不等關(guān)系與不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標1.能用不等式(組)表示實際問題的不等關(guān)系2初步學(xué)會作差法比較兩實數(shù)的大 小.3.掌握不等式的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.自主學(xué)習(xí)戸知識梳理知識點一不等關(guān)系與不等式 1.不等關(guān)系 在現(xiàn)實生活中，不等關(guān)系主要有以下幾種類型: (1)用不等式表示常量與常量之間的不等關(guān)系，如“神舟”十號飛船的質(zhì)量大于“嫦娥”探 月器的質(zhì)量；1.4 m；(2)用不等式表示變量與常量之間的不等關(guān)系，如兒童的身高小于或等于(3)用不等式表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系，如當(dāng)x > a時，銷售收入f(x)大于成本g(x);(4)用不等式表示一組變量之間的不等關(guān)系，如購置

2、課桌的費用60X與購置椅子的費用30y的和不超過2 000元.2.不等式 (1)不等式的定義用數(shù)學(xué)符號“v”“”“w ”連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等 關(guān)系，含有這些不等號的式子叫做不等式.關(guān)于a> b和aw b的含義b”b” 不等式a> b應(yīng)讀作：“a大于或等于b”，其含義是a> b或a= b,等價于“ a不小于 即若a> b或a= b中有一個正確，則 a>b正確.不等式aw b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是av b或a= b,等價于“ a不大于 即若av b或a= b中有一個正確，則 aw b正確.知識點二比較大小的依據(jù) (1)比較實數(shù)a, b大

3、小的文字敘述 如果a b是正數(shù)，那么a>b; 如果a b等于0,那么a= b; 如果a b是負數(shù)，那么a<b,反之也成立.比較實數(shù)a, b大小的符號表示 a b > 0?a>b; a b = 0?a= b;a b<0? a<b.思考(1)x> 1 時，x2 x_0(填“>”或 “<”)(2)0/6+V2)210+ 4邁(填“>”或 “<” )答案>(2) <解析(1)x2 x= x(x 1)x> 1 時，x 1 >0, x>0, x(x 1)>0, x2 x>0.(2)(心 + V2)2

4、= 8+ 212= 8+ 4羽 < 10+ 4/3.知識點三常用的不等式的基本性質(zhì)(1)a>b?b<a(對稱性); a>b,b>c? a>c(傳遞性); a>b?a+ c>b + c(可加性); a>b,c>0? ac>bc;a>b, c<0? ac<bc;a>b, c>d? a + c>b + d;a>b>0,c>d>0? ac>bd;a>b>0?an>bn)( n N , n1;(8)a>b>0?艙丸)(n N , nA 2.重點

5、突破題型一用不等式（組）表示不等關(guān)系 例1鐵路旅行常識規(guī)定:一、隨同成人旅行，身高在1.11.4米的兒童享受半價客票（以下稱兒童票），超過1.4米的應(yīng)買全價票，每一名成人旅客可免費帶一名身高不足1.1米的兒童，超過一名時，超過的人160數(shù)應(yīng)買兒童票.十、旅客免費攜帶物品的體積和重量是每件物品的外部長、寬、高尺寸之和不得超過 厘米，桿狀物品不得超過 200厘米，重量不得超過 20千克 設(shè)身高為h（米），物品外部長、寬、高尺寸之和為 P（厘米），請用不等式表示下表中的不等關(guān) 系.文字表述身高在1.11.4米身高超過1.4米身咼不足1.1米物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米付號表示解 由題意可

6、獲取以下主要信息：（1）身高用h（米）表示，物體長、寬、高尺寸之和為P（厘米）;（2）題中要求用不等式表示不等關(guān)系.解答本題應(yīng)先理解題中所提供的不等關(guān)系，再用不等 式表示.身高在1.11.4米可表示為1.1 W hw 1.4,身高超過1.4米可表示為h > 1.4, 身高不足1.1米可表示為h < 1.1,物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米可表示為P < 160.如下表所示:文字表述身高在1.11.4米身高超過1.4米身咼不足1.1米物體長、寬、高尺寸之和不得超過160厘米符號表示1.1 W hw 1.4h> 1.4h < 1.1Pw 160跟蹤訓(xùn)練1如下圖

7、，在一個面積為350平方米的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地.倉 庫的長L大于寬 W的4倍.寫出L與W的關(guān)系.J m號I爲(wèi)5 m解由題意，得 f (L + 10 )W+ 10 尸 350, L4W,=(x2 1)2(x2 + 1)> 0.當(dāng) x= ± 時，X6+ 1 = X4+ x2;當(dāng) xM ±1 時，X6+ 1> X4+ x2.綜上所述，X6+ 1 > x4+x2,當(dāng)且僅當(dāng)x= ±1時取等號./ (5x2 + y2 + Z2) (2xy + 4x+ 2z 2) =4x2 4x+ 1 + x2 2xy+ y2 + z2 2z+ 1 =(2x

