課件：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 基礎(chǔ)知識(shí)是形成學(xué)科能力的源頭。本欄目根據(jù)課標(biāo)要求，基礎(chǔ)知識(shí)是形成學(xué)科能力的源頭。本欄目根據(jù)課標(biāo)要求，精準(zhǔn)梳理，清晰呈現(xiàn)主要知識(shí)及內(nèi)在關(guān)系。關(guān)鍵處合理挖空、精準(zhǔn)梳理，清晰呈現(xiàn)主要知識(shí)及內(nèi)在關(guān)系。關(guān)鍵處合理挖空、易錯(cuò)處及時(shí)提醒，多策并舉，夯實(shí)基礎(chǔ)。請(qǐng)以此為載體，安排易錯(cuò)處及時(shí)提醒，多策并舉，夯實(shí)基礎(chǔ)。請(qǐng)以此為載體，安排學(xué)生課前預(yù)習(xí)，以便打造高效課堂！學(xué)生課前預(yù)習(xí)，以便打造高效課堂！1.1.會(huì)用散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系會(huì)用散點(diǎn)圖分析兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系. .2.2.會(huì)求回歸方程，掌握建立回歸模型的步驟，會(huì)選擇回歸模型會(huì)求回歸方程，掌握建立回歸模型

2、的步驟，會(huì)選擇回歸模型. . 1.1.本節(jié)課的重點(diǎn)是了解回歸模型，了解模型擬合效果的分析工本節(jié)課的重點(diǎn)是了解回歸模型，了解模型擬合效果的分析工具具殘差分析和殘差分析和R R2 2. .2.2.本節(jié)課的難點(diǎn)是解釋殘差、理解本節(jié)課的難點(diǎn)是解釋殘差、理解R R2 2的含義的含義. . 1.1.線性回歸模型線性回歸模型(1)(1)回歸直線方程回歸直線方程y=bx+a$ $nii=11xnnii=11yny-bx$(x y)，其中其中 的計(jì)算公式還可以寫成的計(jì)算公式還可以寫成 _(2)(2)線性回歸模型：線性回歸模型：y=bx+a+e.y=bx+a+e.其中其中e e稱為隨機(jī)誤差稱為隨機(jī)誤差. .nii

3、i 1n22ii 1x ynxyxnxb$b$2.2.刻畫回歸效果的形式刻畫回歸效果的形式(1)(1)殘差分析殘差分析殘差圖：作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差圖：作圖時(shí)縱坐標(biāo)為_，橫坐標(biāo)可以選為，橫坐標(biāo)可以選為_，或，或_，或，或_等，這樣作出的圖形稱等，這樣作出的圖形稱為殘差圖為殘差圖. .殘差分析：殘差點(diǎn)比較殘差分析：殘差點(diǎn)比較_地落在水平的帶狀區(qū)域中，說地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度_，說明，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高. .殘差殘差樣本編樣本編號(hào)號(hào)身高數(shù)據(jù)身高數(shù)據(jù)體

4、重估計(jì)值體重估計(jì)值均勻均勻越窄越窄(2)(2)殘差平方和殘差平方和公式公式殘差平方和為殘差平方和為 刻畫方式刻畫方式殘差平方和殘差平方和_，模型擬合效果越好，模型擬合效果越好. .n2iii 1yy$（）越小越小(3)(3)相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R R2 2公式公式R R2 2=1- .=1- . _ _ 意義意義R R2 2表示表示_變量對(duì)于變量對(duì)于_變量變化的貢獻(xiàn)率變量變化的貢獻(xiàn)率. .刻畫刻畫方式方式R R2 2越越_于于1 1，表示回歸的效果越好，表示回歸的效果越好. . n2iii 1n2ii 1yyyy$（）（）解釋解釋預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)接近接近1.1.線性回歸模型是函數(shù)關(guān)系嗎？線性回歸模型是函數(shù)

5、關(guān)系嗎？提示：提示：y=bx+a+ey=bx+a+e與函數(shù)關(guān)系不同，在回歸模型中，與函數(shù)關(guān)系不同，在回歸模型中，y y的值由的值由x x和和隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差e e共同確定，即共同確定，即x x只能解釋部分只能解釋部分y y的變化的變化. .因此有時(shí)我們因此有時(shí)我們把把x x稱為解釋變量，把稱為解釋變量，把y y稱為預(yù)報(bào)變量稱為預(yù)報(bào)變量. .2.2.要確定回歸方程，需確定的量是什么？要確定回歸方程，需確定的量是什么？提示：提示：要確定回歸直線方程，關(guān)鍵是確定要確定回歸直線方程，關(guān)鍵是確定 和和 的值的值. .3.3.對(duì)于回歸方程對(duì)于回歸方程 =4.75x+257,=4.75x+257,當(dāng)當(dāng)x=2

