有約束條件的完全四邊形與數(shù)學(xué)競(jìng)賽題上

1、2007年第2期17專題寫作有約束條件的完全四邊形與數(shù)學(xué)競(jìng)賽題(上)沈文選(湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克研究所,410081)有約束條件的完全四邊形除具有一般完全四邊形的優(yōu)美性質(zhì)外,還由于各種不同的約束條件,而具有一些特殊的優(yōu)美性質(zhì).許多數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題就是以這些優(yōu)美性質(zhì)為背景或出來(lái)的.1例1ABCDEF中,AB=AE.(1)若BC=EF,則CD=DF,反之,若CD=DF,則BC=EF;圖1(2)由(1)知,BCD和DEF的外接圓(2)若BC=EF(或CD=DF),M為完全是等圓(或由正弦定理計(jì)算推得).又由A、B、M、E四點(diǎn)共圓有CBM=AEM=FEM.從而,CM=FM.于是,DCMDFM.所以,C

2、DM=FDM.故MDCF.由于MD是CF的中垂線,而點(diǎn)O1在CF的中垂線上,故ACF的外心O1在直線MD上.四邊形的Miquel點(diǎn),則MDCF,且ACF的外心O1在直線MD上;(3)若BC=EF(或CD=DF),點(diǎn)A在CF上的射影為H,ABE的外心為O2,則O2為AM的中點(diǎn),且O2D=O2H;(4)若BC=EF(或CD=DF),M為完全四邊形的Miquel點(diǎn),則MB=ME,且MBAC,MEAE.證明:輔助線如圖1.(1)由完全四邊形的性質(zhì)11中式(或?qū)CF及截線BDE應(yīng)用梅涅勞斯定理),有=1.BCDFEA(3)由(2)知,BCD和DEF的外接圓是等圓.從而,BCMEFM.所以,BM=EM,

3、即知點(diǎn)M在BAE的平分線上,亦即A、O2、M三點(diǎn)共線.因此,O2為AM的中點(diǎn).注意到MDCF,AHCF,所以,O2在線段DH的中垂線上.故O2D=O2H.(4)由(3)知,BM=EM.因AB=AE,由上式知CD=DFBC=EF.收稿日期:2006-01-26修回日期:2006-11-1018中等數(shù)學(xué)又O2為AM的中點(diǎn),而O2為圓心,故AM為直徑.(2)若對(duì)角線AD的延長(zhǎng)線交對(duì)角線CE于點(diǎn)P,BPF的外接圓交AD于點(diǎn)A1,交CD于點(diǎn)C1,交DE于點(diǎn)E1,則SACE=2S六邊形A1BC1PE1F,SACE4SBPF.所以,MBAC,MEAE.不妨將例1記作性質(zhì)16.以性質(zhì)16為背景,可得到如下數(shù)學(xué)

4、競(jìng)賽題.題1已知銳角ABC,CD是過(guò)點(diǎn)C的高線,M是邊AB的中點(diǎn),過(guò)M的直線分別交射線CA、CB于點(diǎn)K、L,且CK=CL.若CKL的外心為S,證明:SD=SM.(第54屆波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克)如圖2,事實(shí)上,此題為在完全四邊形CKAMLB中,C為銳角,頂點(diǎn)C在邊上的射為,CL,圖2CKL.此即為例1中的(3).過(guò)點(diǎn)M與AB垂直的直線與CS延長(zhǎng)線交點(diǎn)E即為Miquel點(diǎn).題2設(shè)AM、AN分別是ABC的中線、內(nèi)角平分線,過(guò)點(diǎn)N作AN的垂線分別交AM、AB于點(diǎn)Q、P,過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線交AN于點(diǎn)O.求證:OQBC.(2000,亞太地區(qū)數(shù)學(xué)奧林匹克)以具有相等的邊(含邊上的線段)的完全四邊形為背景的競(jìng)賽題

5、還有:題3P是ABC內(nèi)的一點(diǎn),直線AC、BP相交于點(diǎn)Q,直線AB、CP相交于點(diǎn)R.已知AR=RB=CP,CQ=PQ.求BRC.(2003,日本數(shù)學(xué)奧林匹克)2兩組對(duì)邊相互垂直的完全四邊形證明:(1)如圖3,由題設(shè)知C、E、F、B四點(diǎn)共圓,且CE的中點(diǎn)O為其圓心,過(guò)點(diǎn)O作OMBF于點(diǎn)M.圖3OMEH,CO=OE,所以,GM=MH.故GB=GM-BM=MH-MF=FH.(2)在ACE中,由題設(shè)知,BPF的外接圓即為ACE的九點(diǎn)圓.從而,知A1、C1、E1分別為AD、CD、ED的中點(diǎn).于是,SBCC1+SPCC1=SPEE1+SFEE1=SBAA1+SFAA1=S,2四邊形BC1PDS,2四邊形DP

