第三章晶格振動與晶體熱力學(xué)性質(zhì)--熱容

1、第三章 晶格振動與晶體熱力學(xué)性質(zhì)3、晶格振動模式密度、晶格振動模式密度晶格振動模式密度函數(shù)的定義晶格振動模式密度函數(shù)的定義)(lim)(100 nDn 表示在表示在 間隔內(nèi)晶格振動模式的數(shù)目。間隔內(nèi)晶格振動模式的數(shù)目。constant )(q 確定了一個等頻率面，那么在等頻確定了一個等頻率面，那么在等頻在在q空間空間 可計(jì)算如下：可計(jì)算如下：.n 率面率面 和和 之間的振動模式數(shù)目為之間的振動模式數(shù)目為首先計(jì)算首先計(jì)算N個波矢代表點(diǎn)在個波矢代表點(diǎn)在q空間的分布密度空間的分布密度晶格振動模（格波）在晶格振動模（格波）在q空間分布是均勻的：空間分布是均勻的：N很大，很大，q值很密集，可認(rèn)為是準(zhǔn)連續(xù)

2、的。值很密集，可認(rèn)為是準(zhǔn)連續(xù)的。由于由于q是限定在第一布里淵區(qū)的，而第一布里淵區(qū)在是限定在第一布里淵區(qū)的，而第一布里淵區(qū)在波矢（倒格子）空間的體積（倒格子原胞體積）為波矢（倒格子）空間的體積（倒格子原胞體積）為 3*2 波矢波矢q的數(shù)目等于的數(shù)目等于N原胞（原子數(shù)）原胞（原子數(shù)） 33*22 VNN N個波矢代表點(diǎn)在個波矢代表點(diǎn)在q空間的分布密度為空間的分布密度為 32 Vn（頻率為（頻率為 .and的等頻率面間的體積）的等頻率面間的體積）dqn表示沿表示沿ds面積元法線方向上的增量，因?yàn)槊娣e元法線方向上的增量，因?yàn)閚qdqq)( )(1123dsdqVnn )12(23 qdsVn( )nq

3、dqq 得到模式密度的一般表達(dá)式得到模式密度的一般表達(dá)式 )()()(1323 qdsVnDq 知道了色散關(guān)系，便可由上式求得模式密度。知道了色散關(guān)系，便可由上式求得模式密度。對于具體的晶體，對于具體的晶體， D()的計(jì)算往往十分復(fù)雜，在的計(jì)算往往十分復(fù)雜，在一般討論中，常采用簡化的愛因斯坦模型及德拜模型。一般討論中，常采用簡化的愛因斯坦模型及德拜模型。第六節(jié)第六節(jié) 晶格振動熱容理論晶格振動熱容理論3.4.1 3.4.1 熱容理論熱容理論本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: :3.4.2 3.4.2 愛因斯坦模型愛因斯坦模型3.4.3 3.4.3 德拜模型德拜模型引入聲子概念后，研究晶格振動的熱效應(yīng)時，

4、就可等效為引入聲子概念后，研究晶格振動的熱效應(yīng)時，就可等效為研究研究3nN種聲子組成的多粒子體系，在簡諧近似下，這些聲子種聲子組成的多粒子體系，在簡諧近似下，這些聲子是相互獨(dú)立的，因而構(gòu)成近獨(dú)立子系。是相互獨(dú)立的，因而構(gòu)成近獨(dú)立子系。熱容理論熱容理論 熱容量：熱容量：一種物質(zhì)每升高一攝氏度需要的能量或每降低一一種物質(zhì)每升高一攝氏度需要的能量或每降低一攝氏度釋放的能量，被稱為該物質(zhì)的比熱或熱容量。攝氏度釋放的能量，被稱為該物質(zhì)的比熱或熱容量。定容比熱定義：定容比熱定義：VvTEC E固體的平均內(nèi)能。固體的平均內(nèi)能。本節(jié)用統(tǒng)計(jì)理論的方法，討論晶格振動的熱容理論。本節(jié)用統(tǒng)計(jì)理論的方法，討論晶格振動的

