都是張數(shù)惹得“禍”

1、都是張數(shù)惹得“禍” 也談烙餅問(wèn)題一、問(wèn)題提出“五段式”教研活動(dòng)走進(jìn)了濉溪路小學(xué)，做課的董輝老師帶來(lái)一節(jié)烙餅問(wèn)題，引起與會(huì)老師的激烈討論。問(wèn)題情境：小紅的媽媽在廚房里烙餅，這口平底鍋每次只能烙2 張餅，兩面都要烙，每面3 分鐘，小紅和爸爸、媽媽各吃一張餅，怎樣才能讓他們盡快吃上餅？焦點(diǎn)之一：在探究烙3張餅所需時(shí)間時(shí)，絕大部分學(xué)生認(rèn)為所需時(shí)間是12分，給出理由也“相當(dāng)充分”每張鍋只能烙2張（需6分鐘），剩下1張?jiān)倮樱ㄐ?分鐘），一共是12分鐘；部分老師認(rèn)為，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知特點(diǎn)，甚至?xí)霈F(xiàn)無(wú)一人知道烙3張餅最短時(shí)間是9分鐘。如果出現(xiàn)這些情況，執(zhí)教老師該如何應(yīng)對(duì)？焦點(diǎn)之二：學(xué)生在老師的“幫扶

2、”下，通過(guò)實(shí)驗(yàn)、分析、推理、歸納等一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)總結(jié)出烙餅問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型（也可以說(shuō)是公式）：            餅的張數(shù)×3=所需的時(shí)間試問(wèn)一下：學(xué)生真正理解這個(gè)模型的含義了嗎，能不能準(zhǔn)確地表述出烙餅的過(guò)程（尤其是3張餅的情況）？誰(shuí)也不能給出肯定的答案。焦點(diǎn)三：如果一張鍋能烙3張、4張、5張、，又該如何去烙？有沒(méi)有規(guī)律可循，模型建立？做課的董老師在試教時(shí)，也做了大量的有益的嘗試，效果也不是很明顯。與會(huì)的老師們也鮮見(jiàn)有討論類似情況的課例，也不禁會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)：是不是討論一張鍋

3、能烙3張、4張、5張、的情況沒(méi)有任何數(shù)學(xué)價(jià)值，其背后的真正原因又是什么？針對(duì)上述問(wèn)題，可謂是仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。在這里，筆者也苦思良久，總感覺(jué)是餅的張數(shù)“惹得禍”，如果我們從“餅的面數(shù)”入手，教學(xué)效果可能會(huì)峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明。二、解決對(duì)策烙餅問(wèn)題不妨考慮從面數(shù)入手，這比張數(shù)更本質(zhì)。與其說(shuō)烙的是張數(shù)，不如說(shuō)烙的是面數(shù)更為直接、更為本質(zhì)，學(xué)生也能夠理解和接受。教師在出示問(wèn)題并讓學(xué)生讀取數(shù)學(xué)信息的時(shí)候，不僅指出每次烙2張餅，更要進(jìn)一步地強(qiáng)調(diào)每次烙的是2個(gè)面，而且只能烙2個(gè)面，讓學(xué)生在頭腦中留下“烙面數(shù)”印象，為解決烙3張餅問(wèn)題埋下伏筆。接著教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生理解烙3張餅其實(shí)就是烙6個(gè)不同的面，而起每次

4、只能烙2個(gè)面，從而很容易得出：烙3張餅的時(shí)間是，6÷2×3=9（分鐘）。當(dāng)學(xué)生真正理解烙餅的本質(zhì)就是烙的面數(shù)，而且每次只烙2個(gè)不同的面的時(shí)候，便水到渠成地掌握烙3張餅的過(guò)程，并能清楚地表述出來(lái)。比如，學(xué)生會(huì)把3張餅的6個(gè)面進(jìn)行標(biāo)識(shí)（像A1、A2；B1、B2；C1，C2之類），并在保證不能取同一張餅兩個(gè)面的情況下，兩兩組合即把3張餅烙熟，這也是烙3張餅的最佳方法。當(dāng)烙的餅數(shù)為：4張、5張、6張、時(shí)，教師還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從面數(shù)考慮，先計(jì)算出總面數(shù)，再除以2（每次可烙的面數(shù)），再乘3（每次烙的時(shí)間），便求出所需的最短時(shí)間。數(shù)學(xué)模型也隨即建立起來(lái)：   

