高二數(shù)學(xué)選修2-2111平均變化率ppt課件

1、蘇教高中數(shù)學(xué)選修蘇教高中數(shù)學(xué)選修2-22-21.1(1)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 平均變化率平均變化率* *世界充滿著變化世界充滿著變化,有些變化幾乎不為人們察覺有些變化幾乎不為人們察覺,而有而有些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼！些變化卻讓人們發(fā)出感嘆與驚呼！微積分主要與四類問題的處理相關(guān)微積分主要與四類問題的處理相關(guān):v一、已知物體運(yùn)動的路程作為時(shí)間的函數(shù)一、已知物體運(yùn)動的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物求物 體在任意時(shí)刻的速度與加速度等體在任意時(shí)刻的速度與加速度等;v二、求曲線的切線二、求曲線的切線;v三、求已知函數(shù)的最大值與最小值三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;v四、求長度、面積、體積和重心等。四、求長

2、度、面積、體積和重心等。v 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大增減、變化快慢、最大(小小)值等問題最一般、值等問題最一般、最有效的工具。最有效的工具。問題情境問題情境1法國法國 網(wǎng)站的文章稱劉翔以不可思議的速度統(tǒng)治了賽場。這網(wǎng)站的文章稱劉翔以不可思議的速度統(tǒng)治了賽場。這名名2121歲的中國人跑的幾乎比炮彈還快歲的中國人跑的幾乎比炮彈還快, ,賽道上顯示賽道上顯示12.9412.94秒的成績秒的成績已經(jīng)打破了已經(jīng)打破了12.9512.95奧運(yùn)會記錄奧運(yùn)會記錄, ,但經(jīng)驗(yàn)證他是以但經(jīng)驗(yàn)證他是以12.9112.91秒平了世界紀(jì)秒平了世界紀(jì)

3、錄，他的平均速度達(dá)到錄，他的平均速度達(dá)到8.52m/s8.52m/s。時(shí)時(shí) 間間3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高氣溫日最高氣溫3.518.633.4現(xiàn)有南京市某年現(xiàn)有南京市某年3月和月和4月某天日最高氣溫記載月某天日最高氣溫記載:問題情境問題情境2察看：察看：3月月18日到日到4月月18日與日與4月月18日到日到4月月20日的溫度日的溫度變化，用曲線圖表示為：變化，用曲線圖表示為： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注（注: 3月月18日為第一天）日為第一天） t(d)203034210203

4、0A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210問題問題1 1：“氣溫陡增是一句生活用語，它的數(shù)學(xué)意義氣溫陡增是一句生活用語，它的數(shù)學(xué)意義是什么？（形與數(shù)兩方面）是什么？（形與數(shù)兩方面）問題問題2 2：如何量化數(shù)學(xué)化曲線上升的陡峭程度？：如何量化數(shù)學(xué)化曲線上升的陡峭程度？問題情境問題情境2問題情境問題情境3某人第某人第1 1秒到第秒到第3434秒的位移時(shí)間圖象如圖所示秒的位移時(shí)間圖象如圖所示: : t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題問題1:AB1:AB段與段與BCBC

5、段哪一段位移變化的多段哪一段位移變化的多? ?問題問題2:AB2:AB段與段與BCBC段哪一段位移變化的快段哪一段位移變化的快? ?問題問題3:3:在圖形上用什么方法可直接看出哪一段位移變化的快在圖形上用什么方法可直接看出哪一段位移變化的快? ? t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210容易看出容易看出BCBC之間的曲線比之間的曲線比ABAB之間的曲線更加峻峭之間的曲線更加峻峭”, ,陡陡峭的程度反映了位移變化的快與慢峭的程度反映了位移變化的快與慢. .問題問題4:4:如何量化曲線的陡峭程度呢如何量化曲線的陡峭程度

6、呢? ?問題情境問題情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)2101.1.曲線上曲線上BCBC之間一段幾乎成了直線之間一段幾乎成了直線, ,由此聯(lián)想到如何量化直線的傾斜程度由此聯(lián)想到如何量化直線的傾斜程度. .2.2.由由B B點(diǎn)上升到點(diǎn)上升到C C點(diǎn)，必須考察點(diǎn)，必須考察yCyCyByB的大小，但僅僅注意的大小，但僅僅注意到到y(tǒng)CyCyB yB 的大小能否量化的大小能否量化BCBC段陡峭程度段陡峭程度? ?為什么？為什么？B在考察在考察yCyCyB yB 的同時(shí)必須考察的同時(shí)必須考察xCxCxB xB ，函數(shù)的

7、本質(zhì)在于，函數(shù)的本質(zhì)在于一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量一個量的改變本身就隱含著這種改變必定相對于另一個量的改變而言。的改變而言。問題情境問題情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)2103.我們用比值我們用比值 近似地量化近似地量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值為位移在區(qū)間【值為位移在區(qū)間【32，34】上的平均變化率】上的平均變化率.C CB BC CB By y- - y yx x- - x x4.分別計(jì)算位移在區(qū)間【分別計(jì)算位移在區(qū)間【1，32】 【3

8、2，34】的平均變化率】的平均變化率.問題情境問題情境3 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題問題5:5:位移的平均變化率能否反映每一時(shí)刻位移的變化率位移的平均變化率能否反映每一時(shí)刻位移的變化率? ?位移的平均變化率只能表示這一段時(shí)間里位移大致的變化情位移的平均變化率只能表示這一段時(shí)間里位移大致的變化情況況, ,但不能精確的表示每一時(shí)刻的位移變化情況但不能精確的表示每一時(shí)刻的位移變化情況. .問題情境問題情境3問題情境問題情境32030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (3

