244 弧長和扇形面積 教材詳解及典例分析

1、24.4 弧長和扇形面積【重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥】重點(diǎn)：（1）弧長和扇形面積公式，準(zhǔn)確計(jì)算弧長和扇形的面積。（2）圓錐的側(cè)面展開圖，計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積。難點(diǎn)與關(guān)鍵：（1）運(yùn)用弧長和扇形的面積公式計(jì)算比較復(fù)雜圖形的面積。（2）會(huì)計(jì)算不規(guī)則圖形（或陰影部分）的面積；（3）圓錐的側(cè)面展開圖，計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積?！疽?guī)律方法指津】 1、對于弧長公式和扇形的面積公式記憶時(shí)不要混淆：，二者除分母不同外，分子也不相同，弧長公式中是R，而扇形面積公式中是，對于扇形面積的另一個(gè)公式，要類別三角形的面積公式加以記憶；2、在計(jì)算有關(guān)元、扇形的面積即由一些規(guī)則圖形簡單組合而成的圖形面積時(shí)，要注意觀察和分析圖形，學(xué)會(huì)分

2、析和組合圖形，明確要計(jì)算的圖形面積，可以通過哪些圖形面積的和或差得到，對于弧這部分，要弄清各弧的圓心、半徑，切勿盲目地進(jìn)行計(jì)算。3、圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)以圓錐的母線為半徑，以圓錐的底面周長為弧長的扇形，求圓錐的側(cè)面積時(shí)一定要注意底面半徑與扇形半徑的區(qū)別；4、由于圓錐是一個(gè)立體圖形，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)平面圖形，解決問題時(shí)要善于“化曲為直”，要有空間想象意識。【知識詳細(xì)解讀】1、弧長公式半徑為R，圓心角為n°的弧長公式為：推導(dǎo)過程：因?yàn)?60°的圓心角所對的弧長就是圓的周長，所以1°的圓心角所對的弧長是，即，于是可得在半徑為R的圓中，n°圓心角所對的弧長

3、是1°圓心角所對的弧長的n倍，即,這樣就得到了弧長的計(jì)算公式.注意：（1）在弧長公式中，n表示“1°”的圓心角的倍數(shù)，在應(yīng)用公式計(jì)算時(shí)，“n”和“180”可不再寫單位；（2）若題目中沒有標(biāo)明精確度，可以用“”表示弧長，如弧長是等；（3）在弧長的計(jì)算公式中，已知中的任意兩個(gè)量都可以求出第三個(gè)量；（4）若圓心角的單位不全是度，如35°1225，一定要先化為“度”，如35°1225=，然后再用公式計(jì)算；2、扇形的面積（1）如果扇形的半徑為R，圓心角為，那么扇形面積的計(jì)算公式為：。（2）如果扇形所對的弧長為，扇形的半徑為R，那么扇形面積的計(jì)算公式為：。推導(dǎo)過程：

4、因?yàn)閳A面積S=R2，圓心角為1°的扇形的面積是圓的面積的，即；而圓心角為n°的扇形的面積是圓心角為1°的扇形的面積n倍，所以圓心角為n°的扇形的面積；又因?yàn)樯刃蔚幕￠L，扇形面積可以寫成，所以又得到扇形的另一個(gè)計(jì)算公式：。注意：（1）對于扇形的面積公式與三角形的面積公式有些類似，可以把扇形看成一個(gè)曲邊三角形，把弧長看作底邊，R看成高，這樣對比，便于記憶，也便于應(yīng)用，實(shí)際上，把扇形的弧分得越來越小，作經(jīng)過各分點(diǎn)的半徑，并順次連結(jié)各分點(diǎn)，得到越來越多的小三角形，那么扇形的面積就是這些小三角形面積和的極限（2）由已知半徑R和圓心角的度數(shù)求扇形的面積時(shí)，選用公式；

