非線性控制理論_圖文

1、非線性控制理論 非線性系統(tǒng)反饋線性法 中南大學信息科學與工程學院 1 本講主要內(nèi)容 1 微分幾何基本概念 2 單入單出的非線性系統(tǒng)的反饋線性化 3 多入多出的非線性系統(tǒng)的反饋線性化 2 一、微分幾何基本概念 1.基本概念 設非線性系統(tǒng)： & x = f ( x + g ( x u i i =1 m i y i = hi ( x , 1 i p (1-1 x 假定狀態(tài)： = ( x1 , L, x n T 屬于Rn中的一個開集U。 f 1 ( x1 , L , x n f 2 ( x1 , L , x n f ( x = f ( x , L, x n n 1 g1 i ( x1 , L , x

2、n g 2 i ( x1 , L , x n gi ( x = g ( x , L, x n ni 1 hi ( x = hi ( x1 , L , xn 3 在下面的討論中，假定映射f，g1，gm和h1， hm函數(shù)在其論域中都是光滑的。 A. 光滑函數(shù) 光滑函數(shù)：設U是Rn的一個開子集，f:UR是一個函數(shù)，f 在點x=(x1，xn的任意階偏導數(shù)存在且連續(xù)，則稱函 數(shù)f是光滑函數(shù)，或C類函數(shù)，簡稱f是C 的。 如果f是C的，且對每點x0U, 存在x0的一個領域A，使對 所有xA，f在x0的Taylor級數(shù)的展開式都收斂到f(x，則 稱f是解析函數(shù)。 注意：此處的函數(shù)f與P3中的f不同，它只是P

3、3中f的一個 元素。 4 B. 流形 流形：是拓撲學和微分幾何中的一個重要概念。從概念上 來講，n維流形可理解為由多個同為n維的曲面（或超曲 面）經(jīng)拼接所得到的曲面（或超曲面）。 流形的一個特征：是它的各局域可以與n維空間之間建立 起點與點間的一對一的映射關系，并根據(jù)此關系建立起適 用于各局部的流形局部坐標系。 微分流形：具有微分結構的流形，這種結構，是指參與拼 接的曲面（或超曲面）彼此拼接得如此之好，以至于流形 作為一整體與n維空間之間的映射能達到任意次可微的程 5 度，即達到光滑的程度。它也稱為光滑流形或簡稱流形。 C. 光滑向量場和對偶向量場 光滑向量場：P3中的映射f，g1，gm是將U

4、中的每個點x 指派到Rn中的一個向量的光滑映射，即f(x， g1 (x， gm(x，因此，它們就是定義在U上的光滑向量場。 對偶向量場：對偶向量場是一個能使n維光滑向量變換為 一個實數(shù)的同維向量。對偶向量場是光滑映射，該映射將 U中的每個點x指派到對偶空間(Rn*中的一個元素。 6 內(nèi)積 內(nèi)積：光滑向量v和其對偶向量場w*的如下運算稱為內(nèi) 積。 w (v = w ( v = w1 v1 L w n L v 2 一個重要的對偶向量場是定義在Rn的一個開子集上的實值 函數(shù)的微分或梯度。此對偶向量場以d表示，其具體形 式為： d ( x = x 1 x 2 = T L x n x 7 D. 三種類型

5、的微分運算 D.1、函數(shù)的李導數(shù) 函數(shù)沿光滑向量場f方向的李導數(shù)可具體表示為： L f ( x = x1 f1 L L = x n f2 i =1 n fi = T f = d , x i x f 該李導數(shù)有時又稱為沿f的導數(shù)。 函數(shù)的李導數(shù)具有如下性質：函數(shù)原來是一個光滑函 數(shù)，對它求李導數(shù)的運算之后，所得結果仍然是一個光 滑函數(shù)。 8 D.1、函數(shù)的李導數(shù) 函數(shù)的高階李導數(shù)用以下梯推公式來定義： Lkf ( x = ( Lkf1 x T f 同時約定零階李導數(shù)為： L0f ( x = ( x 如果先取沿光滑向量場f的導數(shù)，再取沿向量場g的導 數(shù)，那么其新函數(shù)為： Lg L f ( x =

6、( L f x T g 9 實例：函數(shù)的李導數(shù) & x1 = a sin x 2 a sin x 2 f ( x = x2 1 例如：系統(tǒng) 2 & x 2 = x1 + u y = x2 L0f h( x = x 2 0 g( x = 1 h( x = x 2 a sin x h 0 1 2 2 = x12 L f h( x = T f ( x = x1 x L h( x = 2 f ( L f h( x x T f ( x = 2 x1 a sin x 2 0 2 = 2ax1 sin x 2 x1 Lg L f h( x = ( L f h( x x T g ( x = 2 x1 0 0