5、熱容理論。固體的內(nèi)能由兩部分組成：固體的內(nèi)能由兩部分組成： 絕緣體：絕緣體：與溫度有關(guān)的內(nèi)能是晶格振動能量。與溫度有關(guān)的內(nèi)能是晶格振動能量。金屬金屬: : 與溫度有關(guān)的內(nèi)能由兩部分組成，即晶格振動與溫度有關(guān)的內(nèi)能由兩部分組成，即晶格振動能量和價(jià)電子的運(yùn)動能量。能量和價(jià)電子的運(yùn)動能量。當(dāng)溫度不太低時，電子對比熱的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)比晶格的貢獻(xiàn)當(dāng)溫度不太低時，電子對比熱的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)比晶格的貢獻(xiàn)小，一般可以略去。本節(jié)只討論晶格振動對比熱的貢獻(xiàn)。小，一般可以略去。本節(jié)只討論晶格振動對比熱的貢獻(xiàn)。一部分內(nèi)能與溫度無關(guān)：例如，在簡諧近似下，原子在一部分內(nèi)能與溫度無關(guān)：例如，在簡諧近似下，原子在平衡位置時的相互作用勢能；平

6、衡位置時的相互作用勢能；另一部分內(nèi)能與溫度有關(guān)。對比熱有貢獻(xiàn)的是依賴溫度另一部分內(nèi)能與溫度有關(guān)。對比熱有貢獻(xiàn)的是依賴溫度的內(nèi)能。的內(nèi)能。1 1、經(jīng)典熱容理論、經(jīng)典熱容理論杜隆杜隆-帕替定律帕替定律-經(jīng)典理論缺陷經(jīng)典理論缺陷固體中的晶格振動的基本單元是諧振子。固體中的晶格振動的基本單元是諧振子。TkBTNkEB3 定容比熱定容比熱BVNkC3 若固體中有若固體中有N個原子，則有個原子，則有3N個簡諧振動模，則總的平個簡諧振動模，則總的平均能量均能量即定容比熱是一個與溫度和材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)。即定容比熱是一個與溫度和材料性質(zhì)無關(guān)的常數(shù)。根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的能量均分定理，在溫度根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的能量均

7、分定理，在溫度T時，每個自時，每個自由度的平均能量是由度的平均能量是高溫和室溫時高溫和室溫時這個理論結(jié)果與杜隆這個理論結(jié)果與杜隆-帕替在帕替在1818年由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)果符年由實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)果符合得很好；合得很好；低溫時低溫時實(shí)驗(yàn)指出實(shí)驗(yàn)指出 CV 與與 溫度溫度T有關(guān)，即比熱隨溫度降低的很快，有關(guān)，即比熱隨溫度降低的很快，當(dāng)溫度于絕對零度時，比熱也趨于零。這個事實(shí)經(jīng)典理論不當(dāng)溫度于絕對零度時，比熱也趨于零。這個事實(shí)經(jīng)典理論不能解釋。能解釋。為了解決經(jīng)典理論的缺陷，愛因斯坦發(fā)展了普朗克的量為了解決經(jīng)典理論的缺陷，愛因斯坦發(fā)展了普朗克的量子假說，第一次提出了量子的熱容量理論。子假說，第一次提出了量子

8、的熱容量理論。2、量子熱容理論、量子熱容理論簡諧振動的能量本征值是量子化的，即頻率為簡諧振動的能量本征值是量子化的，即頻率為i的的諧振子諧振子的的振動能量為：振動能量為：1()(1)2iiiEn (2)iiiEn 00iBiBnkTinnkTnneEe 其中其中代表零振動能，對比熱沒有貢獻(xiàn)，略去不計(jì)，而將代表零振動能，對比熱沒有貢獻(xiàn)，略去不計(jì)，而將Ei寫成：寫成： 21利用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論，在溫度利用玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論，在溫度T時的單個諧振子的平均能量為：時的單個諧振子的平均能量為：波爾茲曼權(quán)重波爾茲曼權(quán)重x所有量子所有量子態(tài)求和態(tài)求和00(3)nxninxnneEe 00lnnxnxnnxnn