5、當(dāng)已知半徑R和弧長求扇形的面積時(shí)，應(yīng)選用公式。（3）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知四個(gè)量中的任意兩個(gè)，都可以求出另外兩個(gè)量。3、圓錐的有關(guān)概念圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形饒他的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形，如圖24.4-1；斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面（如圖24.4-2），無論轉(zhuǎn)到什么位置，這條斜邊都叫做圓錐的母線，另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫作圓錐的底面，圓錐的頂點(diǎn)到底面圓的距離叫做圓錐的高，圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的。 圖24.4-1 圖24.4-2圖24.4-3注意：（1）圓錐底面上任一點(diǎn)與頂點(diǎn)間的線段都是圓錐的母線，不要將母線與高混淆；（2）若圓錐的母線為a，底面半徑為r，高

6、為h，則，故已知任意兩個(gè)量，就可以求出另外一個(gè)量。4、圓錐的側(cè)面積和全面積沿著圓錐的母線，把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開得到一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，而扇形的半徑等于圓錐的母線長，如圖24.4-3所示，若圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，那么這個(gè)扇形的半徑為，扇形的弧長為，因此圓錐的側(cè)面積。（2）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱為圓錐的全面積。所以友情提示：圓錐的母線長為側(cè)面展開后扇形的半徑，要注意與圓錐底面半徑區(qū)分。【典型例題感悟】例1、一個(gè)扇形的弧長為20p 厘米，面積是240p 厘米2，則扇形的圓心角是（ ）（A）120° （B）150° （C）210° （

7、D）240°分析：設(shè)扇形的圓心角為n度，半徑為R，則解方程組得解：B金鑰匙：本題考查扇形的弧長、面積公式注意：應(yīng)熟記扇形的弧長公式、扇形的面積公式例2、如圖24.4-4，等腰直角三角形AOB的面積為S1，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的弧與以AB為直徑的半圓圍成的圖形的面積為S2，則S1與S2的關(guān)系是（ ）（A）S1S2 （B）S1S2 （C）S1S2 （D）S1S2 圖24.4-4分析：設(shè)OAa，則S1a2，弓形ACB的面積pa2a2在RtAOB中，ABa，則以AB為直徑的半圓面積為·（）2·（a）2a2則S2a2（a2a2）a2解：C金鑰匙：本題考查三角形、圓、弓形

8、的面積計(jì)算注意：弓形的面積計(jì)算方法例3、一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓周角是（ ）（A）60° （B）90° （C）120° （D）180°分析：設(shè)圓錐的母線長為a，圓心角度數(shù)為n，底面圓的半徑為r，則解此方程組，得 n180解：D點(diǎn)撥：此題考查圓錐的側(cè)面展開圖的概念注意理解圓柱、圓柱的側(cè)面展開圖的有關(guān)概念例4、如圖24.4-5，在ABCD中，AB4，AD2，BDAD，以BD為直徑的O交AB于E，交CD于F，則ABCD被O截得的陰影部分的面積為_圖24.4-5分析：連結(jié)OE、DE ADBD，且AB4，AD2， DBA30

9、76;，且BD6 BD為直徑， DEB90° DEBD·sin 30°6×3，BE6×3 SDEB×3×3 O為BD的中點(diǎn)， SBOESDEB DOBD3，DOE2×30°60°， S陰影2（SADBS扇形DOESEOB）2（×2×6·32）3p【答案】點(diǎn)撥：本題考查了勾股定理、扇形面積公式、解直角三角形等知識注意：求不規(guī)則圖形面積，往往轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差的形式例5、如圖24.4-6，這是一個(gè)由圓柱體材料加工而成的零件，它是以圓柱體的上底面為底面，在其內(nèi)部“掏取”一個(gè)與圓柱體等高的圓錐體而得到的，其底面直徑AB =，高BC =，求這個(gè)零件的表面積；（結(jié)果保留）圖24.4-6分析：這個(gè)零件由三個(gè)面組成：底面（半徑為12cm的圓）、外側(cè)面（圓柱的側(cè)面）、內(nèi)側(cè)面（圓錐的側(cè)面），所以這個(gè)零件的表面積為這三個(gè)面的和，利用相關(guān)數(shù)據(jù)