7、= 0 1 10 D.2、向量場的李積或李括號 兩個向量場f和g，它們均定義于Rn的一個開子集U上。此 時，我們構造一個記為f，g的新光滑向量場，它在U中 的每一點x處定義為： g f ad f g ( x = f , g ( x = T f T g 李積或李括號 x x g1 x 2 g 2 x 2 g n x 2 g1 L x n g 2 L x n g n L x n f 1 x 1 f 2 f = x1 T x M f n x1 f 1 x 2 f 2 x 2 f n x 2 f 1 x n f 2 L x n f n L x n 11 L 其中： g x T g1 x 1 g 2 =

8、 x1 M g n x1 D.2、向量場的李積或李括號 向量場g可對同一個向量場f重復進行李括號運算。其遞歸 形式為： ad k g ( x = f , ad k 1 g ( x f f 0 同時約定零階李括號為： ad f g( x = g( x 李括號的性質 性質1: (雙線性 r1 f1 + r2 f 2 , g1 = r1 f1 , g1 + r2 f 2 , g1 f1 , r1 g1 + r2 g 2 = r1 f1 , g1 + r2 f1 , g 2 12 李括號的性質 性質2: (反對稱性 f , g = g , f 性質3: (雅可比恒等式 f , g , h + g ,

9、h, f + h, f , g = 0 D.3、對偶向量的李導數(shù) 向量場f與對偶向量場，在U中的每一點x處，定義： T T f L f ( x = f ( x ( T + ( x T x x T 該李導數(shù)有時又稱為沿f的導數(shù)。 13 實例：向量場的李積或李括號 & x1 = a sin x 2 2 & x 2 = x1 + u 例如：系統(tǒng) a sin x 2 f ( x = x2 1 y = x2 ad 0 g ( x = g ( x f ad f g ( x = 0 g( x = 1 h( x = x 2 f g 0 0 a sin x 2 0 f T g= 2 x T x 0 0 x1 2

10、 x1 a cos x 2 0 a cos x 2 = 0 1 0 ad g ( x = 2 2 (ad f g ( x x T 0 2 x1 f f 0 a sin x 2 a sin x 2 ad f g ( x = x2 x T 0 0 1 2 = ax1 sin x 2 + 2ax1 cos x 2 a cos x 2 a cos x 2 0 0 14 D.4、三種微分運算具有的性質 (1 如果和為實值函數(shù)，f為一個向量場，那么 Lf ( x = ( L f ( x ( x (2 如果和為實值函數(shù)，f和g為向量場，那么 f , g ( x = ( x ( x f , g ( x + (

11、 L f ( x ( x g ( x ( Lg ( x ( x f ( x (3 如果為實值函數(shù)，f和g為向量場，那么 L f , g ( x = L f Lg ( x Lg L f ( x 15 D.4、三種微分運算具有的性質 (4 如果和為實值函數(shù)，f為向量場，而為對偶 向量場，那么 Lf ( x = ( x ( x ( L f ( x + ( x ( x , f ( x d ( x + L f ( x ( x ( x (5 如果為實值函數(shù)，f為向量場，那么 L f d ( x = dL f ( x (6 如果f和g為向量場，而為對偶向量場，那么 L f , g ( x = L f ( x

12、 , g ( x + ( x , f , g ( x 16 證明性質3 (3 如果為實值函數(shù)，f和g為向量場，那么 L f , g ( x = L f Lg ( x Lg L f ( x 證明 g f L f , g ( x = T f , g = T ( T f T g x x x x 2 g 2 f = gT f + T f fT g T g T T T T xx x x xx x x = ( T g f T ( T f g x T x x x = L f Lg ( x Lg L f ( x 17 . 全局微分同胚和局部微分同胚 設線性系統(tǒng)： 坐標變換： & x = Ax + Bu z =

13、 Tx 在新坐標描述下的系統(tǒng)方程為： & z = TAT 1 z + TBu & z = Az + Bu 如系統(tǒng)是非線性的，考慮非線性坐標變換，非線性變換 可描述為： 1 ( x 1 ( x1 , 2 ( x 2 ( x1 , z = ( x = = L ( x ( x , n 1 n L, xn L, xn L L, xn 18 全局微分同胚和局部微分同胚 定義在Rn中的全局微分同胚具有如下性質： (1 (x是可逆的，即存在 -1(z，使得對于Rn中的 所有x,有 x = 1 ( x = 1 ( z (2 (x和 -1(z均為光滑映射，即具有任意階的連 續(xù)偏導數(shù)。 局部微分同胚：在給定點的一

