全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試題及答案

1、二一五年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽甘肅賽區(qū)預(yù)賽試卷標(biāo)準(zhǔn)答案一、填空題（共10小題，每小題7分，滿分70分）1已知的外接圓半徑為R，且（其中a、b分別是、的對(duì)邊）. 那么的大小為_.答案：452集合, 則的取值范圍是_答案：.3被8除所得的余數(shù)是_.答案：54在數(shù)列中，對(duì)所有的正整數(shù)n都有，則 .答案：-105如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.則二面角PBDA的大小為_答案：60.6設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，A是雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，,原點(diǎn)O到直線的距離為,則雙曲線的離心率為 .答案：7已知兩個(gè)互相垂直的單位向量，且,則對(duì)任

2、意的正實(shí)數(shù)t，的最小值是_.答案：8若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為_.答案：9設(shè)，是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是 .答案：10設(shè)是定義在整數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件：；對(duì)任意的都有，則=_.答案：-1二、解答題（共5小題，滿分80分）11（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)2sin2(x)cos 2x.（）求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（）若f(x)m2在x0，上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：（）f(x)1cos(2x)cos 2x(sin 2xcos 2x)12sin(2x)1，f(x)的最小正周期T，由2k2x2k，kZ可得kxk，kZ，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k，k

3、(kZ)7分（）x0，2x，sin(2x)1，當(dāng)sin(2x)時(shí)，f(x)取得最大值為1，即f(x)max1.要使f(x)m2恒成立，需f(x)maxm2，1m2，解得m1，m的取值范圍是(1，)14分12（本小題滿分14分）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的

4、各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由解(1)當(dāng)日需求量n16時(shí)，利潤y80.當(dāng)日需求量n16時(shí)，利潤y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)6分(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X607080P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為E(X)600.1700.2800.776.X的方差為D(X)(6076)20.1(7076)20.2(8076)20

5、.744.方法一花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.Y的方差為D(Y)(5576.4)20.1(6576.4)20.2(7576.4)20.16(8576.4)20.54112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)D(Y)，即購進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤波動(dòng)相對(duì)較小另外，雖然E(X)E(Y)，但兩者相差不大故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花14分方法二花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝

6、玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)550.1650.2750.16850.5476.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)E(Y)，即購進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤大于購進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花13. （本小題滿分16分）數(shù)列滿足，.（）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（）由已知可得，即，即而累加得，又8分（）由（1）知， 16分14. （本小題滿分18分）已知函數(shù) （）若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍； （）設(shè)解析：（I）5分因?yàn)樯蠟閱握{(diào)增函數(shù)，所以上恒成立.故的取值范圍是10分 （II）只需證只需證14分由（I）知上是單調(diào)增函數(shù)，又，所以18分15（本小題滿分18分）已知橢圓C:的左右焦點(diǎn)設(shè)，與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長為4的正三角形.（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）過橢圓C上任意一點(diǎn)P做橢圓C的切線與直線的垂線相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程；（）若切線MP與直線x=-2交于點(diǎn)N，求證：為定值.解析：（）依題意，2c=a=4， c=2，b=；橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為； 4分（）設(shè)，由（），設(shè)，過橢圓C上過P的切線方程為： ， 直線的斜率，則直線的斜率，于是，則直線的方程為：，即 ， 聯(lián)立，解得 x = -8， 點(diǎn)