立體幾何專題第8節(jié)突破立體結合三大問題-最值問題【教師版】

1、立體幾何專題高中數(shù)學教師一 .第八節(jié) 突破立體幾何三大問題-最值問題考點三最值問題典例(1)已知三棱錐 O-ABC的頂點A, B, C都在半徑為2的球面上，。是球心，/ AOB=120°,當4 AOC與 BOC的面積之和最大時，三棱錐 O-ABC的體積為()D.3(2)(2017全國卷I )如圖，圓形紙片的圓心為 O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形 ABC 的中心為 O.D, E, F為圓。上的點， DBC, ECA, 4FAB分別是以BC, CA, AB為底邊 的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以 BC, CA, AB為折痕折起 DBC, ECA, FAB, 使得D, E, F

2、重合，得到三棱錐.當 ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為.解析設球O的半徑為R, 1 O因為 序AOC +4BOC = 2R2(sin/AOC+ sin/ BOC),所以當/ AOC = / BOC = 90°時，SAAOC+ SaBOC取得最大值，此時 OAXOC, OBXOC,又 OBA OA=O, OA?平面 AOB, OB?平面 AOB,所以OC,平面AOB,由題意知R=2,所以V 三棱錐O-ABC = V 三棱錐C-OAB 11=RC -7OA OBsinZ AOB 32(2)如圖，連接OD交BC于點G,3 由題意知，ODLBC.易得OG=X3BC

3、設 OG = x,貝U BC=2>/3x, DG = 5-x,S*BC = 2X2V3xX 3x=3/3x2,故所得三棱錐的體積V=1x 3*x2Xa/ 5-x2-x2 =73x2x25-10x=V3X425x4-10x5.令 f(x) = 25x4 10x5, x 0,2,1立體幾何專題高中數(shù)學 教師“產(chǎn)?則 f (x)= 100x3-50x4,令 f' (x)>0,即 x4-2x3<0,得 0VXV2;一一 5令 f (x) v 0,得 2V XV一一5 ，則當 xe 0, 2 時，f(x)wf(2)=80,，VW /X 嬋=4質所求三棱錐的體積的最大值為4JT5

4、.答案(1)B (2)4班解題技法與體積、面積有關的最值問題的解題策略空間幾何體中的某些對象，如點、線、面，在約束條件下運動，帶動相關的線段長度、體積等發(fā)生變化, 進而就有了面積與體積的最值問題.定性分析在空間幾何體的變化過程中，通過觀察運動點的位置變化，確定其相關量的變化規(guī) 律，進而發(fā)現(xiàn)相關面積或體積的變化規(guī)律，求得其最大值或最小值士旦 立,甲一分析將所求問題轉化為某一個相關量的問題，即轉化為關于其中一個量的函數(shù)，求其最 大值或最小值的問題.根據(jù)具體情況，有函數(shù)法、不等式法、三角函數(shù)法等多種方 法可供選擇題組訓練1. (2018全國卷出)設A, B, C, D是同一個半徑為4的球的球面上四點

5、， ABC為等邊三角形且其面積為95，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A . 12V3B. 1873C. 24靠D. 54V3'3解析：選B 由等邊 ABC的面積為9m，可得343AB2= 9內，所以AB=6,所以等邊4 ABC的外接圓 的半徑為二2133AB = 2/3.設球的半徑為 R,球心到等邊 ABC的外接圓圓心的距離為d,則d=/R2-r2 =、1612 =2.所以三棱錐 D-ABC高的最大值為2 + 4=6,所以三棱錐 D-ABC體積的最大值為1X973x6 = 318 .'3.；3u2,已知正四面體 S-ABC的棱長為1,如果一個高為管的長萬體能在該正四面體內

6、任意轉動，則該長萬體的 長和寬形成的長方形白面積的最大值為 .解析：如圖，易知正四面體 S-ABC的內切球的球心 。必在高線SH上，延長AH交BC于 * 點D,則D為BC的中點，連接SD,設內切球切SD于點E,連接AO.因為H是正三角形ABC|2立體幾何專題高中數(shù)學答案:124124.的中心，所以 AH : DH=2： 1.易得RtAOAHRtA DSH,所以笑=里=3,可得OA=3OH = SO,因此SH OH DH1= 4OH,可得內切球的半徑R= OH = 4SH.因為正四面體 S-ABC的棱長為1,所以在 RtADSH中，DS =JsH2+DH2 =/4R2+ 1><坐2=