6、EFS.2四邊形ABDF2從而,SACE=2S六邊形A1BC1PE1F.由完全四邊形的性質(zhì)12即知SACE4SBPF.不妨將例2記作性質(zhì)17.以性質(zhì)17為背景,可得到如下數(shù)學(xué)競(jìng)賽題:題1銳角ABC中,BD、CE是其相應(yīng)邊上的高.分別過(guò)頂點(diǎn)B、C引直線ED的垂線BF、CG,垂足為F、G.求證:EF=DG.(第22屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克)題2在銳角ABC中,A的平分線與三角形外接圓交于另一點(diǎn)A1,點(diǎn)B1、C1與此類似.直線AA1與B、C的外角平分線相交于點(diǎn)A0,點(diǎn)B0、C0與此類似.求證:(1)SA0B0C0=2S六邊形AC1BA1CB1;兩組對(duì)邊相互垂直的完全四邊形常存在于含有兩條高線的三角形中.這

7、類問(wèn)題比較多,這里僅舉一例.例2在完全四邊形ABCDEF中,ACBE,AECF.(1)若點(diǎn)C、E在對(duì)角線BF所在直線上的射影分別為G、H,則GB=FH;2007年第2期19(2)SA0B0C04SABC.(第30屆IMO)OM平分AMD,OM平分BMF;(10)過(guò)點(diǎn)E(或C)的圓的割線交O于題3已知O1、O2交于A、B兩點(diǎn).過(guò)點(diǎn)A作O1O2的平行線,分別與O1、O2交于C、D兩點(diǎn).以CD為直徑的O3分別與O1、O2交于P、Q兩點(diǎn).證明:CP、DQ、AB三線共點(diǎn).(第54屆白俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克)3相交兩對(duì)角線為圓中相交弦的完全四邊點(diǎn)R、P,直線CP(或EP)交O于點(diǎn)S,則3R、G、S三點(diǎn)共線;(

8、11)設(shè)對(duì)角線AD的延長(zhǎng)線交對(duì)角線CE于點(diǎn)W,則WC=WE的充要條件是2WAWD=WC;(12)設(shè)Z是對(duì)角線CE的中點(diǎn),聯(lián)結(jié)AZ交O于點(diǎn)N,則C、D、N、E.證明:如圖4.形接于圓.例3中,、BD、F()AD、BF交于點(diǎn)G.(1)若C、E的平分線相交于點(diǎn)K,則CKEK;(2)BGD的平分線與CK平行,DGF的平分線與EK平行;(3)從點(diǎn)C、E分別引O的切線,切點(diǎn)為P、Q,則CE=CP+EQ;此題設(shè)條件下的完全四邊形ABCDEF的Miquel點(diǎn)在對(duì)角線CE上;若分別以點(diǎn)C和E為圓心、以CP和EQ為半徑作圓弧交于點(diǎn)T,則CTET;(4)若從點(diǎn)E(或C)引O的兩條切線,切點(diǎn)為R、Q,則C(或E)、R

9、、G、Q四點(diǎn)共線;(5)過(guò)C、E、G三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的直線,分別是另一點(diǎn)關(guān)于O的極線;(6)點(diǎn)O是GCE的垂心;(7)過(guò)對(duì)角線BF(或BF與CE不平行時(shí)222圖4(1)聯(lián)結(jié)CE,令DCE=1,DEC=2.則(BCD+1+2)+(DEF+2+1)=ABD+AFD=180°,即(BCD+DEF)+1+2=90°.2故CKE(BCD+DEF)+=180°-1+2=90°.因此,CKEK.(2)設(shè)DGF的平分線交DE于點(diǎn)X,EK與FG交于點(diǎn)I.則FGX=DGF2的AD)兩端點(diǎn)處的O的切線的交點(diǎn)在對(duì)角線CE所在的直線上;(8)設(shè)O1、O2分別是ACF、ABE的外心,

10、則OO1O2DCE33(GFA+GAF),2AED2;FIE=GFA-=GFA-(9)設(shè)點(diǎn)M是完全四邊形ABCDEF的Miquel點(diǎn),則OMCE且O、G、M三點(diǎn)共線;(ADB-GAF)220中等數(shù)學(xué)=(GFA+GAF).2故HR=HQ.由此即可證得RtEHRRtEHQ.因此,GXEK.同理,BGD的平分線與CK平行.(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)B、C、D的圓交CE于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)DM.則AFD=CBD=DME.從而,D、M、E、F四點(diǎn)共圓.于是,CMCE=CDCF,EMEC=EDEB.于是,EQ=ER.而EQ=ER,則ER=ER.又點(diǎn)R、R均在O上,故點(diǎn)R與點(diǎn)R重合,即C、R、Q三點(diǎn)共線.為證R、G、Q三點(diǎn)共線,

11、聯(lián)結(jié)AR交BF于點(diǎn)X,聯(lián)結(jié)FR交AD于點(diǎn)Y,AQ、FQ,設(shè)QR與A交于點(diǎn)=.S以上兩式相加得CE=CDCF+EDEB.2又CP、EQ分別是O的切線,有CDCF=CP,EDEB=22故CE=CP+是DEF外,Miquel點(diǎn).因此,題設(shè)條件下的完全四邊形的Miquel點(diǎn)在CE上.222,=,RYDRsinYDR=.AXABsinXBA由EQFEAQ,有=.FQEF由于CT=CP,ET=EQ,故CT+ET=CE,即CTET.222同理,=,=.ABBEDRER(4)如圖5,聯(lián)結(jié)CQ交O于點(diǎn)R,過(guò)而AQZ=YDR,ZQF=RBX,FDY=XBA,EQ=ER,于是,=1.ZFYRXA點(diǎn)E作EHCQ于點(diǎn)H

