2017步步高大一輪復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)322

1、課時(shí)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值題型一用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極值問(wèn)題命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值例1設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)答案D解析由題圖可知，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)2<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(

2、x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值命題點(diǎn)2求函數(shù)的極值例2已知函數(shù)f(x)ax33x21(aR且a0)，求函數(shù)f(x)的極大值與極小值解由題設(shè)知a0，f(x)3ax26x3ax.令f(x)0得x0或.當(dāng)a>0時(shí)，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，0)0(0，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.當(dāng)a<0時(shí)，隨著x的變化，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，)(，0)0(0，)f(x)00f(x)極小值極大值f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.綜上，f(x)極大值f(0)1，f(x)極小值f1.

3、命題點(diǎn)3已知極值求參數(shù)例3(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1時(shí)有極值0，則ab_.(2)若函數(shù)f(x)x2x1在區(qū)間(，3)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(2，) B2，)C(2，) D2，)答案(1)7(2)C解析(1)由題意得f(x)3x26axb，則解得或經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a1，b3時(shí)，函數(shù)f(x)在x1處無(wú)法取得極值，而a2，b9滿足題意，故ab7.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(，3)上無(wú)極值，則當(dāng)x(，3)時(shí)，f(x)x2ax10恒成立或當(dāng)x(，3)時(shí)，f(x)x2ax10恒成立當(dāng)x(，3)時(shí)，yx的值域是2，)；當(dāng)x(，3)時(shí)，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a2；當(dāng)x(

4、，3)時(shí)，f(x)x2ax10，即ax恒成立，a.因此要使函數(shù)f(x)在(，3)上有極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2，)思維升華(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f(x)；解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；列表檢驗(yàn)f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值(1)函數(shù)y2x的極大值是_(2)設(shè)f(x)ln(1x)xax2，若f(x)在x1處取得極值，則a的值為

5、_答案(1)3(2)解析(1)y2，令y0，得x1.當(dāng)x<1時(shí)，y>0；當(dāng)x>1時(shí)，y<0.當(dāng)x1時(shí)，y取極大值3.(2)由題意知，f(x)的定義域?yàn)?1，)，且f(x)2ax1，由題意得：f(1)0，則2a2a10，得a，又當(dāng)a時(shí)，f(x)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，所以f(1)是函數(shù)f(x)的極小值，所以a.題型二用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例4已知aR，函數(shù)f(x)ln x1.(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程；(2)求f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)ln x1

6、，x(0，)，所以f(x)，x(0，)因此f(2)，即曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線斜率為.又f(2)ln 2，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(ln 2)(x2)，即x4y4ln 240.(2)因?yàn)閒(x)ln x1，所以f(x).令f(x)0，得xa.若a0，則f(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)最小值若0<a<e，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(a，e時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，e上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值ln a.若

7、ae，則當(dāng)x(0，e時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上單調(diào)遞減，所以當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值.綜上可知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上無(wú)最小值；當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為ln a；當(dāng)ae時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e上的最小值為.思維升華求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)ln xax (a&g

8、t;)，當(dāng)x(2,0)時(shí)，f(x)的最小值為1，則a的值等于()A. B. C. D1答案D解析由題意知，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)的最大值為1.令f(x)a0，得x，當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>時(shí)，f(x)<0.f(x)maxfln a11，解得a1.題型三函數(shù)極值和最值的綜合問(wèn)題例5已知函數(shù)f(x)(a>0)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為3和0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值解(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因?yàn)閑x>0，所以yf(x)的零點(diǎn)就是g(x)ax2(2

9、ab)xbc的零點(diǎn)，且f(x)與g(x)符號(hào)相同又因?yàn)閍>0，所以3<x<0時(shí)，g(x)>0，即f(x)>0，當(dāng)x<3或x>0時(shí)，g(x)<0，即f(x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3)，(0，)(2)由(1)知，x3是f(x)的極小值點(diǎn)，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因?yàn)閒(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，3)，(0，)，所以f(0)5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者，而f(5)5e5>5f(0)，所以函數(shù)f(x)

10、在區(qū)間5，)上的最大值是5e5.思維升華求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m、n1,1，則f(m)f(n)的最小值是()A13 B15C10 D15答案A解析對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)得f(x)3x22ax，由函數(shù)f(x)在x2處取得極值知f(2)0，即3×42a×20，a3.由此可得f(x)x33x24，f(x)3x26x，易知f(x)在1,0)上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)m1,1時(shí)，f(m)minf(0)4.

