第三章線性方程組的消元法和矩陣的初等變換

1、和矩陣的初等變換和矩陣的初等變換u線性方程組的消原法線性方程組的消原法u矩陣的初等變換矩陣的初等變換第一章第一章 線性方程組的消元法線性方程組的消元法第一節(jié)第一節(jié) 線性方程組的消元法線性方程組的消元法一、線性方程組的基本概念一、線性方程組的基本概念1. 1. 線性方程組的定義線性方程組的定義引例引例有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠 A1 、A2 、 A3，其年產(chǎn)量分別為40t ，20t 和 10t ，該產(chǎn)品每年有兩個用戶 B1、B2 ，其用量分別為 45t 和 25t，所所示示，如如表表的的距距離離為為到到各各用用戶戶由由各各產(chǎn)產(chǎn)地地11 ijjiCBA引例引例 有三家生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的工廠 A1 、

2、A2 、 A3，其年產(chǎn)量分別為40t ，20t 和 10t ，該產(chǎn)品每年有兩個用戶 B1、B2 ，其用量分別為 45t 和 25t ，所所示示，如如表表的的距距離離為為到到各各用用戶戶由由各各產(chǎn)產(chǎn)地地11 ijjiCBA不妨假設(shè)每噸貨物每公里的運費為 1 元 ，問各廠的產(chǎn)品如何調(diào)配才能使總運費最少？解設(shè)各廠到各用戶的產(chǎn)品數(shù)量如表 1-2依題意，3個廠的總產(chǎn)量和用戶的總用量相等：10,20,40635241 xxxxxx10,20,40635241 xxxxxx25,45654321 xxxxxx再來看總運費，由表1-1：25,45654321 xxxxxx654321367258935845x

3、xxxxxS 總運費總運費12于是，題目要解決的問題是：654321,xxxxxx如如何何選選擇擇非非負負數(shù)數(shù)使之滿足方程組 和 并使總運費最少 . mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 幾個線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知幾個線性方程聯(lián)立在一起，稱為線性方程組，若未知數(shù)的個數(shù)為數(shù)的個數(shù)為 n ，方程個數(shù)為，方程個數(shù)為 m ，則線性方程組可以寫成如，則線性方程組可以寫成如下形式下形式 ：.),2, 1(),2, 1,2, 1(個個方方程程的的常常數(shù)數(shù)項項稱稱為為第第，稱稱為為系系數(shù)數(shù)；其其中中imibnjmiaiij

4、若常數(shù)項均為若常數(shù)項均為0，則稱方程組為齊次線性方程組，則稱方程組為齊次線性方程組，否則否則 ，稱為非齊次線性方程組，稱為非齊次線性方程組 .2. 2. 線性方程組的線性組合線性方程組的線性組合線性方程的加法：線性方程的加法：將兩個線性方程11 112211,nna xa xa xb(1)21 122222nna xa xa xb(2)的左右兩邊相加得到如下的新線性方程：111211222221212nnaaxaaxaaxbb稱為原來兩個線性方程的和。線性方程乘常數(shù)將線性方程1122,nna xa xa xb兩邊同乘以已知常數(shù) ，1122.nnaxaxaxb線性方程與常數(shù)相乘，也稱為方程的數(shù)乘

5、。線性方程的線性組合將線性方程(1)和(2)分別稱兩個已知常數(shù) 再將所得的兩個方程相加，得到新方程： 12,得到一個新的線性方程：(3)11122111122222aaxaax11221 122nnnaaxbb稱為原來兩個方程(1)和(2)的一個12, 稱為這個線性方程的組合系數(shù)。將(1)和(2)看作一個線性方程組，其任意組解一定是線性組合(3)的解。對給定的兩個線性方程組(I)和(II)，如果(II)中每個方程都是(I)中方程的線性組合，就稱(II)是(I)的線性組合。線性組合，若方程組(I)和(II)互為線性組合，則稱這兩個方程組等價， 等價的線性方程組一定同解。 將方程組(I)變成方程組

6、(II)的過程稱為同解變換。例例1)1(求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 解解)(1B)1()(2B2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(3B)(4B , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx13425 221 33 422 , 00, 3,

