利用導數(shù)研究不等式問題

1、全國名校高中數(shù)學復習優(yōu)質(zhì)課時訓練專題匯編(附詳解)專題育目數(shù)及具岡用第21練利用導數(shù)研究不等式問題訓練目標(1)利用導數(shù)處理與不等式有關的題型；(2)解題步驟的規(guī)范 訓練.訓練題型(1)利用導數(shù)證明不等式；(2)利用導數(shù)解決不等式恒成立問題及存在性問題；(3)利用導數(shù)證明與數(shù)列有關的不等式.解題策略(1)構(gòu)造與所證不等式相關的函數(shù)；(2)利用導數(shù)求出函數(shù)的 單調(diào)性或者最值再證明不等式；(3 )處理恒成立問題注意參 變量分離.1.已知函數(shù) f(x) = x2 ax aln x(a R).(1)若函數(shù)f(x)在x= 1處取得極值，求a的值;x3 5X211在(1)的條件下，求證：f(x)A3 +

2、"24x+6.2.(優(yōu)質(zhì)試題 煙臺模擬)已知函數(shù)f(x) = x2 ax, g(x)= In x, h(x) = f(x)+ g(x).(1)若函數(shù)y= h(x)的單調(diào)減區(qū)間是d，1 ，求實數(shù)a的值;若f(x) ；g(x)對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.3.(優(yōu)質(zhì)試題 山西四校聯(lián)考)已知f(x) = In x x+ a+ 1.(1)若存在x (0,+ X)使得f(x) A成立，求a的取值范圍;1 1求證：在(1)的條件下，當x>1時，2X2+ ax a>xln x+2成立.14.已知函數(shù) f(x)= (2 a)ln x + -+ 2ax.x(1)當a<

3、;0時，討論f(x)的單調(diào)性;(2)若對任意的 a ( 3, 2),xi ,2 1,3，恒有(m+ In 3)a2ln 3>|f(xi)-f(x2)咸立，求實數(shù)m的取值范圍.5.(優(yōu)質(zhì)試題 福州質(zhì)檢)設函數(shù)f(x)= ex ax 1.(1)當a>0時，設函數(shù)f(x)的最小值為g(a),求證：g(a) 求證：對任意的正整數(shù)n,都有1n +1+ 2n+1 + 3n+1+ nn+1<(n+ 1)n全國名校高中數(shù)學復習優(yōu)質(zhì)課時訓練專題匯編(附詳解)xx答案精析1. (1)解f'x(= 2x-a-a，由題意可得f'(特0,解得a= 1.經(jīng)檢驗,xa= 1時f(x)在x=

4、 1處取得極值，所以a= 1.(2)證明由(1)知，f(x) = x2 x- In x,f x3 5x2令 g(x)=f(x) ( rn + 4x + 6 丿in3-3r +3x- ln x- £,由 g'x)= x2-3x+ 3-1 x- 1x - 3(x- 1) = (XxgO)，可知 g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+上是增函數(shù)，所以 g(x)司(1) = 0,所以 f(x)亠x3+ T-4x11+百成立.2.解(1)由題意可知, h(x)= x-ax+ In x(x>0),全國名校高中數(shù)學復習優(yōu)質(zhì)課時訓練專題匯編(附詳解)f1】由 h'x(v0，

5、解得 x Q, 1 丿,<1、即h(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2, 1J,二 a= 3.由題意知X2 ax目n x(x>0),In xa$ -(x>0).人In x令 Mx) = X=(x>0),X2+ In x 1則M刈= XT y= X2+ In X 1 在(0,+X上是增函數(shù)，且 x= 1 時，y= 0.當 x (0,1)時，bx)v0;當 x (1，+ X時，6刈>0,即Mx)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,+x上是增函數(shù)， 二(Kx)min =(K1) = 1,故 a勻.即實數(shù)a的取值范圍為(X, 1.3. (1)解原題即為存在x>0,使得 In x x

6、+ a+ 1 為,-a In x+ x 1,令 g(x) = In x+ x 1,.1X 1則 g x(= x+ 1 = -y令 g'x(= 0,解得 x= 1.當 0VXV1 時，g'x)vO，g(x)為減函數(shù), 當x>1時，g'x)>0, g(x)為增函數(shù),g(x)min = g(1) = 0 , a g(1) = O.故a的取值范圍是0,+)11(2)證明原不等式可化為 2 + ax- xIn x-a-2>0(x>1, a0).1 1令 G(x) = 2X2+ ax-xIn x-a-2，貝J G(1) = 0.由(1)可知 x-In x-

7、1>0,則 G'x) = x+ a-In x-1 汝一In x- 1>0, G(x)在(1,+上單調(diào)遞增, G(x)>G(1) = 0 成立,1 、+ ax - xin x- a2>0 成立,即 x2 + ax- a>x In x+ 2 成立.4.解(1)求導可得 Fx)=寧一1 + 2a=(2x-1 1令 f'x(=0,得 X1=-, X2=a，當a=- 2時，f'x)切，函數(shù)f(x)在定義域(0,+乂內(nèi)單調(diào)遞減;1 1當一2<a<0 時，在區(qū)間(0, 2), (-a，+x上 f'x)v0, f(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(

8、2，- 1)上f'x(>0，f(x)單調(diào)遞增;當a< 2時，在區(qū)間(0,1,(2 上f'x)v0, f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(一a 1上Fx)>0, f(x)單調(diào)遞增.由(1)知當a ( 3, 2)時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減,所以當 x 1,3時，f(x)max = f(1)= 1 + 2a,f(x)min = f(3) = (2 a)ln 3 + 3 +6a.問題等價于：對任意的a ( 3, 2),恒有(m+ In 3)a 2ln 3>1 + 2a(2 a)ln 3 36a 成立，即am>3-4a,2因為a<0，所以mv3a 4

9、,因為 a ( 3, 2),所以只需m珂舊一4)min ,所以實數(shù)m的取值范圍為(一乂：5.證明 (1)由a>0及f'x)= ex a可得，函數(shù)f(x)在(汽In a)上單調(diào)遞減, 在(In a,+x上單調(diào)遞增,故函數(shù) f(x)的最小值為 g(a) = f(ln a)= eln a aln a 1 = a aln a 1,則 g'a)= ln a,故當 a (0,1)時，g'a)>0;當 a (1，+ 乂時，g'a)v0,從而可知g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增, 在(1,+乂上單調(diào)遞減，且g(1)= 0,故g(a)切.由(1)可知，當a= 1時，總有f(x)= g X 1為,當且僅當x= 0時等號成立，即當x>0時，總有e=- nh，可得(注卜“1對以上各式求和可得:>x + 1.于是，可得(X+ 1)n+ 1<(ex)n+1 = e(n+ 1)x.x=n+r，可得 in+1 丿2令x+仁即X 專可得ri+1e 1<e- (n T ；x=n2,可得ri+11<e (n-2)；n+1丿'n + 1 +f、n+ 1廠<。"+e S Je 5 刀+ + e 1n”n、一 n 彳 彳一n.e (1 e) e 11 e 1,= = < <1 1e 1e