6、8x=28時(shí)，時(shí)，y y的估計(jì)值是的估計(jì)值是_._.【解析解析】把把x=28x=28代入方程代入方程 =4.75x+257=4.75x+257得得 =4.75=4.7528+257=28+257=390.390.答案：答案：390390y$y$y$b$a$4.4.若一個(gè)樣本中，若一個(gè)樣本中， 則相關(guān)指數(shù)則相關(guān)指數(shù)R R2 2等于等于_._.【解析解析】答案：答案：0.950.95nn22iiii 1i 1yy100,yy5$（）（） ，n2ii2i 1n2ii 1yy5R110.95.100yy $（）（）1.1.隨機(jī)誤差產(chǎn)生的三個(gè)原因隨機(jī)誤差產(chǎn)生的三個(gè)原因(1)(1)由線性回歸模型近似真實(shí)模

7、型由線性回歸模型近似真實(shí)模型( (真實(shí)模型是客觀存在的，通真實(shí)模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實(shí)模型是什么常我們并不知道真實(shí)模型是什么) )所引起的誤差所引起的誤差. .可能存在非線可能存在非線性的函數(shù)能夠更好地描述性的函數(shù)能夠更好地描述y y與與x x之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果會(huì)產(chǎn)生誤差函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果會(huì)產(chǎn)生誤差. .這種由模型近似所引這種由模型近似所引起的誤差包含在起的誤差包含在e e中中. .(2)(2)忽略了某些因素的影響忽略了某些因素的影響. .影響變量影響變量y y的因素不只有變量的因素不只有變量x x，可，可能還包

8、括其他許多因素能還包括其他許多因素( (例如，在描述身高和體重關(guān)系的模型例如，在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會(huì)受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生中，體重不僅受身高的影響，還會(huì)受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等其他因素的影響長環(huán)境等其他因素的影響) )，它們的影響都體現(xiàn)在，它們的影響都體現(xiàn)在e e中中. .(3)(3)觀測誤差觀測誤差. .由于測量工具等原因，導(dǎo)致由于測量工具等原因，導(dǎo)致y y的觀測值產(chǎn)生誤差的觀測值產(chǎn)生誤差( (比如一個(gè)人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會(huì)得到不同的比如一個(gè)人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會(huì)得到不同的觀測值，與真實(shí)值之間存在誤差觀測值，與真實(shí)值之間存在

9、誤差) )，這樣的誤差也包含在，這樣的誤差也包含在e e中中. .2.2.殘差分析判斷模型擬合效果的方法殘差分析判斷模型擬合效果的方法計(jì)算殘差計(jì)算殘差 計(jì)算出殘差計(jì)算出殘差作殘差圖作殘差圖 如果樣本點(diǎn)的殘差較大，就要分析樣本數(shù)據(jù)的如果樣本點(diǎn)的殘差較大，就要分析樣本數(shù)據(jù)的 采集是否有錯(cuò)誤；另一方面，可以通過殘差點(diǎn)采集是否有錯(cuò)誤；另一方面，可以通過殘差點(diǎn) 分布的水平帶狀區(qū)域的寬窄說明模型擬合效分布的水平帶狀區(qū)域的寬窄說明模型擬合效 果，反映回歸方程的預(yù)報(bào)精度果，反映回歸方程的預(yù)報(bào)精度. .帶狀區(qū)域的寬度帶狀區(qū)域的寬度 越窄，說明模型的擬合精度越高，回歸方程的越窄，說明模型的擬合精度越高，回歸方程的

10、 預(yù)報(bào)精度越高預(yù)報(bào)精度越高. .iiiiieyyybxa,i1,2,n$橫坐標(biāo)選取為樣本編號(hào)或解釋變量或預(yù)報(bào)變橫坐標(biāo)選取為樣本編號(hào)或解釋變量或預(yù)報(bào)變量，縱坐標(biāo)為殘差，作出殘差圖量，縱坐標(biāo)為殘差，作出殘差圖. .殘差分析殘差分析3.3.利用利用R R2 2進(jìn)行兩個(gè)模型擬合效果的比較進(jìn)行兩個(gè)模型擬合效果的比較對(duì)于給定的樣本點(diǎn)對(duì)于給定的樣本點(diǎn)(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2),),，(x(xn n,y,yn n) )，兩個(gè)含有未，兩個(gè)含有未知參數(shù)的模型知參數(shù)的模型(1) (1) 和和(2) (2) 其中其中a a和和b b都是都是未知參數(shù)，可以按如下的步驟來比較它們的

11、擬合效果：未知參數(shù)，可以按如下的步驟來比較它們的擬合效果：21yf(x,a)e,E(e)0,D(e) 22yg(x,b),E( )0,D( ), 分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程其中其中 和和 分別是參數(shù)分別是參數(shù)a a和和b b的估計(jì)值的估計(jì)值. .分別計(jì)算模型分別計(jì)算模型(1)(1)和模型和模型(2)(2)的的若若 則模型則模型(1)(1)的擬合效果比模型的擬合效果比模型(2)(2)好；如果好；如果 則模型則模型(1)(1)的擬合效果不如模型的擬合效果不如模型(2).(2). (1)(2)yf(x,a)yg(x,b),$與a$b$2212RR .，2212R