14、個領域內(nèi)，具有上述兩條性 質的變換。 19 F. 分布 F.1 分布的定義 前面提到：定義在Rn中的開子集U上的的光滑向量場f可以 直觀地解釋為一個光滑映射，該映射將U 中的每一點x，指 派到n維向量f(x。 假設給定的d個光滑向量場f1，fd都定義在同一開子集U 上，那么，對于U中的任意固定點x，向量 f1 (x，fd(x 張成一個向量空間，定義為分布，即分布為： (x=span f1 (x，fd(x 或， =span f1，fd 20 分布 =span f1，fd 注意：符號span的含義是“通過向量場的線性組合來張 成”，組合的結果因所采用的系數(shù)不同而有多種可能，系數(shù) 的連續(xù)變化將形成一

15、定的散布，分布即由此得名。即使分 布只由一個向量張成，也并不等同于該向量場本身，其系 數(shù)的改變將形成一組一維向量場。 例：一個由三個向量場構成分布的非線性系統(tǒng)。 x1 x1 x 2 x1 & x = 1 + x 2 + (1 + x 3 x 2 u + x1 w x1 x1 x 2 x1 1 0 ( x = span 1 + x , (1 + x x , x x2 2 3 2 1 1 0 x2 21 F.2 分布的運算 一個分布是一個向量空間，即Rn中的一個子空間?；谶@ 點，可以將分布擴張，以引入與向量空間概念有關的一些 基本概念。 分布的并： (12(x= 1(x 2(x 分布的交： (1

16、2(x=1(x 2(x 例：(分布的并和交 設 0 0 1 ( x = span 0 , x 2 x 0 3 x1 x1 2 ( x = span 0 , 0 0 x 3 22 0 0 1 ( x = span 0 , x 2 x 0 3 x1 x1 2 ( x = span 0 , 0 0 x 3 0 0 x1 0 0 x1 x1 = span 0 , x 2 , 0 ( 1 U 2 ( x = span 0 , x 2 , 0 , 0 x 0 0 x 0 0 x 3 3 3 0 ( 1 I 2 ( x = span 0 x 3 23 F.3 分布的奇異性和正則性 維數(shù)定義：x點子空間(x的

17、維數(shù)稱為分布在x點的維數(shù)， 記為：dim(x。 =span f1，fd 奇異性定義：如果對開集上任意點xU, 都有dim(x=d， 則稱定義在U上的分布是非奇異的，否則就為奇異的。 正則點定義：如果U上的x點存在領域U0, 在U0上非奇 異，則稱x為分布的正則點，否則就為奇異點。 注意：非奇異分布可稱為不變維分布；而正則點可稱為不 變維點；奇異點為變維點。 24 F.4 光滑性分布及其性質 光滑分布定義：如果分布是由一些C向量場，以C 函 數(shù)為系數(shù)張成，則稱為光滑分布。 性質1：兩個光滑分布的并都是光滑分布。例P23 性質2：兩個光滑分布的交不一定是光滑分布。 例 考慮定義在R2上兩個分布 1

18、 1 ( x = span 1 1 + x1 2 ( x = span 1 x1 0 x1 = 0 25 則兩分布之交為 0 ( 1 I 2 ( x = 1 ( x F.5 分布的對合性 對合的定義：一個光滑分布，如果屬于的任意二個向量 場fi，fj的李積fi ，fj仍屬于，即 fi fj fi , f j 則稱分布是對合的。 = span f 1 , f 2 例 考慮R3上的一個分布 2 x2 f1 ( x = 1 0 1 f2 ( x = 0 x2 該分布對每個R3上的 點，都是維數(shù)為2。 0 0 0 2 x 2 0 2 0 1 0 f 1 , f 2 ( x = 0 0 0 1 0 0

19、0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 x 1 2 26 分布的對合性 2 x2 f1 ( x = 1 0 1 f2 ( x = 0 x2 0 0 0 2 x 2 0 2 0 1 0 f 1 , f 2 ( x = 0 0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 x 1 2 2 x2 f 1 , f 2 ( x = 1 0 1 0 x2 0 它的維數(shù)為3。 0 1 27 f1 f2 所以，該稱分布不是對合的。 分布的對合性 2 2 例：域 U = x R 3：x1 + x 3 0 上定義一分布 = span f 1 , f 2 2 x3 f1 ( x = 1 0 x1