9、ededxe 11ln11xxddxee 因此，在溫度因此，在溫度T時，頻率為時，頻率為i 的振動的平均能量為的振動的平均能量為)4(),(1)(TneEiiTkiiBi)(),(511 TkiBieTn 其中，其中，表示溫度為表示溫度為T時，振動模式為時，振動模式為i的聲子的平均數(shù)目。的聲子的平均數(shù)目。把晶體看成一個熱力學(xué)系統(tǒng)，晶體中有把晶體看成一個熱力學(xué)系統(tǒng)，晶體中有N個原子，每個原個原子，每個原子有子有3個自由度；個自由度；在簡諧近似下，各簡正坐標(biāo)在簡諧近似下，各簡正坐標(biāo)Qi(i=1,2.3N)所代表的振動所代表的振動是相互獨(dú)立的，因此因而可以認(rèn)為這些振子構(gòu)成近獨(dú)立的子是相互獨(dú)立的，因此

10、因而可以認(rèn)為這些振子構(gòu)成近獨(dú)立的子系；系；晶體有晶體有3N個正則頻率，它們的統(tǒng)計(jì)平均能量應(yīng)為：個正則頻率，它們的統(tǒng)計(jì)平均能量應(yīng)為：)()(613131 NiTkiNiiBieEE 對實(shí)際晶體，晶格振動波矢對實(shí)際晶體，晶格振動波矢q的代表點(diǎn)密集地均勻分布的代表點(diǎn)密集地均勻分布在布里淵區(qū)內(nèi)，頻率分布可以用一個積分函數(shù)表示，上式在布里淵區(qū)內(nèi)，頻率分布可以用一個積分函數(shù)表示，上式可改成積分形式計(jì)算?？筛某煞e分形式計(jì)算。)()(730NdDm 設(shè)設(shè)D()d表示角頻率在表示角頻率在和和d之間的格波數(shù)（即振之間的格波數(shù)（即振動模式的數(shù)目）而且：動模式的數(shù)目）而且：模式密度模式密度D()：單位頻率區(qū)間的格波振

11、動模式數(shù)目。又稱角單位頻率區(qū)間的格波振動模式數(shù)目。又稱角頻率的分布函數(shù)。頻率的分布函數(shù)。m：最大的角頻率，又稱截止頻率。：最大的角頻率，又稱截止頻率。 只要知道晶格的模式密度只要知道晶格的模式密度D()，就可以求出比熱，就可以求出比熱。平均能量可以寫成：平均能量可以寫成：)()(810 dDeEmBTk 比熱可寫成：比熱可寫成：)()()(91022 dDeeTkkTEcmBBTkTkBBVV 4、愛因斯坦模型、愛因斯坦模型 愛因斯坦模型的假設(shè)：愛因斯坦模型的假設(shè)：固體中的原子都以固體中的原子都以同一頻率同一頻率振動，振動能量是量子化的。振動，振動能量是量子化的。每一個原子都有三個振動自由度，

12、每個振動自由度上有一每一個原子都有三個振動自由度，每個振動自由度上有一個振子，固體中的個振子，固體中的N個原子可以看成個原子可以看成3N個頻率為個頻率為的諧振子。的諧振子。根據(jù)以上假設(shè)，晶體的平均能量為：根據(jù)以上假設(shè)，晶體的平均能量為：3311()1iBNNiik TiiEEe 31Bk TNe VECT 2231BBkTBBkTeN kk Te 3BEBN kfk T 221)( TkTkBBEBBeeTkTkf 愛因斯坦熱容函數(shù)。愛因斯坦熱容函數(shù)。則比熱可簡化為：則比熱可簡化為：)14(1322 TTEBVEEeeTNkC令一個量子的能量等于一個經(jīng)典振子的能量令一個量子的能量等于一個經(jīng)典振

13、子的能量kBT，將，將用這種方法得到的用這種方法得到的T稱為稱為愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度，記為，記為 BEk 3EBENkfT 金剛石金剛石KE1320理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較 討論討論：（：（1）在高溫時在高溫時:1,1ETEETeT 即在高溫下，即在高溫下，愛因斯坦近似過渡到經(jīng)典的杜隆帕替定律。愛因斯坦近似過渡到經(jīng)典的杜隆帕替定律。 1,EfT 22221 EEETTT 2222111EEEETTTTeeee 2221EETTee 3(15)VBCNk （2）當(dāng)溫度當(dāng)溫度T比比愛因斯坦溫度低很多時愛因斯坦溫度低很多時可以忽略比熱公式分母中的可以忽略比熱公式分母中的1 1