12、R，21R 22R ， 核心要點(diǎn)是提升學(xué)科素養(yǎng)的關(guān)鍵。本欄目突破核心要點(diǎn)，核心要點(diǎn)是提升學(xué)科素養(yǎng)的關(guān)鍵。本欄目突破核心要點(diǎn)，講練結(jié)合，提醒認(rèn)知誤區(qū)，點(diǎn)撥規(guī)律技巧，循序漸進(jìn)，培養(yǎng)主講練結(jié)合，提醒認(rèn)知誤區(qū)，點(diǎn)撥規(guī)律技巧，循序漸進(jìn)，培養(yǎng)主動(dòng)思考意識(shí)，提升自主探究能力。請(qǐng)根據(jù)授課情況有選擇地講動(dòng)思考意識(shí)，提升自主探究能力。請(qǐng)根據(jù)授課情況有選擇地講解，幫助學(xué)生理解突破教材重難點(diǎn)！解，幫助學(xué)生理解突破教材重難點(diǎn)！ 求回歸方程求回歸方程【技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥】1.1.對(duì)線性回歸分析的認(rèn)識(shí)對(duì)線性回歸分析的認(rèn)識(shí)在研究兩個(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來判斷它們?cè)谘芯績蓚€(gè)變量之間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來判斷它

13、們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，具備相是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)，具備相關(guān)關(guān)系時(shí)再求回歸方程關(guān)關(guān)系時(shí)再求回歸方程. .如果本身兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系，如果本身兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系，或者說它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，那么即使求出回歸方程也或者說它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，那么即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測也是不可信的是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測也是不可信的.(.(關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：用散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)用散點(diǎn)圖判斷是否線性相關(guān)) )2.2.求線性回歸方程的步驟求線性回歸方程的步驟列表列表 表示表示 列表表示出列表表示出x xi i,y,

14、yi i過程過程 計(jì)算計(jì)算 根據(jù)上面數(shù)據(jù)計(jì)算根據(jù)上面數(shù)據(jù)計(jì)算nn2iiin=1n=1x,y,x ,x y代入代入 計(jì)算計(jì)算 代入公式可以計(jì)算出代入公式可以計(jì)算出 的具體數(shù)值的具體數(shù)值 b,a$ $寫出寫出 方程方程 由上面計(jì)算的結(jié)果可得出結(jié)論方程由上面計(jì)算的結(jié)果可得出結(jié)論方程y=bx+a$ $【典例訓(xùn)練典例訓(xùn)練】1.1.某種產(chǎn)品的產(chǎn)量某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(x(臺(tái)臺(tái)) )與單位產(chǎn)品成本與單位產(chǎn)品成本y(y(元元/ /臺(tái)臺(tái)) )之間的回歸方之間的回歸方程為程為 =356-1.5x=356-1.5x，這說明，這說明( )( )(A)(A)產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本增加產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本增加3

15、56356元元(B)(B)產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本減少產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本減少1.51.5元元(C)(C)產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本平均增加產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本平均增加356356元元(D)(D)產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本平均減少產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本平均減少1.51.5元元y$2.2.煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉鋼是一個(gè)氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長短，因此必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系煉時(shí)間的長短，因此必須掌握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系. .如果已測得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水的含碳量如果已測得爐料熔化完畢時(shí)，鋼水

16、的含碳量x x與冶煉時(shí)間與冶煉時(shí)間y(y(從從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間) )的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x(0.01%)x(0.01%)104104180180190190177177147147134134150150191191204204121121y(min)y(min)100100200200210210185185155155135135170170205205235235125125 (1)(1)作出散點(diǎn)圖，你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)含碳量與冶煉時(shí)間的一作出散點(diǎn)圖，你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)含碳量與冶煉時(shí)間的一般規(guī)律嗎？般規(guī)律嗎？(2)(2)求回歸方程

17、；求回歸方程；(3)(3)預(yù)測當(dāng)鋼水含碳量為預(yù)測當(dāng)鋼水含碳量為160160時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？時(shí)，應(yīng)冶煉多少分鐘？【解析解析】1.1.選選D.D.由題意，該方程在由題意，該方程在R R上為單調(diào)遞減，函數(shù)模型上為單調(diào)遞減，函數(shù)模型是一個(gè)遞減的函數(shù)模型，產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本下降是一個(gè)遞減的函數(shù)模型，產(chǎn)量每增加一臺(tái)，單位產(chǎn)品成本下降1.51.5元元. .故選故選D.D.2.(1)2.(1)以以x x軸表示含碳量，軸表示含碳量，y y軸表示冶煉時(shí)間，作散點(diǎn)圖如圖所軸表示冶煉時(shí)間，作散點(diǎn)圖如圖所示，示，從圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，即它們線性相關(guān)從圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，