9、4, 33.4)v (m/s) t (s)210 t(s)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)s (m)210問題問題6:6:將位移曲線改成速度將位移曲線改成速度曲線曲線, ,你又能得到什么結(jié)論你又能得到什么結(jié)論? ?2121()()f xf xxx一般地一般地,函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為上的平均變化率為xy (1)曲線陡峭程度是平均變化率的曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化視覺化”(2)平均變化率是曲線陡峭程度的平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化數(shù)量化”無形不直觀無形不直觀無數(shù)不入微無數(shù)不入微(3)平均變

10、化率量化一段曲線的陡峭程度是平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的粗糙不精確的”.數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)注注(4)平均變化率公式記憶類似直線上兩點(diǎn)間的斜率公式平均變化率公式記憶類似直線上兩點(diǎn)間的斜率公式.例例1: (1)某嬰兒從出生到第某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分個月的體重變化如圖所示，試分別計(jì)算從出生到第別計(jì)算從出生到第3個月及第個月及第6個月到第個月到第12個月該嬰兒體重的個月該嬰兒體重的平均變化率。平均變化率。T(月月)W(kg)639123.56.58.611問題問題: :這兩個平均變化率的實(shí)際意義是什么這兩個平均變化率的實(shí)際意義是什么? ?數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用點(diǎn)撥

11、點(diǎn)撥: :求平均變化率關(guān)鍵有兩點(diǎn)求平均變化率關(guān)鍵有兩點(diǎn) 自變量的變化量自變量的變化量x=x2-x1x=x2-x1； 函數(shù)值的變化量函數(shù)值的變化量y=f(x2)-f(x1);y=f(x2)-f(x1);例例1: (2)水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t s后容器甲中后容器甲中水的體積水的體積 （單位：（單位： ），計(jì)算第一個），計(jì)算第一個10s內(nèi)內(nèi)V的平均變化率。的平均變化率。ttV1 . 025)(3cm甲乙問題問題: (1)負(fù)號表示什么意思負(fù)號表示什么意思?(2)平均變化率可正可負(fù)平均變化率可正可負(fù),那能否為那能否為0?請舉例說明請舉例說明. (3)0.2

12、5cm3/s能否表示能否表示10秒內(nèi)每一時(shí)刻容器甲中水的秒內(nèi)每一時(shí)刻容器甲中水的 體積體積V減少的速度減少的速度?0.25cm3/s數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用練習(xí)練習(xí)1:在經(jīng)營某種商品中在經(jīng)營某種商品中,甲乙兩人投入相同的資金甲乙兩人投入相同的資金,甲掙到甲掙到10萬元萬元,乙掙到乙掙到2萬元萬元,能否比較和評價(jià)甲能否比較和評價(jià)甲,乙兩乙兩人的經(jīng)營成果人的經(jīng)營成果?(注注:甲用甲用5年時(shí)間掙到年時(shí)間掙到10萬元萬元,乙用乙用5個月掙到個月掙到2萬元萬元)解解:甲獲利的平均變化率為甲獲利的平均變化率為 (萬元萬元/月月)10015 1206乙獲利的平均變化率為乙獲利的平均變化率為 (萬元萬元/月月) 20

13、25051265由由 ，所以乙的經(jīng)營成果好，所以乙的經(jīng)營成果好.數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用例例2:(1)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=2x+1,g(x)=2x, 分別計(jì)算在區(qū)間分別計(jì)算在區(qū)間 -3，-1，0，5上函數(shù)上函數(shù)f(x)及及g(x)的平均變化率的平均變化率.問題問題1:1:一次函數(shù)一次函數(shù)f(x)=kx+bf(x)=kx+b在區(qū)間在區(qū)間mm，nn上的平均變化率有上的平均變化率有什么特點(diǎn)什么特點(diǎn)? ?一次函數(shù)在任意區(qū)間上的平均變化率都是斜率一次函數(shù)在任意區(qū)間上的平均變化率都是斜率. .問題問題2:2:其它函數(shù)在區(qū)間其它函數(shù)在區(qū)間mm，nn上的平均變化率有什么幾何意義上的平均變化率有什么幾何意義? ?

14、數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用01mnPQ 平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義: :函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)曲線上兩點(diǎn)曲線上兩點(diǎn)P,QP,Q的連線的連線 （割線的斜率即為函數(shù)（割線的斜率即為函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間XPXP，XQ XQ 上的平均變化率上的平均變化率. .函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間m，n上的平均變化率為上的平均變化率為:( )( )f mf nkmnxy數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論例例2:(2)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x2 ,分別計(jì)算分別計(jì)算f(x) 在下列區(qū)間上的平均在下列區(qū)間上的平均 變化率：變化率： 1）1，3；2）1，2；3）1，1.1；4）1，1.001. 432.12.001數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)應(yīng)用xy13P2O平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是平均變化率量化一段曲線的陡峭程度是“粗糙不精確的粗糙不精確的”，但，但當(dāng)當(dāng)x2x1很小時(shí)，這種量化便由很小時(shí)，這種量化便由“粗糙逼近粗糙逼近“準(zhǔn)確準(zhǔn)確”.數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)理論練習(xí)練習(xí)2: 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x2 ,分別計(jì)算分別計(jì)算f(x) 在下在下 列區(qū)間上的平均變化率：列區(qū)間上的平均變化率： （1）0.9，1；（2）0.99，1；（3）0.999，1;（4）0.9999，1;1.91.991.999（1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.0011.9999數(shù)學(xué)