無窮等比數(shù)列的各項和

1、7.8（1）無窮等比數(shù)列的各項和（1）第一課時一、教學(xué)內(nèi)容分析本小節(jié)的重點是無窮等比數(shù)列的各項和公式及簡單應(yīng)用教材在前面已經(jīng)介紹了等比數(shù)列的前n項和與極限的概念，利用極限不難將“等比數(shù)列的有限求和”轉(zhuǎn)化為“等比數(shù)列的無限項求和”教材這樣處理，既符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，又讓學(xué)生深刻體會從有限認(rèn)識無限、從已知認(rèn)識未知、從近似認(rèn)識精確的極限思想，能充分調(diào)動學(xué)生的求知欲望，開擴(kuò)學(xué)生思路，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣本小節(jié)的難點是正確理解無窮等比數(shù)列的各項和的定義突破難點的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)問題情景，利用對問題的分析，得出定義，推導(dǎo)出無窮等比數(shù)列的的各項和的公式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識的興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維創(chuàng)新，在不斷探索中發(fā)現(xiàn)

2、問題、解決問題二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計1理解無窮等比數(shù)列的各項和的定義；2掌握無窮等比數(shù)列的各項和的公式，會應(yīng)用公式求無窮等比數(shù)列的各項和；3理解無限個數(shù)的和與有限個數(shù)的和在意義上的區(qū)別；4通過在利用無窮等比數(shù)列的各項和的公式解決一些簡單的實際問題過程中，形成和提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.三、教學(xué)重點及難點教學(xué)重點：無窮等比數(shù)列的各項和的公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用. 教學(xué)難點：正確理解無窮等比數(shù)列的各項和的定義.四、教學(xué)用具準(zhǔn)備實物投影儀五、教學(xué)流程設(shè)計無窮等比數(shù)列的各項和的定義無窮等比數(shù)列的各項和公式的推導(dǎo)無窮等比數(shù)列公式的運用與深化(例題解析、鞏固練習(xí))實例引入課堂小結(jié)并布置作業(yè)六、教學(xué)過程設(shè)計 一、復(fù)習(xí)引入思考

3、下列問題：1、和1哪個數(shù)大？為什么？2、由于空氣的阻力，因此某一類鐘的鐘擺每擺動一次的弧的長度都是其上一次擺動弧的長度的95%.假設(shè)其第一次擺動弧的長度為40cm，求它在停止前所有擺動的弧的長度和.對于問題1，先讓學(xué)生進(jìn)行討論，然后展示他們的結(jié)果.引導(dǎo)學(xué)生回答以下問題：（1）如果你認(rèn)為，那么比1小多少？（2）如果你認(rèn)為，那么你能否找到一個實數(shù)a，使得成立？換一個角度來看，事實上而是首項為，公比為的無窮等比數(shù)列，它的前n項和為.于是可以把看作當(dāng)時的極限，從而.對于問題2，同樣進(jìn)行分析.對比以上兩個問題，它們有何共同特征？二、講授新課1、無窮等比數(shù)列的各項和的公式的推導(dǎo)提問：在問題1的討論中，我們

4、將看成首項為、公比為的無窮等比數(shù)列的前n項和的極限.請同學(xué)們思考，是否無窮等比數(shù)列的前n項和的極限都存在？如果它的極限存在，那么極限等于什么？指出：當(dāng)無窮等比數(shù)列的公比滿足時，其前n項和的極限才存在.當(dāng)時，無窮等比數(shù)列前項和的極限如下： （） . ，. 讓學(xué)生嘗試從上述推導(dǎo)過程中歸納出無窮等比數(shù)列的各項和的公式強(qiáng)調(diào)：只有當(dāng)無窮等比數(shù)列的公比滿足時，其前n項和的極限才存在 2、無窮等比數(shù)列的各項和的定義提問：通過剛才的討論，你能否給無窮等比數(shù)列各項和下一個定義？請用數(shù)學(xué)語言來描述一下我們把的無窮等比數(shù)列的前項的和當(dāng)時的極限叫做無窮等比數(shù)列的各項和，并用符號表示.（）.強(qiáng)調(diào)：只有當(dāng)無窮等比數(shù)列的公