18、即它們線性相關(guān). .(2)(2)列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算：列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算：i i1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 x xi i104104180180190190177177147147134134150150191191204204121 121 y yi i100100200200210210185185155155135135170170205205235235125 125 x xi iy yi i10 40010 40036 00036 00039 90039 90032 745 32 745 22 78522 78518 09

19、018 09025 50025 50039 15539 15547 94047 94015 12515 12510102iiii 1i 1x159.8,y172,x265 448,x y287 640 設(shè)所求的回歸方程為設(shè)所求的回歸方程為 所以所求的回歸方程為所以所求的回歸方程為(3)(3)當(dāng)當(dāng)x=160 x=160時(shí)，時(shí)， 1.2671.267160-30.51172(min)160-30.51172(min)，即冶煉時(shí)間，即冶煉時(shí)間大約為大約為172 min.172 min.10iii 11022ii 1x y10 xyybxa,b1.267x10 x$ $aybx30.51. $y1.2

20、67x30.51.$y $【歸納歸納】解答題解答題1 1的關(guān)鍵點(diǎn)和解答題的關(guān)鍵點(diǎn)和解答題2 2時(shí)易忽視的問題時(shí)易忽視的問題. .提示提示: :(1)(1)解答回歸直線問題時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確理解回歸直線方程中各參解答回歸直線問題時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確理解回歸直線方程中各參數(shù)的意義數(shù)的意義. .(2)(2)求回歸直線方程時(shí)一定要記牢公式，準(zhǔn)確計(jì)算求回歸直線方程時(shí)一定要記牢公式，準(zhǔn)確計(jì)算. .因?yàn)榛貧w方因?yàn)榛貧w方程所求的量大都是估計(jì)數(shù)值，所以要注意一些關(guān)鍵詞的使用，程所求的量大都是估計(jì)數(shù)值，所以要注意一些關(guān)鍵詞的使用，如如“估計(jì)估計(jì)”“”“約為約為”，這是易忽視的問題，這是易忽視的問題. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】某種產(chǎn)品的廣

21、告費(fèi)用支出某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)用支出x x萬元與銷售額萬元與銷售額y y萬元之萬元之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：(1)(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y y關(guān)于關(guān)于x x的回歸直線方程；的回歸直線方程；(2)(2)據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為據(jù)此估計(jì)廣告費(fèi)用為1010萬元時(shí)，所得的銷售收入萬元時(shí)，所得的銷售收入. .x x2 24 45 56 68 8y y20203030505050507070552iiii 1i 1(x145,x y1 270)【解題指南解題指南】正確利用求回歸直線方程的步驟求解，注意數(shù)據(jù)正確利用求回歸直線方程的步驟求解，注意數(shù)據(jù)計(jì)算的準(zhǔn)確性計(jì)算的準(zhǔn)確

22、性. .【解析解析】(1)(1)24568x5,5 2030505070y445，5iii 1522ii 1x y5xy1 2705 5 44b8.51455 25x5x $，回歸直線方程為回歸直線方程為(2)(2)當(dāng)當(dāng)x=10 x=10時(shí)，時(shí)，預(yù)報(bào)預(yù)報(bào)y y的值為的值為aybx448.5 51.5 $，y8.5x1.5;$y8.5 101.586.5().萬元$ 殘差分析殘差分析【技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥】1.1.殘差分析殘差分析在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)們是否線性相關(guān)，

23、是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù). .然后然后我們可以通過殘差我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果、判斷原來判斷模型擬合的效果、判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析析.(.(關(guān)鍵詞：用殘差來判斷擬合效果關(guān)鍵詞：用殘差來判斷擬合效果) )12ne ,e ,e$ $2.2.殘差圖的分析方法殘差圖的分析方法殘差圖的縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)通?？梢允菢颖揪幪?hào)、解釋變殘差圖的縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)通?？梢允菢颖揪幪?hào)、解釋變量或預(yù)報(bào)變量等，殘差圖是一種散點(diǎn)圖量或預(yù)報(bào)變量等，殘差圖是一種散點(diǎn)圖. .殘差散點(diǎn)圖中的殘差殘差散點(diǎn)圖中的殘差點(diǎn)

24、比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，并且沿水平方向散點(diǎn)的點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，并且沿水平方向散點(diǎn)的分布規(guī)律相同，說明殘差是隨機(jī)的，所選擇的回歸模型建模是分布規(guī)律相同，說明殘差是隨機(jī)的，所選擇的回歸模型建模是合理的，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，合理的，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.(.(關(guān)鍵詞：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水關(guān)鍵詞：殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域中平帶狀區(qū)域中) )【典例訓(xùn)練典例訓(xùn)練】1.1.給出下列結(jié)論：給出下列結(jié)論：(1)(1)回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種回歸分析是對(duì)