20、f 2 ( x = 2 x2 x3 該分布對每個R3上的 點，都是維數(shù)為2。 1 0 0 2 x 3 0 0 2 x1 f 1 , f 2 ( x = 0 2 0 1 0 0 0 2 x 2 0 0 1 0 0 0 0 x 3 4 x3 = 2 = 2 f 2 0 它的維數(shù)也為2。 28 所以，該稱分布是對合的。 F.6 光滑對偶分布 假設給定的d個光滑向量場f1，fd都定義在同一開子集U 上，那么，對于U中的任意固定點x，向量 f1 (x，fd(x 張成一個向量空間，定義為分布。 對應的對偶向量場 對偶向量場為1，d都定義在同一開子集U上，那么， 對于U中的任意固定點x，向量 1 (x，d(

21、x張成一個向 量空間，定義為光滑對偶分布。 (x=span 1 (x，d(x 29 F.7 分布的零化子 分布的零化子又稱為正交對偶分布 零化子的定義：給定一個分布，對開子集U上的每一點x， 考慮 (x的零化子，即一組零化(x中所有向量的全體對偶 向量的集合，即 ( x = w ( R n : w , v = 0, v ( x 2 2 例：域 U = x R 3：x1 + x 3 0 上定義一分布 = span f 1 , f 2 2 x3 f1 ( x = 1 0 x1 f 2 ( x = 2 x2 x3 ( x = x3 2 2 x3 x1 + 4 x 2 x 3 30 G. Froben

22、ius定理 本小小節(jié)基于分布和對偶分布概念來研究放射非線性系統(tǒng)的 可積性問題。并指出對偶分布法是問題求解的一個合理且可 行的途徑，以此方法為依據(jù)定義了分布可積性。而分布可積 性的充要條件是Frobenius定理。 & 在初始條件x(0=x0下， 非線性系統(tǒng)： x = f ( x f 0 的解x(t稱為向量場f(x的積分曲線，表示為：t ( x 不同的初始條件對應不同的積分曲線，所有的積分曲線就 形成了一個積分曲線束，表示為：tf ( x 它是t和x的光滑函數(shù)，被稱為向量場f(x下的流。 31 G.1. 用分布的零化子研究分布的可積性 & x 非線性系統(tǒng)： = f ( x 研究其解的問題是針對單

23、個向量場。 & 而非線性系統(tǒng)：x = f ( x + g( x u 研究其解的問題是針對兩個向量場。而且此組合向量場 中的兩個向量場的組合關系會隨控制的大小而改變。事 實上，分布的概念就是為表征組合向量場而提出的。 在多個向量場f1，fd共同作用下，同時在各向量間的組 合關系時刻改變的情況下，狀態(tài)方程的積分曲線是否存在， 積分曲線所在解空間如何求得，積分曲線如何求得，與此有 關的這些問題就構成了方程可積性問題。 32 間接法 由分布和正交對偶分布應滿足的正交性，有如下關系： j ( x , f i ( x = 0 i = 1,L , d j = 1,L , n d 或 j ( x FM ( x

24、 = 0 j = 1,L , n d 光滑對偶向量場j 作為一個光滑向量場，可用一個實值函 數(shù)j(x的梯度來表達，即： j = grad j = j x T j x j ( x FM ( x = 0 f d ( x = 0 j = 1,L , n d FM ( x = j x T f1 ( x L (1-2 34 間接法 j x T FM ( x = j x T f1 ( x L f d ( x = 0 j = 1,L , n d 上式是關于未知的j(x，j=1，n-d的偏微分方程。 這里j(x，j=1，n-d是為求解狀態(tài)方程可積性問題 而特別定義的n-d個光滑函數(shù)。解此方程組，可以求得 j(

25、x，j=1，n-d。 35 j x T FM ( x = j x T f1 ( x L f d ( x = 0 (1-2 其次，考慮j=1，n-d的情況。 因j(x有n-d個，積分曲線應該處于n-d個解空間的交集 上。只有在此交集上，才能同時滿足(1-2方程組中的共 n-d個方程，成為要求的解。 例 (對偶分布法求解線性系統(tǒng)的解空間線性定常系統(tǒng)為： x1 1 & x = f ( x + g ( x u = x 2 + 0 u x 3 0 x1 1 = a +b x3 f ( x = T T x x 1 = cx 2 x 3 + d 解 x1 x2 = 0 x3 37 積分曲線所在的解空間 例