14、，則得到愛因斯坦模型的固體，則得到愛因斯坦模型的固體比熱為：比熱為：,1ETETe )(16313222TEBTTEBVEEEeTNkeeTNkC 3 TCV 從上式可知，比熱是隨著溫度指數(shù)下降的，從上式可知，比熱是隨著溫度指數(shù)下降的，這與很多固體這與很多固體在低溫下在低溫下 的實(shí)驗(yàn)規(guī)律不符，而是更快地趨近于零。的實(shí)驗(yàn)規(guī)律不符，而是更快地趨近于零。造成這一偏差的根源就在于愛因斯坦模型過于簡單，它忽略了造成這一偏差的根源就在于愛因斯坦模型過于簡單，它忽略了各格波對熱容貢獻(xiàn)的差異。各格波對熱容貢獻(xiàn)的差異。按照愛因斯坦溫度的定義可以按照愛因斯坦溫度的定義可以估計(jì)出愛因斯坦頻率估計(jì)出愛因斯坦頻率當(dāng)當(dāng)H

15、zkEBE1310 KE300 相當(dāng)于遠(yuǎn)紅外光頻率。相當(dāng)于遠(yuǎn)紅外光頻率。頻率為頻率為 的一個格波的平均熱振動的一個格波的平均熱振動能能 1 TkBenE )(按照上式可以繪出格波的振動能與頻率的關(guān)系曲線。按照上式可以繪出格波的振動能與頻率的關(guān)系曲線。圖中可以看出，圖中可以看出，格波的頻率越高，格波的頻率越高，熱振動能越小。熱振動能越小。愛因斯坦考慮的格波的頻率很高，愛因斯坦考慮的格波的頻率很高，其熱振動能很小，對比熱的貢獻(xiàn)本來就其熱振動能很小，對比熱的貢獻(xiàn)本來就很小，當(dāng)溫度很低時，就更微不足道了。很小，當(dāng)溫度很低時，就更微不足道了。愛因斯坦模型的單一頻率格波實(shí)際上只適愛因斯坦模型的單一頻率格波

16、實(shí)際上只適用于近似描寫格波中的光學(xué)支用于近似描寫格波中的光學(xué)支，因?yàn)楣鈱W(xué)支一，因?yàn)楣鈱W(xué)支一般頻寬很窄，因而可以用一個固體頻率描述。般頻寬很窄，因而可以用一個固體頻率描述。愛因斯坦模型實(shí)際忽略了頻率較低的聲學(xué)愛因斯坦模型實(shí)際忽略了頻率較低的聲學(xué)波對比熱的貢獻(xiàn)。波對比熱的貢獻(xiàn)。而在低溫時，聲波對比熱的貢獻(xiàn)恰恰又是而在低溫時，聲波對比熱的貢獻(xiàn)恰恰又是主要的。這就是為什么（主要的。這就是為什么（1616）式所示的比熱隨）式所示的比熱隨溫度下降比實(shí)驗(yàn)結(jié)果更快的原因。溫度下降比實(shí)驗(yàn)結(jié)果更快的原因。本質(zhì)上的原因：本質(zhì)上的原因：當(dāng)溫度一定，頻率越高的格波，其平均聲子數(shù)越少。即當(dāng)溫度一定，頻率越高的格波，其平均

17、聲子數(shù)越少。即頻率高于頻率高于 的格波被的格波被“凍結(jié)凍結(jié)”，對比熱無貢獻(xiàn)。，對比熱無貢獻(xiàn)。TkB 5、德拜模型、德拜模型德拜模型的基本假設(shè)：德拜模型的基本假設(shè)： 在三維晶體振動的能譜中忽略光學(xué)支對比熱的貢獻(xiàn)，將在三維晶體振動的能譜中忽略光學(xué)支對比熱的貢獻(xiàn)，將晶格視為連續(xù)介質(zhì)，長聲學(xué)波具有彈性波的性質(zhì)。晶格視為連續(xù)介質(zhì)，長聲學(xué)波具有彈性波的性質(zhì)。德拜引進(jìn)了一個截止頻率即德拜頻率，以滿足晶格振德拜引進(jìn)了一個截止頻率即德拜頻率，以滿足晶格振動的總自由度數(shù)（波的總數(shù)）限制條件動的總自由度數(shù)（波的總數(shù)）限制條件D 即，不考慮頻率超過德拜頻率的高能量聲子對固體比熱的貢獻(xiàn)。即，不考慮頻率超過德拜頻率的高能