25、具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法常用方法. .(2)(2)在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)在回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)R R2 2的值判斷模型的擬合效果，的值判斷模型的擬合效果，R R2 2越大，模型的擬合效果越好越大，模型的擬合效果越好( (其中其中 ).).n2ii2i 1n2ii 1(yy )R1(yy) $(3)(3)在回歸分析中，可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘?jiān)诨貧w分析中，可用殘差平方和判斷模型的擬合效果，殘差平方和越大，模型的擬合效果越好差平方和越大，模型的擬合效果越好. .(4)(4)在回歸分析中，可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)在回歸分析中，可用殘差圖判斷模型

26、的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適. .帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高. .以上結(jié)論中，正確的有以上結(jié)論中，正確的有( )( )個(gè)個(gè). .(A)1 (B)2 (A)1 (B)2 (C)3 (C)3 (D)4 (D)42.2.已知某商品的價(jià)格已知某商品的價(jià)格x(x(元元) )與需求量與需求量y(y(件件) )之間的關(guān)系有如下一之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)組數(shù)據(jù)x x14141616181820202222y y121210107 75 53 3(1)(1)

27、畫出畫出y y關(guān)于關(guān)于x x的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖; ;(2)(2)求出回歸直線方程求出回歸直線方程; ;(3)(3)計(jì)算計(jì)算R R2 2的值，并說明回歸模型擬合程度的好壞的值，并說明回歸模型擬合程度的好壞( (參考數(shù)據(jù)：參考數(shù)據(jù)：5555222iiiiiii 1i 1i 1i 1x18,y7.4,x1660,y327,x y620,(yy )$52ii 10.3,(yy)53.2).【解析解析】1.1.選選C.C.解題流程：解題流程：2.2.解題流程：解題流程： 畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖 計(jì)算數(shù)據(jù)計(jì)算數(shù)據(jù) 回歸直線回歸直線55522iiiii=1i=1i=15iii=1522ii=1x=18,y=7.4,

28、x =1660,y =327,x y =620,x y -5xyb=-1.15,a=y-bx=28.1.x -5x$所以回歸直線方程為回歸直線方程為: :y=-1.15x+28.1$ 計(jì)算計(jì)算R R2 2值值 結(jié)論結(jié)論回歸模型擬合效果很回歸模型擬合效果很好好. .55222iiii=1i=1(y -y ) =0.3,(y -y) =53.2,R =$52iii=152ii=1(y -y )1-0.994,(y -y)$【互動(dòng)探究互動(dòng)探究】在本題條件不變的情況下，畫出殘差圖在本題條件不變的情況下，畫出殘差圖. .【解析解析】【想一想想一想】R R2 2與殘差平方和有什么關(guān)系？與殘差平方和有什么關(guān)

29、系？提示提示: :R R2 2越大，殘差平方和越??；反之，殘差平方和越大越大，殘差平方和越小；反之，殘差平方和越大. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了1010次試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)如下：次試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)如下：編號(hào)編號(hào)1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010零件數(shù)零件數(shù)x/x/個(gè)個(gè)101020203030404050506060707080809090100100加工時(shí)間加工時(shí)間y/y/分分626268687575818189899595102102108

30、108115115122122(1)(1)建立以零件數(shù)為解釋變量，加工時(shí)間為預(yù)報(bào)變量的回歸模建立以零件數(shù)為解釋變量，加工時(shí)間為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差；型，并計(jì)算殘差；(2)(2)你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫零件數(shù)和加工時(shí)間的關(guān)系你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫零件數(shù)和加工時(shí)間的關(guān)系嗎？嗎？【解析解析】(1)(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，從而可以判斷出用線根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，從而可以判斷出用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)性回歸模型來擬合數(shù)據(jù). .計(jì)算得加工時(shí)間對(duì)零件數(shù)的線性回歸方程為計(jì)算得加工時(shí)間對(duì)零件數(shù)的線性回歸方程為y0.668x54.93.$殘差數(shù)據(jù)如下表：殘差數(shù)據(jù)如下表： 編號(hào)編號(hào) 1 12

31、 23 34 45 5 殘差殘差0.390.39-0.29-0.290.030.03-0.65-0.650.670.67 編號(hào)編號(hào)6 67 78 89 91010 殘差殘差-0.01-0.010.310.31-0.37-0.37-0.05-0.050.27 0.27 e$e$(2)(2)以零件數(shù)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作出殘差圖如圖所示以零件數(shù)為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)作出殘差圖如圖所示. .由圖可知，殘差點(diǎn)分布較均勻，即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效由圖可知，殘差點(diǎn)分布較均勻，即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好，但需注意，由殘差圖也可以看出，第果很好，但需注意，由殘差圖也可以看出，第4 4個(gè)樣本和第個(gè)樣本