11、又f(x)3x26x的圖象開口向下，且對(duì)稱軸為x1，當(dāng)n1,1時(shí)，f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值為13.3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題典例(12分)已知函數(shù)f(x)ln xax (aR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值思維點(diǎn)撥(1)已知函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是求f(x)>0，f(x)<0的解區(qū)間，并注意定義域(2)先研究f(x)在1,2上的單調(diào)性，再確定最值是端點(diǎn)值還是極值(3)兩小問(wèn)中，由于解析式中含有參數(shù)a，要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論規(guī)范解答解(1)f(x)a (x>0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)a&g

12、t;0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)2分當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)a0，可得x，當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x>時(shí)，f(x)<0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.4分綜上可知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.5分(2)當(dāng)1，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.6分當(dāng)2，即0<a時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)a.7分當(dāng)1<<2，即<a<

13、1時(shí)，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)又f(2)f(1)ln 2a，所以當(dāng)<a<ln 2時(shí)，最小值是f(1)a；當(dāng)ln 2a<1時(shí)，最小值為f(2)ln 22a.11分綜上可知，當(dāng)0<a<ln 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a；當(dāng)aln 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是ln 22a.12分用導(dǎo)數(shù)法求給定區(qū)間上的函數(shù)的最值問(wèn)題一般可用以下幾步答題第一步：(求導(dǎo)數(shù))求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；第二步：(求極值)求f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和 極值；第三步：(求端點(diǎn)值)求f(x)在給定區(qū)間上的端點(diǎn)值；第四步：(求最值)將f(x)的各極值與f(x)的端點(diǎn)值進(jìn) 行比較，

14、確定f(x)的最大值與最小值；第五步：(反思)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)和解題規(guī)范溫馨提醒(1)本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)在給定區(qū)間1,2上的最值，屬常規(guī)題型(2)本題的難點(diǎn)是分類討論考生在分類時(shí)易出現(xiàn)不全面，不準(zhǔn)確的情況(3)思維不流暢，答題不規(guī)范，是解答中的突出問(wèn)題方法與技巧1如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值2求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時(shí)，對(duì)函數(shù)的極值是極大值還是極小值可不作判斷，直接與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可3當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，相應(yīng)的極值必為函數(shù)的最值4求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小失誤

15、與防范1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時(shí)要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，可使問(wèn)題直觀且有條理，減少失分的可能2求函數(shù)最值時(shí)，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，要通過(guò)認(rèn)真比較才能下結(jié)論3函數(shù)在給定閉區(qū)間上存在極值，一般要將極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較才能確定最值A(chǔ)組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘)1當(dāng)函數(shù)yx·2x取極小值時(shí)，x等于()A. BCln 2 Dln 2答案B解析令y2xx·2xln 20，x.經(jīng)驗(yàn)證，為函數(shù)yx·2x的極小值點(diǎn)2函數(shù)yln xx在x(0，e上的最大值為()Ae B1 C1 De答案C解析函數(shù)yln xx的定義域?yàn)?0，)又y1，令y0得x1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，y&

16、gt;0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，e時(shí)，y<0，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得最大值1.3設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，則函數(shù)yxf(x)的圖象可能是()答案C解析由函數(shù)f(x)在x2處取得極小值，可得f(2)0，且當(dāng)x(a，2)(a<2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，即f(x)<0；當(dāng)x(2，b)(b>2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，即f(x)>0.所以函數(shù)yxf(x)在區(qū)間(a，2)(a<2)內(nèi)的函數(shù)值為正，在區(qū)間(2，b)(2<b<0)內(nèi)的函數(shù)值為負(fù)，由此可排除選項(xiàng)A，B，D.4已知函數(shù)f(x)x3ax2