8、1)2+(X- y)2+(Z 1)2> 0, 5x2 + y2+ z2> 2xy + 4x + 2z 2,當(dāng)且僅當(dāng)x= y= 2且z= 1時取等號.跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)a> 0, b> 0,且aM b，比較aabb與abba的大小.aabb解aV=a b. b aa b當(dāng)a>b>0時,> 1,> 1, a b>0, ' b當(dāng)b> a> 0時,0<a< 1, a b< 0, (b)-b> 1,aabb1,又 aabb> 0, abba>0,. aabb>abba.題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用例

9、 3 已知 a> b> 0, c< d< 0, e< 0，求證： >a c b d證明/ c< d< 0,- c> d> 0,又 a> b> 0,-a + ( C)> b+ ( d)> 0,即 a c> b d> 0,1 10v acv h,又 ev 0,e e > a cb d跟蹤訓(xùn)練3 已知a>b, m>n, p>0，求證：napvm bp.證明/ a> b,又 p> 0, ap>bp.-ap v bp,又 m > n 即 nv m. n apv

10、m bp.易錯點忽視性質(zhì)成立的條件導(dǎo)致錯誤例4 已知1 < a b< 2且2W a + b< 4,求4a 2b的取值范圍.錯解 K a b< 2,2< a + b< 4,由+，得3 < 2a< 6,3 |< aw 3,由 + X ( 1)，得 0< 2b< 3,由X 4+3 (-2), 得 3W 4a 2b< 12.錯因分析 由上述解題過程可知，當(dāng)a = 3且b = 2時，3 w 4a 2b才取等號，而此時a b = 0, 不滿足式，因此4a 2b是不能等于3的.同理可驗證 4a 2b也不能等于12.出現(xiàn)上述錯”這一性質(zhì)是

11、單向的，用誤的原因是“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向 它來作變形，是非同解變形，因此結(jié)論是錯誤的.正解 令 a+ b= u, a b= v, 則 2< u w 4,1 w vW 2. U + Vfa + b= u,a = "T，由解得<a b=v, u vlb = . 4a 2b = 4 號2 寧 =2u + 2v u + v= u+ 3v./ 2 w u w 4,3W 3v w 6, 5w u + 3vw 10.-5 w 4a 2b w 10.誤區(qū)警示 把條件中的ab和a+b分別看做一個整體，采用整體代入法，并結(jié)合不等式的 性質(zhì)求解，可以得到正確的結(jié)論.

12、自查自糾歹當(dāng)堂檢測1.完成一項裝修工程，請木工共需付工資每人500元，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算 20 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關(guān)系式是 （）A . 5x+ 4yv 200B. 5x + 4y> 200C. 5x+ 4y= 200D. 5x+ 4yw 2002.設(shè)x<a<0,則下列不等式一定成立的是（）2 2A. x <ax<a2 2B. x >ax>aC. x2<a2<axD. x2>a2>ax3.設(shè)M = x2, N= x 1,貝y M與N的大小關(guān)系是（）B. M = NC. M<

13、; ND.與x有關(guān)x14.若x R，則石x?與2的大小關(guān)系為廠課時精練、選擇題1.已知a+ b> 0, b< 0，那么a, b, a, b的大小關(guān)系是（）A. a>b> b> aB. a> b> a>bD. a>b>- a>- b2.設(shè)0< b< a< 1,則下列不等式成立的是（）2A . ab< b < 11 1B. log2b< log-a<0C. 2b< 2a< 22D. a < ab< 13.已知a, b （0,1），記M = ab, N= a + b 1

14、,貝U M與N的大小關(guān)系是（）B. M > NC. M = ND.不確定1 14.已知四個條件：b>0> a,0>a>b,a> 0>b,a>b>0，能推出"<7成立的有（）a bb cA.->- a -a2A .若1 1a> b，且 a>b 貝y a> 0,bv 0B .若aa>b, b豐 0,則 b> 1C.若a>b，且 a+ c>b+ d,貝Uc> dD .若a>b，且 ac>bd,貝U c>d7.甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程

15、跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則誰先到教室A .甲B.乙C.同時到達D.無法判斷二、填空題&給出下列命題： a>b? ac2> bc2:a> |b|? a2> b2;a>b? a3>b3;|a|> b? a2> b2.其中正確的命題序號是9.一輛汽車原來每天行駛x km，如果該輛汽車每天行駛的路程比原來多19 km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過 2 200 km ,寫出不等式為;如果它每天行駛的路程比原來少12 km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為5.已知a, b, c滿足