7、 0, 4244324321xxxxxxxx134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：于是解得于是解得 33443231xxxxx.3為為任任意意取取值值其其中中x可可記記作作也也稱稱為為通通解解方方程程組組的的解解或或令令)(,3cx ,3344321 cccxxxxx.為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中c(2)小結(jié)：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為上述解方程組的方法稱為消元法消元法 2始終把方程組看作一個整體變形，用到如始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換下三種變換（1）交換方程次序；）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個

8、方程加上另一個方程的）一個方程加上另一個方程的k倍倍ij（以（以 替換替換 ）ik i定義定義1 上述三種變換均稱為線性方程組的初等變上述三種變換均稱為線性方程組的初等變換換 （以（以 替換替換 ）ik ij（ 與與 相互替換）相互替換）3上述三種變換都是可逆的上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同同解變換解變換ji)(A若若),(B)(B則則);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik )(B則則).(Ak

9、ji定理定理1線性方程組的初等變換總是把方程組變成線性方程組的初等變換總是把方程組變成同解方程組同解方程組 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考考查查方方程程組組，可可取取任任何何值值，則則全全為為、分分析析系系數(shù)數(shù)：若若）（11211101xaaam，的的方方程程組組來來解解，方方程程組組轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換成成nxx2.010111 ax），使使（，則則利利用用變變換換的的系系數(shù)數(shù)不不全全為為若若，則則方方程程組組可可以以變變成成：個個方方程程加加到到第第倍倍的的），分分別別把把第第一一個個方方程程化化簡簡：利利用用初初等等變變換換（

10、）（iaai11132 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考考查查方方程程組組分析系數(shù)分析系數(shù)）（ 1，則則方方程程組組可可以以變變成成：個個方方程程加加到到第第倍倍的的），分分別別把把第第一一個個方方程程化化簡簡：利利用用初初等等變變換換（）（iaai11132 mnmnmnnnnbxaxabxaxabxaxaxa222222211212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111考考查查方方程程組組分析系數(shù)分析系數(shù)）（ 1結(jié)結(jié)為為化化簡簡：這這樣樣方方程程組

11、組就就歸歸）（2 mnmnmnnbxaxabxaxa2222222分析系數(shù)分析系數(shù)）（ 1化化簡簡）（2化化為為階階梯梯型型方方程程組組：）（3，方方程程組組可可以以變變成成重重復(fù)復(fù)上上面面的的過過程程 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc分析系數(shù)分析系數(shù)）（ 1化化簡簡）（2化化為為階階梯梯型型方方程程組組：）（3 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc；這這時時原原方方程程組組無無解解而而有有）（.0,0I11 rrdd，分分兩兩種種情情形形：的的方方程程或或方方程程組

12、組中中根根本本沒沒有有當當）（000II1 rd 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc，分分兩兩種種情情形形：的的方方程程或或方方程程組組中中根根本本沒沒有有當當）（000II1 rd這這時時階階梯梯型型方方程程組組為為：）.inr nnnnnnnndxcdxcxcdxcxcxc2222211212111 0000012222211212111rrnrnrrrnnnnddxcxcdxcxcdxcxcxc，分分兩兩種種情情形形：的的方方程程或或方方程程組組中中根根本本沒沒有有當當）（000II1 rd這這時時階階梯梯型型方方程程組組為

13、為：）.iinr rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc11221122222111111212111，這這時時階階梯梯型型方方程程組組為為：）.iinr rnrnrrrrrrnnrrrrnnrrrrdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxcxcxc11221122222111111212111，：將將它它改改寫寫成成其其中中., 2 , 1,0ricii nrnrrrnrrrnnrrrrnnrrrrxcxcdxcxcxcdxcxcxcxcdxcxcxc11211222222111111212111，表表示示出出來來，通通過過，這

14、這樣樣我我們們可可以以把把nrrxxxxxx1121 稱稱為為，而而程程組組的的一一般般解解這這樣樣一一組組表表達達式式稱稱為為方方nrxx1 .一一組組自自由由未未知知量量定理定理2在齊次線性方程組在齊次線性方程組 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa.,那那么么它它必必有有非非零零解解，如如果果中中nm 證明：證明：顯然顯然 ，方程組在化成階梯型方程組之后，方程組在化成階梯型方程組之后 ，方程個數(shù)不會超過原方程組中方程個數(shù)方程個數(shù)不會超過原方程組中方程個數(shù) ，即，即.nmr .,，因因而而必必有有非非零零解解它它的的解解不不是是唯