17、bxa2在x1處有極值10，則f(2)等于()A11或18 B11C18 D17或18答案C解析函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處有極值10，f(1)10，且f(1)0，即解得或而當(dāng)時(shí)，函數(shù)在x1處無(wú)極值，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.5已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,2) B(，3)(6，)C(3,6) D(，1)(2，)答案B解析f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有兩個(gè)不相等的實(shí)根4a24×3(a6)>0，即a23a18>0.a>6或a<3.6函數(shù)f(x)x23

18、x4在0,2上的最小值是_答案解析f(x)x22x3，f(x)0，x0,2，得x1.比較f(0)4，f(1)，f(2)，可知最小值為.7設(shè)aR，若函數(shù)yexax有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，1)解析yexax，yexa.函數(shù)yexax有大于零的極值點(diǎn)，則方程yexa0有大于零的解，x>0時(shí)，ex<1，aex<1.8函數(shù)f(x)x33a2xa(a>0)的極大值是正數(shù)，極小值是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是_答案(，)解析f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0得x±a，當(dāng)a<x<a時(shí)，f(x)<0，函數(shù)遞減；當(dāng)x>a

19、或x<a時(shí)，f(x)>0，函數(shù)遞增f(a)a33a3a>0且f(a)a33a3a<0，解得a>.a的取值范圍是(，)9設(shè)f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6)(1)確定a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解(1)因?yàn)閒(x)a(x5)26ln x，所以f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為y16a(68a)(x1)，由點(diǎn)(0,6)在切線上，可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x

20、>0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.當(dāng)0<x<2或x>3時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，)上為增函數(shù)；當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)由此可知f(x)在x2處取得極大值f(2)6ln 2，在x3處取得極小值f(3)26ln 3.綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,2)，(3，)，單調(diào)減區(qū)間為(2,3)，f(x)的極大值為6ln 2，極小值為26ln 3.10已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值解(1)由題意知f(x)(xk1)ex

21、.令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)隨x的變化情況如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)(2)當(dāng)k10，即k1時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)0<k1<1，即1<k<2時(shí)，f(x)在0，k1上單調(diào)遞減，在k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k11，即k2時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上，當(dāng)k1時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(0

22、)k；當(dāng)1<k<2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(1)(1k)e.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)11函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)2，對(duì)任意的xR，f(x)f(x)>1，則不等式ex·f(x)>ex1的解集是()Ax|x>0 Bx|x<0Cx|x<1或x>1 Dx|x<1或0<x<1答案A解析構(gòu)造函數(shù)g(x)ex·f(x)ex1，求導(dǎo)得到g(x)ex·f(x)ex·f(x)exexf(x)f(x)1由已知f(x)f(x)&

23、gt;1，可得到g(x)>0，所以g(x)為R上的增函數(shù)；又g(0)e0·f(0)e010，所以ex·f(x)>ex1，即g(x)>0的解集為x|x>012.若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象可能為()答案C解析根據(jù)f(x)的符號(hào)，f(x)圖象應(yīng)該是先下降后上升，最后下降，排除A、D；從適合f(x)0的點(diǎn)可以排除B.13函數(shù)f(x)x33axb(a>0)的極大值為6，極小值為2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_答案(1,1)解析令f(x)3x23a0，得x±，則f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(

24、，)(，)(，)f(x)00f(x)極大值極小值從而解得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,1)14若函數(shù)f(x)x33x在(a,6a2)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2,1)解析f(x)3x230，得x±1，且x1為函數(shù)的極小值點(diǎn)，x1為函數(shù)的極大值點(diǎn)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,6a2)上有最小值，則函數(shù)f(x)極小值點(diǎn)必在區(qū)間(a,6a2)內(nèi)，即實(shí)數(shù)a滿足a<1<6a2且f(a)a33af(1)2.解a<1<6a2，得<a<1.不等式a33af(1)2，即a33a20，即a313(a1)0，即(a1)(a2a2)0，即(a1)2(a2)0，即a2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,1)15設(shè)f(x)，其中a為正實(shí)數(shù)(1)當(dāng)a時(shí)，求f(x)的極值點(diǎn)；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍解對(duì)f(x)求導(dǎo)