第42講空間幾何體的表面積與體積(原卷版)

1、第42講：空間幾何體的表面積與體積一、課程標(biāo)準(zhǔn)1 .利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特 征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2 .知道球、棱柱、棱錐、棱分的表面積和體枳的計(jì)算公式，能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 二、基礎(chǔ)知識(shí)回顧知識(shí)梳理1 .空間幾何體(1)多面體棱柱：有兩個(gè)而互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行由 這些面所圍成的幾何體叫棱柱.側(cè)棱與底而垂直的棱柱叫做直棱柱.底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.棱錐：有一個(gè)而是多邊形，其余各而都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些所圍成的幾何體叫棱錐.如 果棱錐的底而是

2、正多邊形，且它的頂點(diǎn)在過(guò)底而中心且與底面垂直的直線上，則這個(gè)棱錐叫做正棱錐.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底而的平面去截棱錐.底而與截面之間的部分，叫棱臺(tái).棱臺(tái)的各側(cè)棱延 長(zhǎng)后交于一點(diǎn).(2)旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)而：一條平面曲線繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.旋轉(zhuǎn)體：封閉的旋轉(zhuǎn)而圍成的幾何體.圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所闈成的幾何體叫圓柱.不 垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲而叫做圓柱的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做母線.圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫 做圓錐.圓臺(tái)：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋

3、轉(zhuǎn)軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所用 成的幾何體叫做圓臺(tái).(或用一個(gè)平行于圓錐底面的平而去截圓錐.底而與截面之間的部分，叫做圓臺(tái).) 圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)后交于一點(diǎn).球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球.經(jīng)過(guò) 球而上兩點(diǎn)的大圓劣弧的長(zhǎng)叫做球面距離.2 .柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S倡=2血1V=Sh=m;2h圓錐S也1 1 1 V=jSh=3ot2E=W 啟yjF-a圓臺(tái)S W = Il+l2）l1 V=3（S上+S下+擊| S卜）h1 , =貫行+” +門(mén)12）11直棱柱s側(cè)=6V=Sh續(xù)表面積體積正棱錐1s M=2Ch1V = 3Sh

4、正棱臺(tái)1 S«=2（C+CV=3（S 卜+S 下+y/s 卜.S下）h球S加=4版4 V=1/rR33 .幾何體的表面積4 1）棱柱、棱錐、棱分的表而枳就是各而面積之和.5 2）圓柱、圓錐、圓今的側(cè)面展開(kāi)圖分別是她、跡、耍J：它們的表面枳等于例面積與底而而積之 和.三、自主熱身、歸納總結(jié)1、已知圓錐的表面積等于12幾，其側(cè)而展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為（）3A. 1 anB. 2 anC. 3 cmD. 22、正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為4,高與斜高的夾角為30。，則該四棱錐的側(cè)面積（）32A. 32 B. 48 C. 64 D.手3、圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底而周長(zhǎng)的3倍，母

5、線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)而積為84萬(wàn)，則圓令較小底面的 半徑為（）A.6B. 7 C. 8D.94、如圖，在正三棱柱ABCAiBiC沖，已知AB=AAi = 3,點(diǎn)P在棱CCi上，則三棱錐PABAi的體積為.5、如圖，在正三棱柱ABCAiBiC】中，若各棱長(zhǎng)均為2,且M為AQ】的中點(diǎn)，則三棱錐MAB】C的體積為四、例題選講考點(diǎn)一 空間幾何體的的表面積 例1、（南京師大附中2020屆高三模擬）在梯形,488中，/ABC=% ADBC, BC=L1D=11B=2M梯形，珀8繞4D所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所用成的幾何體的表面積為（）A. 4兀 B.（4+W）兀C. 6兀 D. （5+建）兀變式1、（1

6、）正六棱柱的底而邊長(zhǎng)為4，高為6則它的外接球（正六棱柱的頂點(diǎn)都在此球而上）的表面積為 （2）已知圓柱的底而半徑為1，母線長(zhǎng)與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為.n變式 2、（1）（2019 四川瀘州一診）在梯形,位8 中，/ABC=g, ADBC, 3C=2JQ=2z18=2.將梯形,458繞,3所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲而所圍成的幾何體的表面積為（）A. （5+陋）兀B. （4+班）兀C. （5+2皿）兀D.（3+,）兀(2)(2020河南周口模擬)如圖，在三棱柱XBCHSG中，山】，底而月8C, 鋁_L8C,4i=XC=2,直 線HC與側(cè)而區(qū)力氏3所成的角為30。，則該三棱柱的側(cè)面積為(

7、)A. 4+4理B. 4+4仍C. 12D.8+4 娘變式3、(1)(江蘇省南通市西亭高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期學(xué)情調(diào)研)若圓柱的底而直徑和高都 與球的直徑相等圓柱、球的表面積分別記為S?,則有d：S2=(2)(江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期階段考試)現(xiàn)有一個(gè)橡皮泥制作的圓錐，底面 半徑為1，高為4.若將它制作成一個(gè)總體積不變的球，則該球的表面積為.方法總結(jié)：幾何體的表面積的求法(1)求表而積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平而問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的 主要出發(fā)點(diǎn).(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體