26、(對偶分布法求解線性系統(tǒng)的解空間線性定常系統(tǒng)為： x1 1 & x = f ( x + g ( x u = x 2 + 0 u x 3 0 解 = S ( x2 , x3 1 g ( x = T 0 = 0 T x x 0 假設積分曲線的出發(fā)點是x0，其解空間應該滿足： 0 0 1 = cx 2 x 3 + d = cx 2 x 3 + d = S ( x2 , x3 = S ( x , x 0 2 0 3 0 0 x2 x3 = x2 x3 38 G.2. Frobenius定理(分布可積的充要條件 定理 (Frobenius定理一個非奇異分布完全可積的充要條 件是它是對合的。 證明：考慮分

27、布=f1，fd U屬于Rn的領域U0上。 證明必要性： 由假設知，存在函數(shù)1，n-d 。滿足式(1-2，即 j x T FM ( x = 1 i d j x T f1 ( x L f d ( x = 0 1 j nd d j , f i ( x = L f i j ( x = 0 40 Frobenius定理 j x T FM ( x = 1 i d j x T f1 ( x L f d ( x = 0 L f , g ( x = L f Lg ( x Lg L f ( x 1 j nd L f i , f k j ( x = L f i L f k j ( x L f k L f i j (

28、 x = 0 d j , f i ( x = L f i j ( x = 0 L f , f 1 ( x d1 ( x i k = L f i , f k ( x = 0 (1-3 L L f , f n d ( x d n d ( x i k 因為d1，dn-d 是正交對偶分布，根據(jù)式(1-3，知 fi，fk本身也是中的一個向量場。因此，分布是對合 的。 41 二、單入單出的非線性系統(tǒng)的反饋線性化 1. 反饋線性化 討論單擺方程原點的穩(wěn)定問題 & x1 = x 2 & x 2 = asin( x1 + sin bx 2 + cu 通過觀察上面系統(tǒng)的狀態(tài)方程，選擇 a v u = sin( x

29、1 + sin + c c k 1 x1 + k 2 x 2 a u = sin( x1 + sin c c & x1 = x 2 & x 2 = k 1 x1 ( k 2 + b x 2 & x1 = x 2 & x 2 = bx 2 + v v = k 1 x1 k 2 x 2 得閉環(huán)系統(tǒng) 42 反饋線性化存在的條件 非線性 系統(tǒng) (2-1 線性系統(tǒng) & x = Ax + B ( x u ( x & x = Ax + Bv v = Kx u = ( x + ( x v ( x = 1 ( x & x = ( A BK x Hurwitz u = ( x ( x Kx 43 & x = Ax

30、 + B ( x u ( x ？(2-1 系統(tǒng)的狀態(tài)模型并不是唯一的，如果所選擇的一種狀態(tài) 變量不能使系統(tǒng)狀態(tài)方程具有(2-1的結構，還可以通過 選擇狀態(tài)變換。 x = a sin x &1 2 例如，對系統(tǒng)： x 2 = x12 + u & z 1 = x1 & z 2 = a sin x 2 = x1 & z1 = z 2 2 & z 2 = a cos x 2 ( x1 + u v u= x + a cos x 2 2 1 44 反饋線性化存在的條件 定義：一個非線性系統(tǒng) & x = f ( x + g ( x u (2-2 其中f：DRn 和g：DRn 在定義域上DRn上是光滑 的。如

31、果存在一個微分同胚映射T：DRn，使得Ds =T(D包含原點，且可以通過變量代換z=T(x將上述系統(tǒng) 轉換為如下形式： z = Az + B ( x u ( x & 其中(A，B是可控的，且對于所有xD，(x為非奇異 矩陣，則稱系統(tǒng)(2-2是可反饋線性化的。 45 實例：反饋線性化 & x1 = a sin x 2 z 1 = x1 & z 2 = a sin x 2 = x1 例如，對系統(tǒng)： x 2 = x12 + u & & z1 = z 2 & z 2 = a cos x 2 ( x + u 2 1 2 u = x1 + v a cos x 2 其中，該系統(tǒng)的輸出為y=x2，則經(jīng)過變量代換和狀態(tài)反 饋控制，可得： & z1 = z 2 & z2 = v 從左方程看出，狀態(tài)方程是線性 z2 a 的，但輸出方程是非線性的。怎 樣找到使狀態(tài)線