八年級(jí)(上)培優(yōu)專題二--全等三角形判別方法及應(yīng)用

1、八年級(jí)（上）培優(yōu)專題二： 全等三角形判別方法及應(yīng)用專題概說(shuō)：判定兩個(gè)三角形全等的方法一般有以下4種：1三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“SSS”）2兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“SAS”）3兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“ASA”）4兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)寫成“AAS”）而在判別兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，除了可以應(yīng)用以上4種判別方法外，還可以應(yīng)用“斜邊、直角邊”，即斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫成“HL”）也就是說(shuō)“斜邊、直角邊”是判別兩個(gè)直角三角形全等的特有的方法，它僅適用于判別兩個(gè)直角三角形全等三角形全

2、等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀匾慕窍嗟?、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起來(lái)那么我們應(yīng)該怎樣應(yīng)用三角形全等的判別方法呢？（1）條件充足時(shí)直接應(yīng)用在證明與線段或角相等的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等，而從近年的中考題來(lái)看，這類試題難度不大，證明兩個(gè)三角形的條件比較充分只要同學(xué)們認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等例1 已知：如圖1，CEAB于點(diǎn)E，BDAC于點(diǎn)D，BD、CE交于點(diǎn)O，且AO平分BAC那么圖中全等的三角形有_對(duì) 圖1（2）條件不足，

3、會(huì)增加條件用判別方法此類問(wèn)題實(shí)際是指條件開放題，即指題中沒(méi)有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ)充使三角形全等的條件解這類問(wèn)題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案例2 如圖2，已知AB=AD，1=2，要使ABCADE，還需添加的條件是（只需填一個(gè)）_ 圖2（3）條件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線用判別方法在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過(guò)添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等例3 已知：如圖3，AB=AC，1=2求證：AO平分BAC分析：要證AO平分BAC，即證BAO=

4、BCO，要證BAO=BCO，只需證BAO和BCO所在的兩個(gè)三角形全等而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可圖3（4）條件中沒(méi)有現(xiàn)成的全等三角形時(shí)，會(huì)通過(guò)構(gòu)造全等三角形用判別方法有些幾何問(wèn)題中，往往不能直接證明一對(duì)三角形全等，一般需要作輔助線來(lái)構(gòu)造全等三角形 例4 已知：如圖4，在RtABC中，ACB=90º，AC=BC，D為BC的中點(diǎn)，CEAD于E，交AB于F，連接DF求證：ADC=BDF說(shuō)明：常見(jiàn)的構(gòu)造三角形全等的方法有如下三種：涉及三角形的中線問(wèn)題時(shí)，常采用延長(zhǎng)中線一倍的方法，構(gòu)造出一對(duì)全等三角形；涉及角平分線問(wèn)題時(shí)，經(jīng)過(guò)角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線，可以得到一對(duì)全等三角形；證明

5、兩條線段的和等于第三條線段時(shí)，用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法可以構(gòu)造一對(duì)全等三角形（5）會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中用全等三角形的判別方法新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，注意培養(yǎng)同學(xué)們應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，形成解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力在近年中考出現(xiàn)的與全等三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)理念，應(yīng)當(dāng)引起同學(xué)們的重視例5 要在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無(wú)法直接度量A，B兩點(diǎn)間的距離請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一測(cè)量方案(1)畫出測(cè)量圖案(2)寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示） 圖5 (3)計(jì)算A、B的距離（寫出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示）分析：可把此題轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)三角形全等第(1)題，測(cè)量圖案如圖5所示第

6、(2)題，測(cè)量步驟：先在陸地上找到一點(diǎn)O，在AO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，并測(cè)得OC=OA，在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，并測(cè)得OD=OB，這時(shí)測(cè)得CD的長(zhǎng)為，則AB的長(zhǎng)就是第(3)題易證AOBCOD，所以AB=CD，測(cè)得CD的長(zhǎng)即可得AB的長(zhǎng)解：(1)如圖6示(2)在陸地上找到可以直接到達(dá)A、B的一點(diǎn)O，在AO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，并測(cè)得OCOA，在BO的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，并測(cè)得ODOB，這時(shí)測(cè)出CD的長(zhǎng)為，則AB的長(zhǎng)就是(3)理由：由測(cè)法可得OC=OA，OD=OB又COD=AOB，CODAOBCD=AB= 圖6評(píng)注：本題的背景是學(xué)生熟悉的，提供了一個(gè)學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，重點(diǎn)考查了學(xué)生的操作能力，培養(yǎng)了

7、學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)練習(xí)：1已知：如圖7，D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，ABFC，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE 求證：AE=CE2如圖8，在ABC中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AE上，已知ABD=ACD，BDE=CDE求證：BD=CD 3用有刻度的直尺能平分任意角嗎？下面是一種方法：如圖9所示，先在AOB的兩邊上取OP=OQ，再取PM=QN，連接PN、QM，得交點(diǎn)C，則射線OC平分AOB你能說(shuō)明道理嗎？4如圖10，ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作GEBC，角平分線BD、CF相交于點(diǎn)H，它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E、G試在圖10中找出3對(duì)全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明5已知：如圖11，點(diǎn)C、D在線段

8、AB上，PC=PD請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明所添?xiàng)l件為_，你得到的一對(duì)全等三角形是_ 6如圖12，1=2，BC=EF，那么需要補(bǔ)充一個(gè)直接條件_（寫出一個(gè)即可），才能使ABCDEF 7圖13，在ABD和ACD中，AB=AC，B=C求證：ABDACD8如圖14，直線AD與BC相交于點(diǎn)O，且AC=BD，AD=BC求證：CO=DO9已知ABC，AB=AC，E、F分別為AB和AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于G求證：EG=GF 10已知：如圖16，AB=AE，BC=ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，AFCD求證：B=E 11如圖17，某同學(xué)把一把三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小形狀完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（）(A)帶和去 (B)帶去 (C)帶去 (D)帶去 12有一專用三角形模具，損壞后，只剩下如圖18中的陰影部分，你對(duì)圖中做哪些數(shù)據(jù)度量后，就可以重新制作一塊與原模具完全一樣的模具，并說(shuō)明其中的道理 13如圖19，將兩根