12、,過(guò)點(diǎn)C作圓的切線CP,切點(diǎn)為P.對(duì)ARF應(yīng)用塞瓦定理的逆定理,知AY、FX、RZ三線共點(diǎn)于G.故R、G、Q三點(diǎn)共線.綜上可知,C、R、G、Q四點(diǎn)共線.(5)由(4)即證.(6)注意到OEQR,即OECG.同理,OCEG.圖5由此即知,O為GCE的垂心,即OGCE.則CE-EQ=CP=CRCQ)=(CH-HRCQ.222(7)由(5)知,直線CE是點(diǎn)G關(guān)于O又CE-EQ22的極線.從而,過(guò)點(diǎn)G的弦的兩端點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)在直線CE上.(8)若點(diǎn)O在AD上,則O1、O2分別為AC、AE的中點(diǎn).此時(shí),有2222=(CH+EH)-(EH+HQ)22=CH-HQ=(CH-HQ)(CH+HQ)=(CH-H

13、Q)CQ,2007年第2期21OO1O2DCE.若點(diǎn)O不在AD上,則點(diǎn)O1、O2不在AC、AE上.交O于點(diǎn)T,聯(lián)結(jié)AT、OA、OT.由A、B、D、F,A、B、M、E分別四點(diǎn)共圓知EFD=ABE=AME.又由D、F、A、T四點(diǎn)共圓知EFD=ATD=ATM.因AE、MT是過(guò)兩相交圓交點(diǎn)F、D的割線,所以,EMAT.于是,TAM=AME=,即圖6如圖6,聯(lián)結(jié)O1A、O1C、AD、OA、OD、O2A、O2E.因AO2E=2(180°-ABE)=2AFD=AOD,O2A=O2E,OA=MA=.OT,在CE上,因此,OMCE.由(6)知,OGCM.故O、G、M三點(diǎn)共線.由性質(zhì)1322.故=.OA

14、知,此時(shí)即為2002年中國(guó)又O2AE=OAC,則AOO2ADE.同理,AO1CAOD,AOO1ADC.于是,O1OOO2=.CDADDE國(guó)家隊(duì)選拔賽題的特殊情形.故OM平分AMD,OM平分BMF.(10)如圖8,聯(lián)結(jié)PA、PB、SA、SB、DR、RF、PF.由AO1CAO2E,知OOAO=.CEAEAD從而,OO1O2DCE.(9)如圖7,過(guò)點(diǎn)D、M作O的割線MD圖8由EFREPA,CBSCPA,有=,=.PAEPBSCB從而,=.SBEPCB由ERDEBP,CBPCSA,有圖7=.SAEPCA22中等數(shù)學(xué)以上兩式相除得=.SBRDEDCB=180°-CYE,所以,C、Y、E、D四點(diǎn)

15、共圓.又YND=180°-AND=ABD=YED,于是,D、N、E、Y四點(diǎn)共圓.故C、Y、E、N、D五點(diǎn)共圓,即知C、D、N、E四點(diǎn)共圓.用乘上式兩邊,應(yīng)用完全四邊形性質(zhì)AF1中的式(即對(duì)ABE及截線CDF應(yīng)用梅涅勞斯定理)知=1.FACBDE不妨將例3記作性質(zhì)18.以性質(zhì)18為背景,可得到如下數(shù)學(xué)競(jìng)賽題.題1四邊形ABCD內(nèi)圓,直線ABDCE,F,從而,=1.RDBSAF對(duì)上式應(yīng)用塞瓦定理角元形式的推論(或同(4)的證明中證R、G、Q三點(diǎn)共線),AD于點(diǎn)NAB于點(diǎn)P,交CD于點(diǎn).:四邊形MPNQ是菱形.證得SR、BF、AD.故S、G.(9,(1950,波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克2004,斯洛文尼亞國(guó)家隊(duì)選拔賽)事實(shí)上,由例3(1)即得.題2四邊形ABCD內(nèi)接于圓,邊AB、DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,邊AD、BC的延長(zhǎng)線完全四質(zhì)2中的式(即對(duì)ACE及點(diǎn)D應(yīng)用塞瓦定理)有BCWEFA交于點(diǎn)N.由點(diǎn)N作該圓的兩條切線NQ、NR,切點(diǎn)分別為Q、R.求證:M、Q、R三點(diǎn)共線.2=1.AWDW=CW(1997,中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克)事實(shí)上,由例3(4)即得.圖9DWCW題3在ABC中,一個(gè)以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A、C,又和線段AB、BC分別交于點(diǎn)K、N,K與N不同.ABC的外接圓和BNK的外接圓恰相交于點(diǎn)B和另一點(diǎn)M.求證:BMO=90°.(第26屆IMO)DWCCWADCW=