5、比滿足時，其前n項和的極限才存在3、無窮等比數(shù)列各項和的應(yīng)用例1 化下列循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)：（1）； （2）.分析：設(shè)法將循環(huán)小數(shù)化成等比數(shù)列的前n項和，然后求極限.解：（1）等式右邊是首項為，公比是的無窮等比數(shù)列的各項的和，所以.（2），等式右邊是加上一個首項為，公比是的無窮等比數(shù)列的各項的和，所以.師生共同總結(jié)得出：循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的法則：1 純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：將一個循環(huán)節(jié)的數(shù)作分子，分母是999，其中9的個數(shù)是循環(huán)節(jié)數(shù)字的個數(shù)2 混循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)：將一個循環(huán)節(jié)連同不循環(huán)部分的數(shù)減去不循環(huán)部分所得的差作分子，分母是999000，其中9的個數(shù)與一個循環(huán)節(jié)的個數(shù)相同，0的個數(shù)和不循環(huán)部分的數(shù)字個數(shù)

6、相同練習(xí)：7.8（1）無窮等比數(shù)列的各項和（1）第二課時 錢森1理解無窮等比數(shù)列的各項和的定義；2掌握無窮等比數(shù)列的各項和的公式，會應(yīng)用公式求無窮等比數(shù)列的各項和；3理解無限個數(shù)的和與有限個數(shù)的和在意義上的區(qū)別；4通過在利用無窮等比數(shù)列的各項和的公式解決一些簡單的實際問題過程中，形成和提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識.教學(xué)重點：無窮等比數(shù)列的各項和的公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用. 教學(xué)難點：正確理解無窮等比數(shù)列的各項和的定義.例2（補(bǔ)充） 求下列循環(huán)小數(shù)的和 分析：把每一個循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，然后再求和 解：同例1可求得， 原式=上式表示首項為，公比為的無窮等比數(shù)列的各項和 原式=練習(xí)：求下列循環(huán)小數(shù)的和：答案：例3

7、如圖，正方形ABCD的邊長為1，聯(lián)結(jié)這個正方形各邊的中點得到一個小正方形A1B1C1D1；又聯(lián)結(jié)這個小正方形各邊的中點得到一個更小正方形A2B2C2D2；如此無限繼續(xù)下去.求所有這些正方形周長的和與面積的和分析：關(guān)鍵是求出第n個正方形的邊長與前一個正方形的邊長的關(guān)系. 解：由題意得第1個正方形的邊長，第n個正方形的邊長，.即所有正方形的邊長組成的數(shù)列為，于是所有正方形的周長組成的數(shù)列為，這是首項為4、公比為的無窮等比數(shù)列，故所有的正方形的周長之和為. 所有正方形的面積組成的數(shù)列為，這是首項為、公項為的無窮等比數(shù)列，故所有的正方形的面積之和為 .練習(xí)：.補(bǔ)充練習(xí)：（可以和作業(yè)的思考題（2）聯(lián)系講

8、解）在邊長為1的正方形ABCD中，取AD、BC中點、，得矩形；取、DC中點、，得一小矩形；再取、中點，得一小矩形；如此無限繼續(xù)下去，求所有這些矩形的面積之和所有面積組成首項為，公比為的無窮等比數(shù)列，所有這些矩形面積之和為1事實上，從作圖的過程可知，讓作圖無限下去，這些矩形面積之和正好是邊長為1的正方形的面積.三、課堂小結(jié)1. 無窮等比數(shù)列的各項和的公式：S=()；2無窮等比數(shù)列各項的和，是一個極限值，并且這個極限是可以達(dá)到的；3無窮等比數(shù)列的各項和存在是有條件的，即公比滿足；4要學(xué)會從特殊問題的解決過程中體會一般化問題的解決方法思考題：（1）正項等比數(shù)列的首項為1，前n項和為，求（2）早在公元前四世紀(jì)我國的公孫龍就有“一尺之捶，日取其半，萬事不竭”的提法，（1）請寫出此數(shù)列并求其各項的和；（2）可把此數(shù)列與哪個圖形的面積聯(lián)系起來，使此數(shù)列各項的和等于其面積和 參看小結(jié)前的補(bǔ)充練習(xí)七、教學(xué)設(shè)計說明1本節(jié)課的關(guān)鍵是讓學(xué)生體會到：無窮多個數(shù)相加時，加法法則不再適用求無窮多個數(shù)的和實際上是求一個極限（并且這個極限可以達(dá)到）一個無窮等比數(shù)列的各項和存在的關(guān)鍵是該數(shù)列的前n項和的極限存在所以，在新課引入時，利用課本的問題2讓學(xué)