32、和第5 5個(gè)個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過程中樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個(gè)樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯(cuò)誤是否有人為的錯(cuò)誤. . 非線性回歸分析非線性回歸分析【技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥】1.1.求非線性回歸方程的步驟求非線性回歸方程的步驟(1)(1)確定變量，作出散點(diǎn)圖；確定變量，作出散點(diǎn)圖；(2)(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)；根據(jù)散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)；(3)(3)變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回變量置換，通過變量置換把非線性回歸問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題，并求出線性回歸方程；歸問題，并求出線性回歸方程；(4)(4)分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)

33、指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合分析擬合效果：通過計(jì)算相關(guān)指數(shù)或畫殘差圖來判斷擬合效果；效果；(5)(5)根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程根據(jù)相應(yīng)的變換，寫出非線性回歸方程. .2.2.常見的幾種變形形式常見的幾種變形形式(1)(1)冪函數(shù)曲線冪函數(shù)曲線y=axy=axb b兩邊取對(duì)數(shù)變形為兩邊取對(duì)數(shù)變形為lny=lna+blnx,lny=lna+blnx,令令y=lny,x=lnx,y=lny,x=lnx,a=lnaa=lna，從而得到，從而得到y(tǒng)=a+bx.y=a+bx.(2)(2)指數(shù)函數(shù)曲線指數(shù)函數(shù)曲線y=aey=aebxbx兩邊取對(duì)數(shù)變形為兩邊取對(duì)數(shù)變形為lny=lna+bx,lny=ln

34、a+bx,令令y=lny,a=lna,y=lny,a=lna,從而得到從而得到y(tǒng)=a+bx.y=a+bx.(3)(3)負(fù)指數(shù)函數(shù)曲線負(fù)指數(shù)函數(shù)曲線兩邊取對(duì)數(shù)變形為兩邊取對(duì)數(shù)變形為 令令y=lny, a=lnay=lny, a=lna得得y=a+bx.y=a+bx.(4)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)曲線對(duì)數(shù)函數(shù)曲線y=a+blnxy=a+blnx令令x=lnxx=lnx，得，得y=a+bxy=a+bxbxyaeblnylna,x1x,x 【典例訓(xùn)練典例訓(xùn)練】1.1.兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖，可考慮用如下函數(shù)進(jìn)行擬合比較合兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖如圖，可考慮用如下函數(shù)進(jìn)行擬合比較合理的是理的是( )( )(A)y=ax(A

35、)y=axb b (B)y=a+blnx(B)y=a+blnx(C)y=ae(C)y=aebx bx (D)(D)bxya e g2.2.在某化學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測得如下表所示的在某化學(xué)實(shí)驗(yàn)中，測得如下表所示的6 6組數(shù)據(jù)，其中組數(shù)據(jù)，其中x/minx/min表表示化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行的時(shí)間，示化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行的時(shí)間，y/mgy/mg表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量表示未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量. .(1)(1)設(shè)設(shè)y y與與x x之間具有函數(shù)關(guān)系之間具有函數(shù)關(guān)系y=cdy=cdx x，試根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計(jì)，試根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計(jì)c c和和d d的值；的值；(2)(2)估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10 min10 min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)

36、的質(zhì)量時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量. .x/minx/min1 12 23 34 45 56 6y/mgy/mg39.839.832.232.225.425.420.320.316.216.213.313.3【解析解析】1.1.選選B.B.由散點(diǎn)圖知，此曲線類似對(duì)數(shù)函數(shù)型曲線，可由散點(diǎn)圖知，此曲線類似對(duì)數(shù)函數(shù)型曲線，可用用B B項(xiàng)函數(shù)進(jìn)行擬合項(xiàng)函數(shù)進(jìn)行擬合. .2.(1)2.(1)在在y=cdy=cdx x的兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得的兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得lny=lnc+xlnd.lny=lnc+xlnd.設(shè)設(shè)lny=z,lnc=a,lnd=b,lny=z,lnc=a,lnd=b,則則z=a+bx,z=a+b

37、x,由已知數(shù)據(jù)可得下表由已知數(shù)據(jù)可得下表. .x/minx/min1 12 23 34 45 56 6y/mgy/mg39.839.832.232.225.425.420.320.316.216.213.313.3z=lnyz=lny3.6843.6843.4723.4723.2353.2353.0113.0112.7852.7852.5882.588由公式，得由公式，得 所以所以所以線性回歸方程所以線性回歸方程即即lnc3.905 7,lnd-0.221 9,lnc3.905 7,lnd-0.221 9,所以所以c49.685,d0.801 0.c49.685,d0.801 0.故根據(jù)測量數(shù)