8、，先求這些柱、錐、臺(tái) 體的表而積，再通過(guò)求和或作差求得幾何體的表面積.考點(diǎn)二空間幾何體的體積例2 (1)直三棱柱ABC-A】B】Ci的各條棱長(zhǎng)均為2 E為棱CCi的中點(diǎn)，則三棱錐Ai-BiCiE的體積為.(2)在AABC中，AB=2，BC = 1.5，NABC=120。(如圖所示)，若將aABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是()9tt Itc 5tt 3tta. y b. 3 c. y D.工(3)(2019江蘇南通聯(lián)考)已知正三棱柱ASCTSG的各棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)。在棱.LG上，則三棱錐。的體積為.H變式1、（1）（江蘇價(jià)南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三階段測(cè)試）如圖正

9、四棱柱488-45孰。的體積為27,點(diǎn)£產(chǎn)分別為棱8/，GC上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)）且EF/BC,則四棱錐兒一 AEF。的體積（2）（江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三9月月考）已知長(zhǎng)方體A8C。-46G4的體積為72,則三棱錐A - BCD的體積為方法總結(jié)：本題考查空間幾何體的體積運(yùn)算.應(yīng)注意：（1）若所給定的幾何體是柱體、錐體或分體等規(guī)則幾 何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解，其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體枳.（2）若所給定的幾何體是不 規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問(wèn)題例1、（2017江蘇高考）如圖

10、，在圓柱0102內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底而及母線均相切.記圓V1柱0102的體積為V1，球O的體積為V2，則它的值是一.（2）已知四棱錐P-ABCD的底而是邊長(zhǎng)為a的正方形，所有側(cè)棱長(zhǎng)相等且等于2a，若其外接球的半徑a為R，則豆=.變式1、（甘肅蘭州一中2019屆高三調(diào)研）把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)（皮球不變形），則皮球的半徑為（）A. 10>/3 cm B.10 cm C. 10a/2 cm D. 30 cm變式2、（陜西工業(yè)大學(xué)附中2019屆高三模擬）（1）如圖，在圓柱。1。2內(nèi)有一個(gè)球O,該球

11、與圓柱的上、下Vi底面及母線均相切.記圓柱0。2的體枳為外,球。的體積為,則質(zhì)的值是.（2）已知正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為變式3、（1） 已知直三棱柱ABCAiBiC】的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球而上，若AB=3, AC=4, ABIAC, AAi = 12,則球O的半徑為（）3/1713A. 2 B. 2/10 C. yD. 3匹（2）已知A, B, C是球O的球面上三點(diǎn)，且AB=AC = 3, BC=3小,D為該球而上的動(dòng)點(diǎn)，球心O到 平面ABC的距離為球半徑的一半，求三棱錐DABC體枳的最大值.1方法總結(jié)：解決與球相關(guān)的切、接問(wèn)題的解題要領(lǐng)：（

12、1）球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解 答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截而時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì) 角而來(lái)作.（2）把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即為球的外接問(wèn)題.解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的 特點(diǎn)，即球心到多而體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.五、優(yōu)化提升與真題演練1、（2020年全國(guó)1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四 棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形而積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)而三角形的而積，則其側(cè)而三角形底邊上的高與底面正 方形的邊長(zhǎng)的比值為（）A專(zhuān)B與C與D專(zhuān)2、（2020年全國(guó)1卷）已知A,8,C為球。的球面上的三

13、個(gè)點(diǎn)，。0|為AAbC的外接圓，若。的面積為4兀，AB = BC = AC = OO,則球。的表面積為（）A. 64兀B. 48兀C. 3671D. 32兀3、（2020年全國(guó)2卷）.已知,鋁。是面積為座的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球而上.若球。的表 4面積為16兀，則。到平而.43。的距離為（）A.B. -C. 1D.正224、（2020屆江蘇省七市第二次調(diào)研考試）如圖，在體積為P的圓柱002中，以線段。2上的點(diǎn)。為項(xiàng)點(diǎn)， 上下底而為底而的兩個(gè)圓錐的體積分別為匕，匕，則與匕的值是.5、（江蘇省南通市、泰州市2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期期末）在正三棱柱"（7-4山© 中，4丸="=2 , 則三枝錐Ai-BB© 的體積為.6、（2020屆江蘇南通市.高三基地學(xué)校第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）現(xiàn)有一個(gè)半徑為3cm的實(shí)心鐵球，將其高溫 融化后鑄成一個(gè)底而圓半徑為女m的圓柱狀實(shí)心鐵器（不計(jì)損耗），則該圓柱鐵器的高為cm .7、（2019年高考天津卷）已