7、坐，解得R2 = T1.要滿足一個高為 坐的長方體能在該正四面體內任意轉 322246動，則長方體的體對角線長不超過正四面體內切球的直徑，設該長方體的長和寬分別為x, y,其長和寬形成的長方形的面積為 S,則4R2R *2+x2+y2,所以x2+y2<i12,所以S= xywx2? 當且僅當x=y=J| 時等號成立，即該長方體的長和寬形成的長方形的面積的最大值為4課時跟檢測1.如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形 中，給出下面四個結論：ABCD為正方形,E, F分別是PA, PD的中點，在此幾何體BE與CF異面； BE與AF異面;EF/平面PBC;其中正確結論的個數(shù)是（）B.C. 3

8、D.解析:選B畫出該幾何體，如圖.因為F分別是PA,AD,所以EF / BC, BE與CF是共面直線，故不正確；BE與AF滿足異面直線的定義,故正確;由 E, F分別是PA, PD的中點，可知 EF/AD,所以EF / BC,因為EF?平平面BCEL平面PAD.PD的中點，所以 EF/面PBC, BC?平面PBC,所以EF/平面PBC,故正確；因為 BE與PA的關系不能確定，所以不能判定平面BCEL平面PAD,故不正確.故選 B.2.如圖，在正方形 ABCD中，E, F分別是BC, CD的中點，G是EF的中點，現(xiàn)在沿 AE, AF及EF把這 個正方形折成一個空間圖形， 使B,C,D三點重合，重

9、合后的點記為 H,那么，在這個空間圖形中必有（ ）A. AG，平面 EFHB.AH，平面 EFHC. HF，平面 AEFD. HG，平面 AEF解析：選B 根據(jù)折疊前、后 AHXHE, AHXHF不變，且HE n HF = H ,AH，平面EFH, B正確；.過A只有一條直線與平面 EFH垂直，二. A不正確； AGXEF, EF ± GH , AGAGH = G,s.EFL平面HAG ,又EF?平面AEF , ,平面 HAG，平面AEF ,過點H作直線垂直于平面 / AEF,垂線一定在平面 HAG內，C不正確；由條件證不出 HGL平面AEF ,二. D不正確.故選b.中寸73.如圖

10、所示，在正三棱錐 &ABC中，/ BSC=40°, SB=2,則一動點從點 B出發(fā)，沿著三棱“錐的側面繞行一周回到點 B的最短路線的長為（）A. 2B.3C. 2mD. 3V3S解析：選C 沿SB, AB, BC將棱錐側面剪開并展開成一個平面圖形SBACB1,如圖所.個、示，則動點的最短路線為線段BBi.在ASBBi中，SB= SBi = 2, / BSBi= 120°,所以BBi =/ 2m.故選C.A 匚4.如圖，正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱長為4,點P, Q分別在底面 ABCD、棱AAi上運動，且 oPQ = 4,點M為線段PQ的中點，則線段 CiM

11、的長度的最小值為（）d B.4V3-2C. 6D. 4gAP.因為PQ = 4,點M為線段PQ的中點，所以AM=：PQ = 2解析：選B 連接AP, ACi, AM.由正方體的結構特征可得，QAL平面ABCD,所以QA±立體幾何專題高中數(shù)學教師教師立體幾何專題 高中數(shù)學故點M在以A為球心，半徑 R=2的球面上，易知 ACi = 43,所以CiM的最小值為 ACi R=4，32.5 .一只螞蟻從正方體 ABCD-AiBiCiDi的頂點A出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到頂點Ci的位置,則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路線的正視圖的是()72J7B.A.C.D.解析：選D 由

12、點A經(jīng)正方體的表面，按最短路線爬行到達頂點Ci的位置，共有6種路線(對應6種不同的展開方式).若把平面ABBiAi和平面BCCiBi展到同一個平面內，連接 ACi,則ACi是最短路線，且 ACi 會經(jīng)過BBi的中點，此時對應的正視圖為；若把平面ABCD和平面CDDiCi展到同一個平面內， 連接ACi,則ACi是最短路線，且ACi會經(jīng)過CD的中點，此時對應的正視圖為.而其他幾種展開方式對應的正視圖在 題中沒有出現(xiàn)，故選 D.6 .已知圓錐的側面展開圖是半徑為3的扇形，則該圓錐體積的最大值為 .解析：由題意得圓錐的母線長為3,設圓錐的底面半徑為 r,高為h,則h=有不,所以圓錐的體積 V=：42h

