格不等式和非嚴

7、格不等式兩種，嚴格不等式的證明，只要保證原不等式中的“”或“”成立即可。對于非嚴格不等式而言，情況略顯復雜。 < 例2：已知x1，x2，x3，xn都是正數(shù)，試證：+x1，x2，x3，xn證明：（1）當n1時，因為x1，所以原不等式成立（取等號）（2）假設(shè)當nk時原不等式成立，即+x1，x2，x3，xk那么，當nk+1時，不等式的左邊+（+）-+x1+x2+x3+xk+（*）顯然，只要證明+xk-1原不等式即可得證。但此式難以直接證明，經(jīng)仔細觀察發(fā)現(xiàn)，原不等式關(guān)于變量x1，x2，x3，xn是輪換對稱的，于是不妨設(shè)xk-1maxx1，x2，x3，xk，xk-1，則xk-12-xk20。+xk

8、-1故當nk+1時，不等式也成立。即原不等式對于所有自然數(shù)都成立。三、應用數(shù)學歸納法證明整除問題應用數(shù)學歸納法證明整除性問題，是數(shù)學歸納法的重要應用之一。這類問題涉及到整除性的知識，如果a能被c整除，那么a的倍數(shù)ma也能被c整除，如果a，b都被c整除，那么它們的和或差a±b也能被c整除，從整數(shù)的基本入手，通過添項去項進行”配湊“，使之能夠獲證。例3：證明f（n）5n+23n+1能被8整除。 < 證明：（1）當n1時，f（n）5n+23n+18顯然能被8整除，命題成立。（2）假設(shè)當nk時，原命題成立，即f（k）5k-1+23k+1能被8整除，那么，當nk+1時，f（k+1）5k-

9、1+23k+155k+63k+1+43k-1-43k-155k+103k-1+5-43k-1-45f（k）-4（3k-1+1）這里第一項由歸納假設(shè)能被8整除，第二項中3k-1是奇數(shù)，則3k-1+1是偶數(shù)。故第二4（3k-1+1）能被8整除，由整除性質(zhì)可知，它們的差也能被8整除，這就是說：當nk+1時命題也成立。即原命題對所有自然數(shù)n都成立。四、應用數(shù)學歸納法證明幾何問題應用數(shù)學歸納法證明幾何問題是數(shù)學歸納法的一個重要應用。數(shù)學歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的重要方法，但是運用它只能證明命題的正確性，而不能指望由它發(fā)現(xiàn)命題。有很多與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，可以用數(shù)學歸納法證明，但在證明之前要找出規(guī)律，獲得公式，而后才能應用數(shù)學歸納法證明結(jié)論。例4：證明凸n邊形的對角線的條數(shù)f（n）n（n-3）.（n3）證明：（1）當n3時，f（3）0，因三角形沒有對角線，所以原命題成立。（2）假設(shè)：當nk（n3）時命題成立，即凸k邊形的對角線條數(shù)為f（k）k（k-3）。