16、cv bv a,且acv 0,則下列選項中不恒成立的是（）bH 0ca一 cD."arv 06.下列命題中，一定正確的是（10. 已知實數(shù) X, y滿足4w x-yw 1，- 1 w 4x- yw 5，貝U 9x 3y的取值范圍是三、解答題11. (1)若 be ad>0, bd>0,求證：一w已知a, b, m均為正數(shù)，且av b,求證:a+ m a b+ m b，12.若二次函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y對稱，且 K f(1) w 2,3< f(2) < 4,求f(3)的取值范圍.13.設(shè) f(x) = 1 + logx3, g(x) = 2logx2，其中 x

17、> 0 且 xm 1，試比較 f(x)與 g(x)的大小.當(dāng)堂檢測答案1答案 D 解析 據(jù)題意知，500X + 400yW 20 000，即 5x+ 4yW 200,故選 D.2. 答案 B 解析 / x<a<0, x2>a2.2 2x ax = x(x a)>0, -x >ax.2 2又 ax a = a(x a)>0 , - ax>a -x2>xa>a2.3. 答案 A 解析 M N= x2+ x+ 1 = (x+ 2)2 + 3> 0. M > N.2 = 2 = 21 + x2 22(1 + X2 )2(1 + X

18、2)x 1 2x一 1 一 x (x 1 2 解析 一 1 = 2- =/< 0.課時精練答案、選擇題1答案 C解析方法一 / a+ b>0, a>-b,又 bv 0, a > 0，且 |a|> |b|.方法二設(shè) a = 3, b= 2,貝U a> b>b>- a.2.答案解析設(shè)a = 3, b= 1，驗證即得A、33D錯誤；結(jié)合y= Iog2x, y= 2x的單調(diào)性得B錯誤，C正確.3.答案解析M N= ab- (a + b 1) = ab- a- b + 1 =(a- 1)(b- 1)./ a, b (0,1), a - 1 v 0, b-

19、1 v 0 M - N> 0, M > N.4. 答案 C1 1解析中，av0vb， avb，1 1b中，bv av 0, v1 a I故三個均可推得1v5. 答案 C1解析/ cv bv a，且 acv 0, . a>0, cv 0.由 a> 0,得>0,a又b>c, b>C，故A恒成立;a aba/ b< a, b a< 0,又 c< 0, > 0,故 B 恒成立;ca c/ c< a, a c>0，又 ac< 0, <0，故 D 恒成立;acb2 _2當(dāng)b 2, a 1時，b2>a2,又c&l

20、t; 0, -< ，故C不恒成立.故選 C. c c6. 答案 A 解析對于 A，一1 >b, -bar>0, 又 a> b, b av 0, / abv 0, / a>0, b< 0，故 A 正確;對于B，當(dāng)a>0, b< 0時，有b< 1，故B錯;對于C，當(dāng)a = 10, b = 2時，有10+ 1> 2+3,但 1 < 3,故 C 錯;對于D，當(dāng)a = 1, b= 2時,有(1)X ( 1)> ( 2) X 3，但1 < 3,故 D 錯.故選 A.7. 答案 B解析設(shè)路程為S,步行速度V1,跑步速度V2,則1

21、1甲用時1s 1st1 = +,V1 V2乙用時S+ S 2Sp2Vi 2V2 Vi+ V22ViV2Vi + V2_(V1 + v2 2 4viv2- 2ViV2(Vi + V2 )2 C=(v1v2)S >0 2V1VV1 + V2 )甲用時多.二、填空題 &答案 解析當(dāng)c2 = 0時不成立.一定成立.當(dāng)a > b時，當(dāng)bv 0時,a b' = (a b)( + ab+ b)= (a b) 'G*+>0 成立.不一定成立如：|2|> 3,但 22v ( 3)2.9.答案 8(x + 19) > 2 200解析由題意知，汽車原來每天行駛

22、x km,8天內(nèi)它的行程超過 2 200 km ,則8(x + 19) >2 200.8x若每天行駛的路程比原來少12 km，則原來行駛8天的路程就要用9天多，即x2> 9.10.答案6,9解析 設(shè) 9x 3y= a(x y)+ b(4x y) = (a+ 4b)x (a + b)y,F + 4b= 9,la + b= 3,F=1,Lb= 2, 9x 3y= (x y) + 2(4x y), / K 4x yw 5, 2< 2(4x y)< 10, 又一4< x yw 1, 6w 9x 3yw 9.三、解答題11解(1)方法一/ bc ad>0, bc > ad.bd > O'