用頻率采樣法設計FIR濾波器 - 圖文-

1、用頻率采樣法設計FIR 濾波器林愛英,谷小青,鄭寶周(河南農業(yè)大學理學院,河南鄭州 450002摘 要:窗函數(shù)法和頻率采樣法是兩種較為典型的FIR 數(shù)字濾波器設計方法。目前,相關的 數(shù)字信號處理 教科書對窗函數(shù)法設計FIR 濾波器進行了較為詳細的論述,但對用頻率采樣法設計FIR 濾波器這部分內容講解得不夠細致,讓初學的學生感到難以理解。針對用頻率采樣法設計FIR 濾波器的相關問題進行了較為深入的探討,并結合實例借助M atlab 軟件進行了仿真和驗證。仿真結果表明,選擇合適的過渡采樣點和濾波器長度,可以有效地控制阻帶衰減、過渡帶寬及計算復雜度。關鍵詞:F IR 數(shù)字濾波器;頻率采樣法;過渡采樣

2、點;阻帶衰減中圖分類號:T N911.72 33 文獻標識碼:A 文章編號:1004 373X(201017 0085 03Frequency Sampling Method for FIR Digital Filter DesignL IN Ai ying ,GU Xiao qing,ZH ENG Bao zhou(Co llege of Science ,H enan Ag ricul t ural U ni v ersity ,Zheng zhou 450002,ChinaAbstract :T he window functio n and frequency sampling met

3、hod are tw o t ypical methods for FIR dig ita l filter desig n.A t pr esent,the "Dig ital Sig nal Pro cessing "professio nal co ur ses is only explaining the w indow funct ion metho d in det ail,but not explaining the frequency sampling method in detail.So the students hav e much difficult

4、 y to master it.T he principle and some related questio ns of t he fr equency sampling method ar e discussed deeply.M atlab simulation so ftwa re is used to analyze and test the design.Ex periment results sho w that the stop band attenuation and comput ation co mplexity for the fr equency sam pling

5、method can be effectively contro lled by pr oper selectio n o f transitio n sampling point and filter width.Keywords :FIR dig ita l filter;frequency sampling metho d;transitio n sampling point;sto p band attenuation收稿日期:2010 04 11基金項目:河南省教育廳自然科學研究指導計劃項目(2008B510010有限長脈沖響應(FIR數(shù)字濾波器由于設計靈活,濾波效果好以及過渡帶寬易

6、控制,因此在數(shù)字信號處理領域得到了廣泛的應用1。FIR 數(shù)字濾波器的典型設計方法主要有窗函數(shù)法和頻率采樣法。正確理解和掌握這兩種設計方法是學習FIR 數(shù)字濾波器的一個重要環(huán)節(jié)。用窗函數(shù)法進行FIR 濾波器設計的相關問題,目前的教材講解較為細致,這里不再贅述。本文主要探討用頻率采樣法設計FIR 數(shù)字濾波器的相關問題,主要包括設計原理、性能分析、線性相位條件及設計中應注意的問題等幾個方面2。1 設計原理及濾波器性能分析頻率采樣法是從頻域出發(fā),對給定的理想濾波器的頻響H d (e j進行N 點等間隔采樣,即H d (k =H d (e j =2 N k ,然后以此H d (k作為實際FIR 濾波器的

7、頻率特性采樣值H (k,即令:H (k=H d (k=H d (e j =2 Nk,k =0,1,2,!,N -1(1由DFT 定義,可以用這N 個頻域的采樣值H (k來惟一確定FIR 的單位脈沖響應h(n,即:h(n=IDFT H (k =1NN-1k=0H (ke j 2N kn(2下面對設計出的濾波器頻率響應特性進行分析。由頻域采樣定理中的內插公式可以知道,利用這N 個頻域采樣值H (k同樣可以求得FIR 濾波器的頻率響應H (e j ,這個H (e j 將逼近理想濾波器的頻響H d (e j。H (e j的內插公式3 5為:H (e j=N-1k=0H (k -2 Nk(3式中: (

8、是內插函數(shù)。( =1N sin (N /2sin ( /2e-j N-12(4把式(4代入式(3,化簡后可得:H (e j =e -jN-12N-1k=01Ne j N-1N k H (ksin N 2- k N sin2- k N(5從式(5可以看到,在各頻率采樣點上,設計的濾波器,實際的頻率響應嚴格地與理想濾波器的頻率響應數(shù)現(xiàn)代電子技術 2010年第17期總第328期通信與信息技術值相等,即H (e j 2 N k=H (k=H d (k=H d (e j=2 N k 。但是在采樣點之間的頻率響應是由各采樣點的加權內插函數(shù)疊加而形成的,因而有一定的逼近誤差。該誤差大小取決于理想頻率響應的形