38、據(jù)估計(jì)故根據(jù)測量數(shù)據(jù)估計(jì)c49.685,d0.801 0.c49.685,d0.801 0.(2)(2)由由(1)(1)知知y y與與x x之間的關(guān)系為之間的關(guān)系為y=49.685y=49.6850.801 00.801 0 x x，當(dāng)，當(dāng)x=10 x=10時(shí)，時(shí)，y y的估計(jì)值為的估計(jì)值為49.68549.6850.801 00.801 010105.4.5.4.所以估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到所以估計(jì)化學(xué)反應(yīng)進(jìn)行到10 min10 min時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量為時(shí)未轉(zhuǎn)化物質(zhì)的質(zhì)量為5.4 mg.5.4 mg.b0.221 9, $a3.905 7,$z3.905 70.221 9x$，【思考思考】(1)

39、(1)解答題解答題2 2最容易犯的錯(cuò)誤是什么？最容易犯的錯(cuò)誤是什么？(2)(2)保留放在保留放在2 2題中非線性目標(biāo)函數(shù)回歸分析的關(guān)鍵是什么？題中非線性目標(biāo)函數(shù)回歸分析的關(guān)鍵是什么？提示提示: :(1)(1)解答題解答題2 2最容易犯把非線性看成線性目標(biāo)函數(shù)來解答最容易犯把非線性看成線性目標(biāo)函數(shù)來解答的錯(cuò)誤的錯(cuò)誤. .(2)(2)非線性目標(biāo)函數(shù)回歸分析的關(guān)鍵是采用轉(zhuǎn)化、化歸的思想，非線性目標(biāo)函數(shù)回歸分析的關(guān)鍵是采用轉(zhuǎn)化、化歸的思想，把非線性回歸分析轉(zhuǎn)化為線性回歸分析來解決把非線性回歸分析轉(zhuǎn)化為線性回歸分析來解決. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5 5

40、個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：如下表：試建立試建立y y與與x x之間的回歸方程之間的回歸方程. .【解題指南解題指南】首先畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖考慮把非線性相關(guān)首先畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖考慮把非線性相關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系來解決關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)關(guān)系來解決. .x x0.250.250.50.51 12 24 4y y161612125 52 21 1【解析解析】由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如圖，由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知根據(jù)散點(diǎn)圖可知y y與與x x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè) 令令 則則 原數(shù)據(jù)變?yōu)椋涸瓟?shù)據(jù)變?yōu)椋簍 t4 42 21 10.50.50.2

41、50.25y y161612125 52 21 1ky,x$1t,xykt$，由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出由散點(diǎn)圖可以看出y y與與t t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：i it ti iy yi it ti iy yi i1 14 41616646416162562562 22 2121224244 41441443 31 15 55 51 125254 40.50.52 21 10.250.254 45 50.250.251 10.250.250.062 50.062 51 17.757.75363694.25

42、94.2521.312 521.312 54304302it2iy所以所以所以所以所以所以所以所以y y與與x x的回歸方程是的回歸方程是t1.55,y7.2.5iii 1522ii 1t y5tyb4.134 4.aybt0.8.t5t$y4.134 4t0.8.$4.134 4y0.8.x$ 規(guī)避誤區(qū)、規(guī)范解答是提高數(shù)學(xué)成績的有效途徑。本欄目規(guī)避誤區(qū)、規(guī)范解答是提高數(shù)學(xué)成績的有效途徑。本欄目通過通過“見式得分，踩點(diǎn)得分見式得分，踩點(diǎn)得分”呈現(xiàn)得分點(diǎn)，點(diǎn)評(píng)失分點(diǎn)，幫助呈現(xiàn)得分點(diǎn)，點(diǎn)評(píng)失分點(diǎn)，幫助學(xué)生形成識(shí)錯(cuò)、糾錯(cuò)、避錯(cuò)能力，借以養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和學(xué)生形成識(shí)錯(cuò)、糾錯(cuò)、避錯(cuò)能力，借以養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

43、數(shù)學(xué)思維和良好的規(guī)范答題習(xí)慣。良好的規(guī)范答題習(xí)慣?！疽族e(cuò)誤區(qū)易錯(cuò)誤區(qū)】回歸方程理解中的誤區(qū)回歸方程理解中的誤區(qū)【典例典例】(2011(2011山東高考山東高考) )某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x x與銷售額與銷售額y y的統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：計(jì)數(shù)據(jù)如下表：根據(jù)上表可得回歸方程根據(jù)上表可得回歸方程 中的中的 為為9.4,9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為告費(fèi)用為6 6萬元時(shí)銷售額為萬元時(shí)銷售額為( )( )廣告費(fèi)用廣告費(fèi)用x(x(萬元萬元) )4 42 23 35 5銷售額銷售額y(y(萬元萬元) )4949262639395454ybxa$b$(A)63.6(A)63.6萬元萬元