18、量聲子對固體比熱的貢獻(xiàn)。 DdDN 03)(三個聲學(xué)支的色散關(guān)系簡化三個聲學(xué)支的色散關(guān)系簡化為為.)(qvqp 即一支縱波和二支偏掁方向不同的橫波的波速相等。即一支縱波和二支偏掁方向不同的橫波的波速相等。 下面我們先計(jì)算波矢下面我們先計(jì)算波矢q的頻率分布函數(shù)：的頻率分布函數(shù)：在三維波矢空間中，在三維波矢空間中，N個波矢代表點(diǎn)在個波矢代表點(diǎn)在q空間的分布密空間的分布密度是度是 32 V )17(23qdVVdn 因此，在三維波矢空間中，波矢在因此，在三維波矢空間中，波矢在到到+d兩個等頻面兩個等頻面之間的振動模式數(shù)目為之間的振動模式數(shù)目為由于波的傳播速度與波的傳播方向由于波的傳播速度與波的傳播方

19、向q無關(guān)，無關(guān)，在在q空間等頻面是空間等頻面是球面球面，選用球坐標(biāo)，所以，選用球坐標(biāo)，所以 )18(422233dqqVdVVdnq 根據(jù)上述模型，有：根據(jù)上述模型，有：dqqdqqdddVq222004sin 因此因此對于各向同性介質(zhì)中的彈性波對于各向同性介質(zhì)中的彈性波qvp，則可得頻率在，則可得頻率在-+d之間的模式數(shù)為：之間的模式數(shù)為： )19(214.232223 dvVvdqVdnpp 考慮到彈性波有三支格波，得出德拜近似的頻率分布函數(shù)考慮到彈性波有三支格波，得出德拜近似的頻率分布函數(shù)（模式密度）（模式密度）)()(2023322pvVddnD mBmBTkpTkedvVdDeE 0

20、3320)21(123)(1于是振動能量和比熱分別為：于是振動能量和比熱分別為：)()(22123022232 mBBTkTkBBpVVedeTkkvVTEC )(236312pmvVN 截止頻率可將截止頻率可將模式密度模式密度（20）式代入振動模式的數(shù)目（）式代入振動模式的數(shù)目（7）式求出，即式求出，即NdvVdDmmp32303220 )(稱截止頻率為德拜頻率稱截止頻率為德拜頻率，并記作，并記作,D 對應(yīng)對應(yīng)D是是德拜溫度德拜溫度。)(,24BDDk 它是一個待定參數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。它是一個待定參數(shù)，由實(shí)驗(yàn)確定。xTkB 德拜溫度定義為德拜溫度定義為可得可得 mxxxpBBVedxxevTV

21、kkC02433233123)( mxxpBBedxxvTVkTkE0333233123 式中積分限式中積分限)(.276312TVNTkvTkxDBpBmm )( 2519033 TxDBDedxxTTNk)()(26190243 TxxDBDedxxeTNk,DT xTkB, 在高溫極限下在高溫極限下:是小量。是小量。因此，比熱的積分函數(shù)因此，比熱的積分函數(shù)224222424)22()()1(xxxxeexexexxxx 所以，高溫比熱所以，高溫比熱 TDBVDdxxTNkC0239即高溫極限下，比熱近似等于常數(shù)即高溫極限下，比熱近似等于常數(shù)3NkB ，與愛因斯坦模型，與愛因斯坦模型的結(jié)果

22、一致，也與杜隆帕替定律相符。的結(jié)果一致，也與杜隆帕替定律相符。)(28331933BDDBNkTTNk ,DT 低溫時低溫時:則（則（27）式積分上限）式積分上限TD 可近似看作可近似看作無窮大，將被積函數(shù)按二項(xiàng)式定理展成級數(shù)無窮大，將被積函數(shù)按二項(xiàng)式定理展成級數(shù)242424111 )()()(xxxxxxeexeexexe因此因此 0040241nnxxxdxnexdxexe)( 0424321nnxxxxnexeeex40405154144 nnnnn!德拜理論與很多實(shí)驗(yàn)事實(shí)符合。而且溫度越低，近似越德拜理論與很多實(shí)驗(yàn)事實(shí)符合。而且溫度越低，近似越好。好。在低溫下容易被激發(fā)的是長聲學(xué)波振動