9、狀,理想頻響特性變化越平緩,內插值越接近理想值,逼近誤差越小;反之,如果采樣點之間的理想頻響特性變化越陡,則內插值與理想值之間的誤差越大,因而在理想濾波器不連續(xù)點的兩邊,就會產(chǎn)生尖峰,而在通帶和阻帶就會產(chǎn)生波紋。用頻率采樣法設計的實際濾波器頻率響應如圖1所示。由圖1可知,實際濾波器的阻帶衰減取決于內插函數(shù)第一旁瓣幅度值的大小,其大小決定了所設計的濾波器的 阻帶性能。圖1 實際濾波器的頻率響應2 線性相位條件FIR 濾波器的最大優(yōu)點是嚴格的線性相位特性3 5。下面討論為實現(xiàn)線性相位,在頻域內采樣得到的H d (k應滿足什么條件。FIR 濾波器具有線性相位的條件是h(n是實序列,且滿足h(n=#h

10、(N -1-n,即h(n關于n =N -12對稱,其中N 為濾波器的長度。以第一類線性相位條件h(n=h(N -1-n(偶對稱為基礎來推導頻域采樣H d (k滿足的條件。理想濾波器的頻率響應可以表示為:H d (e j=H g ( ej !( (6為實現(xiàn)第一類線性相位條件,相位函數(shù)!( 和幅度函數(shù)H g ( 應分別滿足:!( =-N -12(7 H g ( =H g (2 - , N 為奇數(shù)-H g (2 - ,N 為偶數(shù)(8在 =02 之間對H d (e j進行N 點等間隔采樣,即 k =2 N k ,k =0,1,2,!,N -1,將 k 代入式(6、式(7和式(8并表示為k 的函數(shù),可以

11、得到:H d (k=H g (k e j !(k(9!(k =-N -122 N k =-N -1Nk(10H g (k=H g (N -k, N 為奇數(shù)-H g (N -k,N 為偶數(shù)(11式(10和式(11就是頻率采樣值H d (k滿足第一類線性相位的條件。關于第二類線性相位的條件這里就不再推導,具體公式可參閱相關的教科書1,5 7。3 設計實例及性能分析現(xiàn)以低通濾波器為例,說明用頻率采樣法設計FIR 線性濾波器的一般步驟及設計中應注意的問題。要求截止頻率 c =0.2 rad/s,采樣點數(shù)為N =20。設計步驟如下:第一步:確定希望逼近的理想濾波器的頻率響應H d (e j : H d

12、(e j=e -j , 0| |0.20 0,0.20 <| | 式中:=-N -12=-9.5 第二步:在頻域內對H d (e j進行N 點等間隔采樣,利用頻率采樣設計公式求頻率采樣值H d (k ,采樣間隔# =2 /N =0.1 ,這樣在通帶內共有3個采樣點,分別是k =0,1,2。利用頻率采樣設計式(10和式(11,可以得到:H g (k=1, 0k 2-1,18k 190,3k 17!(k =-9.52 20k =-0.95 k,0k 2-0.95 (N -k= +0.95 k,1k 2從而有:H d (k=H g (ke j !(k=1, k =01*e -j0.95 ,k

13、=11*e -j0.95%2 ,k =21*e j0.95%2 ,k =181*e j0.95 ,k =19第三步:用離散傅里葉逆變換求得要設計的實際濾波器的單位脈沖響應h(n:h(n=IDFT H d (k=1NN-1k=0H d (ke j 2 Nkn=1201+e -j0.95 e j0.1 n +e -j0.95%2 e j0.1 %2n + e j0.95%2 e j0.1 %(N-2n +e j0.95 e j0.1 %(N-1n =1201+2cos (0.95 -0.1 n+ 2co s 2(0.95 -0.1 n第四步:根據(jù)傅里葉變換的定義求得實際濾波器的頻率響應H (e j

14、 ,驗證H (e j 是否滿足濾波器技術指信號處理林愛英等:用頻率采樣法設計FIR 濾波器標的要求,主要驗證濾波器的阻帶衰減是否能夠滿足阻帶的要求。借助于Matlab 軟件8 10,按照以上4個步驟設計出低通濾波器的仿真結果如圖2 所示。圖2 未增加過渡采樣點時的仿真結果由仿真結果圖2(d可以看出其衰減比較小,約為-17dB 。在通常情況下,這個阻帶衰減不能滿足阻帶技術指標的要求,可以通過在通帶和阻帶之間的邊界頻率處增加過渡采樣點來增大阻帶衰減。為改進阻帶衰減,在邊界頻率處增加一個過渡點;為保證過渡帶寬不變,將采樣點數(shù)增加一倍,變?yōu)镹 =40,并將過渡點的采樣值進行優(yōu)化,取H 1=0.3904