13、 = ：薩也r2 =itj9r4- r6.設 f(r)= 9r4 r6(r >0), 333則 f (r)=36r3-6r5,令 f' (r)=36r36r5=6r3(6r2) = 0,得 r=<6,所以當 0vrV6時,f (r)>0, f(r)單調遞增；當 r>46 時，f' (r)<0, f(r)單調遞減，所以 f(r)max= f(，6)= i08,所以 Vmax= 17tx 阮8=273 兀.3答案：2乖兀7 .如圖所示，在四邊形 ABCD中，AB=AD = CD=i, BD = <2, BDXCD,將四邊形 ABCD沿對角線BD折

14、 成四面體A' BCD,使平面A' BDL平面BCD,則下列結論正確的是 (填序號). .1 A' CXBD;/ BA'C=90 ;四面體 A' BCD的體積為16解析：-.BDXCD,平面 A' BDL平面 BCD,平面 A' BD n 平面 BCD=BD, CD?平面 BCD, .CD,平面 A' BD,又 A' D?平面 A' BD, .CDLA' D.AB=AD = CD = 1 , BD=/2, .A' C =/,BC = >/3,.A' B2+A，C2=BC2,.A'

15、; B±A，C,即/ BA' C=90°,故正確；四面體A' BCD的體積V=1x1x 12X 1 = 1,故正確.3 26答案：8 .某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則xy的最大值為 .解析：由三視圖知三棱錐如圖所示，底面ABC是直角三角形，ABXBC,立體幾何專題高中數(shù)學教師PA，平面 ABC, BC=2W，PA2+y2=102, (27)2+PA2 =x2,因止匕 xy=x/io2- x2- 2巾2 ¥2+128 x2= xq128 x2<X2= 64,當且僅當x2 = 128-x2,即x= 8時取等號，因此 xy

16、的最大值是64.答案：649 .已知A, B, C是球。的球面上三點，且 AB=AC=3, BC=3>/3, D為該球面上的動點，球心 O到平面 ABC的距離為球半徑的一半，則三棱錐D -ABC體積的最大值為 .解析：如圖，在 ABC中，AB=AC=3, BC = 38由余弦定理可得32 32- 3 3 21cos A= 2X3X3-2sin A = - 2 .設 ABC外接圓O'的半徑為r,則邛 =2r,得r = 3.32設球的半徑為 R,連接OO' , BO' , OB,則 R2= R 2+ 32,解得 R= 23.2由圖可知，當點 D到平面ABC的距離為3R

17、時，三棱錐D -ABC的體積最大,$ abc=；x 3X 3X* = 943,，三棱錐D -ABC體積的最大值為哼X3m274 .1010.(2019涼山*II擬)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，側面 PAD,底面 ABCD ,底面 ABCD是平行 四邊形，/ ABC = 45°, AD=AP=2, AB=DP=2>/2, E 為 CD 的中點，點 F 在線段 PB 上.(1)求證：ADXPC;(2)試確定點F的位置，使得直線 EF與平面PDC所成的角和直線 EF與平面ABCD所成的角相等.解：證明：在平彳T四邊形 ABCD中，連接AC, AB=2>/2, BC = 2,

18、 /ABC = 45。，由余弦定理得 AC2=8 + 4-2X2j2X2X cos 45 =4,AC=2,. . AC2+BC2= AB2,BCXAC.又 AD / BC, AD LAC. AD = AP=2, DP = 22, . . AD2+AP2=DP2,APXAD.又 APn AC = A, AP?平面 PAC, AC?平面 PAC, .AD,平面 FAC. PC?平面 PAC, ADXPC.(2)二,側面 PAD，底面 ABCD ,側面 PAD n 底面 ABCD = AD, PA LAD, PA?平面 PAD,PAL底面 ABCD .以A為坐標原點，以 DA, AC, AP所在直線

19、為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系 A-xyz,則 A(0,0,0), D(2,0,0), C(0,2,0), B(2,2,0), E(1,1,0), P(0,0,2),PC = (0,2 , 2), PD= ( 2,0, 2),市= (2,2, -2).設PF=0,1),則 £ =(2% 2% -2?), F(2% 2Z, 2 計 2),PB -EF =(2 計 1,2 L 1, 2 計 2),平面 ABCD 的一個法向量為 m = (0,0,1).設平面PDC的法向量為n=(x, v, z),n PC =0, 則n PD =0,2y 2z= 0,-2x-2z= 0,令 x= 1,得 n = (1T, 1).直線EF與平面PDC所成的角和此直線與平面 ABCD所成的角相等，|cos IF ,m |= |cos 3,n=3:我時，直線ef與平面PDC所成的角和直線 EF與平面ABCD所成的角相等.11. (2019 太原模擬)如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，/ BAC = 90°, AB = AC=2, 點M為A1C1的中點，點N為AB1上一動點.(1)是否存在一點