23、，由于波長較長，在低溫下容易被激發(fā)的是長聲學(xué)波振動，由于波長較長，晶體可看成連續(xù)介質(zhì)，因而性質(zhì)很象彈性波，這就是德拜近晶體可看成連續(xù)介質(zhì)，因而性質(zhì)很象彈性波，這就是德拜近似取得成功的原因。似取得成功的原因。)( 2951234 DBTNk 這就是著名的這就是著名的德拜德拜3T低溫比熱定律低溫比熱定律。所以所以dxexeTNkCxxDBV 0243)1(9例例1、一維單原子布喇菲格子晶格振動的頻率、一維單原子布喇菲格子晶格振動的頻率 和波矢和波矢q的關(guān)的關(guān)系為系為2sin2qam 其中其中m是原子質(zhì)量，是原子質(zhì)量，a是原子間距，是原子間距， 是原子間相互作用的力是原子間相互作用的力常數(shù)。常數(shù)。1

24、、按照、按照 和和q和關(guān)系，求出晶格比熱的表達(dá)式；和關(guān)系，求出晶格比熱的表達(dá)式；2、給出高溫、低溫極限時比熱隨溫度的變化關(guān)系。、給出高溫、低溫極限時比熱隨溫度的變化關(guān)系?；蛘撸夯蛘撸?、按照德拜模型求出晶格比熱的表達(dá)式；、按照德拜模型求出晶格比熱的表達(dá)式；4、給出高溫、低溫極限時比熱隨溫度的變化關(guān)系。、給出高溫、低溫極限時比熱隨溫度的變化關(guān)系。 ddnD )(先計(jì)算單位頻率間隔的振動模式數(shù)（模式密度），即角頻率先計(jì)算單位頻率間隔的振動模式數(shù)（模式密度），即角頻率的分布函數(shù)的分布函數(shù)(1)：晶格振動的平均能為：晶格振動的平均能為)()(110 dDeEmBTk 一維簡單格子的色散關(guān)系一維簡單格子

25、的色散關(guān)系d區(qū)間區(qū)間對應(yīng)兩個同樣大小的波矢區(qū)間對應(yīng)兩個同樣大小的波矢區(qū)間dq。2/a區(qū)間對應(yīng)區(qū)間對應(yīng)N=L/a個振動模式，個振動模式，單位波矢區(qū)間對應(yīng)有單位波矢區(qū)間對應(yīng)有L/ 2個振動個振動模式。模式。d范圍包含的模式數(shù)為范圍包含的模式數(shù)為 dqLLdqdn 22因此模式密度為因此模式密度為 ddqNaddqLddnD )(由色散關(guān)系式得由色散關(guān)系式得2122412sin12cos,2cos mqaqadqqamad按色散關(guān)系按色散關(guān)系m 2max 可算出可算出 21212maxmax)( ND而頻率為而頻率為 的諧振子的平均聲子數(shù)目的諧振子的平均聲子數(shù)目11)(/ TkBen 所以所以 m

26、ax1 202m axm ax211BkTNEde m ax21 2202m axm ax211BBkTBBkTek TN kECdTe （2）高溫極限）高溫極限,1/ TkBe TkeBTkB/1/ m ax1 202m axm axm ax21,1BNkCdx BBBNkNkxdxNkC 221210212 為常數(shù)值。為常數(shù)值。低溫極限低溫極限TkTkBBee/1 deTkNkdeTkNkCTkBBTkBBBB 02max0212max2max2112max令令TkyB/ TTkNkdyeyTkNkCBByBB maxmax 4202即即C正比于溫度正比于溫度T。利用公式利用公式202 dyeyy（3）：按德拜模型計(jì)算，彈性波處理）：按德拜模型計(jì)算，彈性波處理由于由于qv 得得vLddqLddnD )(maxmax)( NDav 代入能量公式，所以代入能量公式，所以 dqLLdqdn 22m ax0m ax1BkTNEde m ax220m ax1BBkTBBkTek TN kECdTe （4）高溫極限）高溫極限,1/ TkBe TkeBTkB/1/ BBNkdNkTEC max0max低溫極限低溫極限TkTkBBee/1 m ax20m axBkTBBNkECedTk T 令令TkyB/ dyeyTk