44、 (B)65.5(B)65.5萬元萬元(C)67.7(C)67.7萬元萬元 (D)72.0(D)72.0萬元萬元【解題指導(dǎo)解題指導(dǎo)】【解析解析】選選B.B.由表可計(jì)算由表可計(jì)算因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) 在回歸直線在回歸直線 上，且上，且 為為9.4,9.4,所以所以解得解得故回歸方程為故回歸方程為令令x=6x=6得得42357x,4249263954y424，7(,42)2ybxa$b$7429.4a,2$a9.1,$y9.4x9.1,$y65.5.$【閱卷人點(diǎn)撥閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的常見錯(cuò)誤及解通過閱卷后分析，對(duì)解答本題的常見錯(cuò)誤及解題啟示總結(jié)如下：題啟示總結(jié)如下：( (注：此處的見解

45、析過程注：此處的見解析過程) )常常見見錯(cuò)錯(cuò)誤誤 選選C C 在解題過程中，把數(shù)據(jù)中的值，如點(diǎn)在解題過程中，把數(shù)據(jù)中的值，如點(diǎn)(4,49)(4,49)代入代入處的回歸方程，求出處的回歸方程，求出 值，誤認(rèn)為點(diǎn)值，誤認(rèn)為點(diǎn)(4,49)(4,49)在在回歸直線上，而導(dǎo)致出錯(cuò)回歸直線上，而導(dǎo)致出錯(cuò). .再把再把x=6x=6代入取其近似代入取其近似值，錯(cuò)選值，錯(cuò)選C.C.這是極易犯的錯(cuò)誤這是極易犯的錯(cuò)誤. .選選A A或或D D把其他點(diǎn)代入回歸方程，和上面一樣，犯了同樣把其他點(diǎn)代入回歸方程，和上面一樣，犯了同樣的錯(cuò)，或在處把的錯(cuò)，或在處把 求錯(cuò)，而導(dǎo)致錯(cuò)選答案求錯(cuò)，而導(dǎo)致錯(cuò)選答案. .a$(x,y)解

46、解題題啟啟示示(1)(1)回歸直線不一定過樣本中的某一點(diǎn)，應(yīng)該正確理解回回歸直線不一定過樣本中的某一點(diǎn)，應(yīng)該正確理解回歸直線；歸直線；(2)(2)在應(yīng)用回歸方程時(shí)，要時(shí)刻牢記回歸直線一定經(jīng)過樣在應(yīng)用回歸方程時(shí)，要時(shí)刻牢記回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)本中心點(diǎn) (x,y).【即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練】已知已知x x與與y y之間的一組數(shù)據(jù)：之間的一組數(shù)據(jù)：則則y y與與x x的回歸直線的回歸直線 必過必過( )( )(A)(A)點(diǎn)點(diǎn)(2(2，2) (B)2) (B)點(diǎn)點(diǎn)(1.5,0)(1.5,0)(C)(C)點(diǎn)點(diǎn)(1(1，2) (D)2) (D)點(diǎn)點(diǎn)(1.5(1.5，4)4)x x0 01 12 23 3y

47、 y1 13 35 57 7ybxa$【解析解析】選選D.D.樣本點(diǎn)的中心為樣本點(diǎn)的中心為(1.5(1.5，4)4)，線性回歸方程線性回歸方程 必過必過點(diǎn)點(diǎn)(1.5(1.5，4).4).11x(0123)1.5,y(1357)4.44 ybxa$1.1.設(shè)兩個(gè)變量設(shè)兩個(gè)變量x x和和y y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r,yr,y關(guān)于關(guān)于x x的回歸直線的斜率是的回歸直線的斜率是b,b,縱軸上的截距是縱軸上的截距是a,a,那么必有那么必有( )( )(A)b(A)b與與r r的符號(hào)相同的符號(hào)相同 (B)a(B)a與與r r的符號(hào)相同的符號(hào)相同(C)

48、b(C)b與與r r的符號(hào)相反的符號(hào)相反 (D)a(D)a與與r r的符號(hào)相反的符號(hào)相反【解析解析】選選A.A.當(dāng)斜率當(dāng)斜率b b0 0時(shí)，說明兩個(gè)變量正相關(guān)，時(shí)，說明兩個(gè)變量正相關(guān)，r r0 0；當(dāng)斜率當(dāng)斜率b b0 0時(shí)，說明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，時(shí)，說明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，r r0 0，故，故b b與與r r的符號(hào)的符號(hào)相同相同. .2.2.在判斷兩個(gè)變量在判斷兩個(gè)變量y y與與x x是否相關(guān)時(shí)，選擇了是否相關(guān)時(shí)，選擇了4 4個(gè)不同的模型，個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)它們的相關(guān)指數(shù)R R2 2分別為：模型分別為：模型1 1的相關(guān)指數(shù)的相關(guān)指數(shù)R R2 2為為0.980.98，模型，模型2 2的相關(guān)指數(shù)的相關(guān)指數(shù)R R2 2為為0.80,0.80,模型模型3 3的相關(guān)指數(shù)的相關(guān)指數(shù)R R2 2為為0.50,0.50,模型模型4 4的相關(guān)的相關(guān)指數(shù)指數(shù)R R2 2為為0.25,0.25,其中擬合效果最好的模型是其中擬合效果最好的模型是( )