5、    總面數(shù)÷2×3=所需的時(shí)間，又因?yàn)椤翱偯鏀?shù)=餅的張數(shù)×2”，所以就有       餅的張數(shù)×3=所需的時(shí)間?？傊?，學(xué)生理解這個(gè)模型的真正含義后，就能很快計(jì)算出烙餅所需的時(shí)間（ 總面數(shù)÷2×3），再動(dòng)手操作驗(yàn)證或語(yǔ)言表述過(guò)程都會(huì)顯得那么輕松流暢。學(xué)生一旦把握住烙餅的本質(zhì)就是烙餅的面數(shù)，當(dāng)我們改變烙餅的形式時(shí)每張鍋?zhàn)疃嗫衫?張餅、4張餅、5張餅等等，學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推導(dǎo)歸納出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，即 總面數(shù)÷每次可烙的面數(shù)&#

6、215;每次烙的時(shí)間=所需的時(shí)間， （ 用字母表示：M ÷ m × t = T ） 當(dāng)m=2時(shí)，就是每張鍋烙2張餅的情況，無(wú)論餅的張數(shù)是單，是雙，面數(shù)M總是雙數(shù)，M ÷ 2等于整數(shù)，也就是說(shuō)鍋總能被充分利用，也就存在最優(yōu)化策略。當(dāng)m=3、4、5、時(shí)，M ÷ m結(jié)果是有余數(shù)的，鍋就不能保證被充分利用，就不存在節(jié)省時(shí)間，節(jié)約成本的最優(yōu)化問(wèn)題，這也許是我們不去討論一張鍋能烙3張餅、4張餅、5張餅、的真正原因吧。 另辟蹊徑，總能柳暗花明。如果我們?cè)囍鴱拿鏀?shù)去探究烙餅問(wèn)題，改變一下教學(xué)思路，重新設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，如何引導(dǎo)讓學(xué)生從面數(shù)去考慮

7、烙餅問(wèn)題，如何將一張鍋可烙2張餅、3張餅、進(jìn)行有效整合去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，帶著這些問(wèn)題再去課堂實(shí)踐，或許會(huì)出現(xiàn)令人耳目一新的教學(xué)景象呢？我想這也是一件非常有意義的事，值得一試。 三、一點(diǎn)感想把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通曉它的變化形式，我們的數(shù)學(xué)課堂才會(huì)充滿智慧和靈動(dòng)這也是本節(jié)課給我的最大感觸和收獲。還是從烙餅問(wèn)題談起。無(wú)論每張鍋可烙2張、3張、4張、，還是用一張鍋去烙不同數(shù)量的餅，變化的是每張鍋可烙餅的張數(shù)或同一鍋中餅的不同名稱，不變的是每次可烙的面數(shù)和要烙不同的面。變得是形式，不變的是本質(zhì)。從最優(yōu)化的角度來(lái)看，烙餅問(wèn)題和打電話問(wèn)題在本質(zhì)上也是一致的。一個(gè)是保證鍋不能空著，一個(gè)是保證人不能閑著，都是最

8、大限度地利用時(shí)間，利用成本，這也是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。 從余數(shù)理論的角度來(lái)看，烙餅問(wèn)題與找次品、搶數(shù)在原理上也是相通的，都是按余數(shù)分類討論。 烙餅問(wèn)題在解決一張鍋只能烙2張餅時(shí)，用餅數(shù)除以2，余數(shù)是1或0。余數(shù)是0時(shí)，餅數(shù)為雙數(shù)，2張2張地烙，所需時(shí)間最短；余數(shù)是1時(shí)，餅數(shù)為單數(shù)，2張2張地烙，剩下3張按最佳方法烙，所需時(shí)間最短。 找次品先把物品盡量3等分，使得最多的一份和最少的一份相差1。任何數(shù)除以3，余數(shù)是2或1或0。物品數(shù)除以3，余0時(shí)，平均分成3份；余1時(shí)，最多的一份和最少的一份相差1；余2時(shí)，把2均分到其中2份，使得最多的一份和最少的一份也相差1。 搶數(shù)不妨以搶3為例，規(guī)則：兩人從1開(kāi)始輪流往后報(bào)數(shù)，每次至少報(bào)1個(gè)數(shù)，最多報(bào)2個(gè)數(shù)，誰(shuí)先搶到指定數(shù)誰(shuí)贏。這里運(yùn)用余數(shù)理論，掌握獲勝策略。數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)除以3，余數(shù)是2或1或0。余數(shù)為0時(shí)，后報(bào)者必勝；余數(shù)為1或2時(shí)，先報(bào)完余數(shù)者，獲勝。正如天津特級(jí)教師張菁所說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)