15、,其仿真結果如圖3所示。由圖3(d可見,這時阻帶衰減達到了-43dB 。圖3 增加一個過渡采樣點時的仿真結果為進一步增加阻帶衰減,可再增加一個過渡采樣點,并將采樣點數(shù)增加到60。兩個過渡樣點值經(jīng)優(yōu)化分別為H 1=0!5925和H 2=0!1099,其仿真結果如圖4所示。由圖4(d可見,這時阻帶衰減達到-73dB 。還可以通過進一步增加過渡樣點來增加阻帶衰減,一般情況下,最多增加3個過渡采樣點即能滿足阻帶衰減的要求。顯然,在保證過渡帶寬不變的情況下,相應的采樣點數(shù)也成倍增加,這樣將使濾波器的復雜度大大增加, 在實現(xiàn)濾波時計算量也隨之增加。圖4 增加兩個過渡采樣點時的仿真結果4 結 語Matlab

16、 仿真結果驗證了用頻率采樣法設計FIR 線性相位數(shù)字濾波器這一數(shù)字信號處理中的基本理論,有助于學生深入理解并掌握這一重要的FIR 濾波器設計方法。需要強調的是,頻率采樣法是從頻域出發(fā)直接設計濾波器的,而窗函數(shù)法是從時域出發(fā)設計濾波器的,兩種設計方法各有優(yōu)缺點。窗函數(shù)法設計FIR 數(shù)字濾波器是傅里葉變換的典型運用,而頻率采樣法設計的指導思想是頻域采樣定理及內插公式,其阻帶衰減的改善是通過增加過渡采樣點實現(xiàn)的,同時為保證過渡帶寬的不變,濾波器的采樣點數(shù)也要相應增加,計算復雜度也隨之成倍增加,這就要求在用頻率采樣法設計FIR 濾波器時,要綜合考慮阻帶衰減和濾波器長度的要求,從而達到設計的最優(yōu)化。參

17、考 文 獻1丁玉美,高西全.數(shù)字信號處理M .西安:西安電子科技大學出版社,2002.2Jo hn G Pro akis.數(shù)字信號處理M .方艷梅,劉永清,譯.4版.北京:電子工業(yè)出版社,2007.3程佩青.數(shù)字信號處理教程M .北京:清華大學出版社,2007.4吳鎮(zhèn)揚.數(shù)字信號處理M .北京:高等教育出版社,2004.5胡廣書.數(shù)字信號處理導論M .北京:清華大學出版社,2006.(下轉第90頁現(xiàn)代電子技術 2010年第17期總第328期通信與信息技術可看到此時:C=0000100010010110101100111011010 000100010010110101011010100010

18、0 0010001001011001100100000011011 0100010000100100000000101110110 1000000001001010000110010110001 123423456789 1020734142909109182676285圖4 R S編譯結果仿真圖4 FPGA實現(xiàn)通過RS編碼后的數(shù)據(jù)為5%31的矩陣,形如:C=a0a1!a29a30b0b1!b29b30c0c1!c29c30d0d1!d29d30e0e1!e29e30將5行數(shù)據(jù)交織編碼,交織度為I=510,得到(a0b0c0d0e0a1b1c1d1e1!a30b30c30d30e30的形式,利

19、用示波器從串口讀出,得到波形圖如圖5所示。圖5 示波器上觀察到的交織編碼后串行輸出結果5 結 語給出的RS編碼器設計方法對生成多項式進行了優(yōu)化,使得ROM中需要存入的乘法表大幅減少,模擬模二運算的步驟設計編碼過程,最終燒入FPGA中,利用示波器采集到了正確的數(shù)據(jù),證明RS編碼器編碼正確。本文介紹的RS編碼器設計方法簡單,占用資源少。參 考 文 獻1胡國慶,馬丕明,宋文瞳.FP GA內RS編碼器的3種算法實現(xiàn)J.無線電通信技術,2009,35(2:52 55.2張澤云,徐朝陽,張友益.R S(255,247譯碼器的FP GA實現(xiàn)J.艦船電子對抗,2008,32(1:92 96.3任友.RS碼編譯碼算法研究及其硬件實現(xiàn)D.成都:電子科技大學,2003.4單寶堂,王延豪,崔玉紅.高速率多模式RS編解碼系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)J.應用天地,2009,28(3:73 77.5李秀娟,孟克其勞,李勇,等.基于F PG A的R S(31,23編碼器設計J.機械工程與自動化