15、唯一一的的知知由由nr 第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 為了簡化方程組的表達，可以省掉各個未知數(shù)，只考慮系數(shù)和常數(shù)項，把它們排成一個表，用這個表代替線性方程組，直接對這個表進行與求解線性方程組相應(yīng)的初等變換，這樣在表達上可以更加簡潔和直觀。為此，我們將引出矩陣的概念，介紹用矩陣的初等行變換將線性方程組化為階梯型方程組后求解。 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 線性方程組的解取決于的解取決于 , 2 , 1,njiaij 系數(shù)系數(shù) n,ibi21 常數(shù)項常數(shù)項一、矩陣及其初等變換一、矩陣及其初等變換 nnnnn

16、nnbaaabaaabaaa21222221111211對線性方程組的對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為 由 個數(shù)排成的 m 行 n 列矩陣的數(shù)表稱為 m 行 n 列矩陣.簡稱 矩陣. 記作定義定義 1m n111212122212nnmmmnaaaaaaaaa m n1,2,;1,2,ijaim jn mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211簡記為 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩陣矩陣nmA,.m nA這個數(shù)稱為 的元素 簡稱為元元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元

17、素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.例如 34695301是一個是一個 實矩陣實矩陣,42 2222222613i是一個是一個 復(fù)矩陣復(fù)矩陣,33 421是一個是一個 矩陣矩陣,13 9532是一個是一個 矩陣矩陣,41 4是一個是一個 矩陣矩陣.11 例如例如 2222222613i是一個是一個3 階方陣階方陣.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣 12.nAaaa 稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣 ，稱為 階nnA.nA方陣.也可記作12,nbbBb 只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量). 稱為(或）. n 00000021（3）形如 的方陣,OO不全為0注意 .000000

18、00000000000000 不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如記作記作 .,21ndiagA （4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零矩陣記作 或 .nmo om n（5）方陣 100010001nEE稱為單位矩陣（或單位陣）. 同型矩陣與矩陣相等的概念OO 1.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.全為全為1 2.兩個矩陣 為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即 ijijAaB b 和和 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則稱矩陣 相等,記作BA與與.BA 例如1214356843739和和為同型矩陣.矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置（1）定義 設(shè) 是一個 矩陣，把A的各行都變?yōu)榱?，?/p>

19、改變它們前后的順序而得到的矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為A （或AT ）即A =()ijAam n112111222212nnnnnnaaaaaaaaa線性方程組11112211211222221122nnnnmmm nnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb 稱為方程組的系數(shù)矩陣；稱為方程組的增廣矩陣。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 11121121222212nnnnnnnaaabaaabBaaab 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: ）；記記作作兩兩行行對對調(diào)調(diào)兩兩行行（對對調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記

20、記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對對應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定義定義 2等價關(guān)系的性質(zhì)：等價關(guān)系的性質(zhì)：1 AA（） 反反身身性性；C. AC,BB, A 3則則若若）傳遞性）傳遞性（等等價價，記記作作與與就就稱稱矩矩陣陣，矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等變變換換變變成成如如果果矩矩陣陣BABABA一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價一般，將具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價A.B B, A 2則則若若）對對稱稱性性（ 同理可定義矩陣的同理可定義矩陣的初等列變

21、換初等列變換(所用記號是所用記號是把把“r”換成換成“c”)初等行變換和初等列變換統(tǒng)初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的稱為矩陣的初等變換初等變換.定義定義 3例例1求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解解 ：用矩陣的初等行變換解方程組：用矩陣的初等行變換解方程組 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234

22、330635500222041211B 23252rrr 243rr 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 5 00000310003011040101B 000003100001110412114 B21rr 32rr 對對應(yīng)應(yīng)的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx方方程程組組的的解解可可記記作作或或令令,3cx 3344321cccxxxxx.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c.54行行階階梯梯形形矩矩陣陣都都稱稱為為和和矩矩陣陣BB特點：特點：（1）、可劃出）、可劃出一條階梯線，線一條階梯線，線的下方全為零；的下方全為零；5 0000031000

23、3011040101B （2）、每個臺）、每個臺階階 只有一行，只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元零元.,A nm最最簡簡形形變變換換變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形和和行行總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行對對于于任任何何矩矩陣陣 注意：注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的.1, 5的的其其它它元元素素都都是是零零列列，且且這這些些非非零零元元素素所所在在的的第第一一個個非非零零元元素素為為即