安徽省安慶市安慶一中、安師大附中、銅陵一中2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文(含解析)

1、安徽省安慶市安慶一中、安師大附中、銅陵一中 2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文一、選擇題：本大題共 12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集 U R ,集合 A x|=0 , B x|0 x 2,則 eUA UB () x 1A. 1,2)B. (0,3C. 1,3)D. 0,2【答案】B【解析】【分析】先由分式不等式的解法求出集合A,再由集合并集的運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題得集合A x|x 1或x 3,所以O(shè)jA x|1 x 3,又集合B x|0 x 2,所以 eU AB x|0 x 3.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了

2、補(bǔ)集及集合的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題., -12.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z - 1 (1 i),則|z| () iA. 5B. 2C. , 3D. 1【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得：z 2i ,再由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可得解.1【詳解】解：因?yàn)?z 一 1 (1 i), i21-i1 i22所以 z (1 i) - 2i ,ii i即 |z| 2.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題3.已知2016-2018年文科數(shù)學(xué)全國(guó)H卷中各模塊所占分值百分比大致如圖所示：給出下列結(jié)論：選修1-1所占分值比選修1-2??；必修分值總和大于選修分值總和；必修1分值大致為15分；選修1-1

3、的分值約占全部分值的 -.5其中正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)圖表信息的分析、成立結(jié)合百分比逐一運(yùn)算即可得解【詳解】解：對(duì)于，選修 1-1所占分值比為20%,選彳1-2所占分值比為6.8%,即選修1-1所占分值比選修1-2大；對(duì)于，必修分值總和為 66.5%,大于選修分值總和33.5%,即必修分值總和大于選修分值總和；對(duì)于，必修1分值大致為150 10%=15分；對(duì)于，選修1-1的分值約占全部分值的 坦=1 .100 5即正確的是，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)圖表信息的分析處理能力，屬基礎(chǔ)題224.設(shè)Fi, F2分別是橢圓C:0與 1(a b 0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在

4、橢圓C上，且 a bPFi| 3 PF2I，若線段PFi的中點(diǎn)恰在y軸上，則橢圓的離心率為()A. _33B.C.上2D.i2由橢圓的定義有 PFiPF22a,即 PF2a2,PFi 3a再結(jié)合題意運(yùn)算即可得解【詳解】解：由定義得PFiPF2 2a,又PFi3 PF2I ,所以 |PF2 apfi 3a因?yàn)榫€段PFi的中點(diǎn)在y軸上，。為FiF2的中點(diǎn)，由三角形中位線平行于底邊，得PFzFi 90 ,所以2a22（2c）223a，所以a2V2c ,所以e三2故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率的求法,屬中檔題5.如圖在 RtVABC 中，AB BC6,動(dòng)點(diǎn)D, E, F分別在邊BC, AC, A

5、B上，四邊形BDEF為矩形，剪去矩形BDEF后，將剩余部分繞AF所在直線旋轉(zhuǎn)一周,得到一個(gè)幾何體，則當(dāng)該幾何體的表面積最大時(shí)，BD ()A. 2B. 3C. 4D. 3、2【答案】B【解析】分析】由題意可知，將剩余部分繞 AF所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得組合體為三棱錐挖去一個(gè)棱柱，再求其表面積即可解:BD x , BF y ,其中 x, y (0,6),由題易得- -, 66所以x6,S2故選B.【點(diǎn)睛】本題考查6.已知函數(shù)f(x)A. -213時(shí)等號(hào)成立.y面積的求法，屬基礎(chǔ)題x ,則函數(shù)f xxy 36,2362 xy 36、236的圖象在x2處的切線的斜率為(C. -24D. -25由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)

6、算可得：f(x)一 2-6x2 f ,再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)f x的圖象在x2處的切線的斜率為 f由題得 f (x)6x2f (1),所以f13,所以2y 36, 2542故選A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題7.如圖，在梯形 ABCD中，CDPAB, AB 2CD , P是BC中點(diǎn)，則AP1 uuur -AD 23 uur3 DC21 uur -AD 2uuurDC3 uur 1 uur C. -DC ADD.【解析】【分析】由平面向量基本定理及線性運(yùn)算可得:uurAP1 uuir AD23 uuir 一 DC ,2得解.BCuurAP1 uur -AB21 uuu

7、r -AC 2uur i uuurDC -(ADuuirDC)1 uur -AD 23 uur -DC 2故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理,屬基礎(chǔ)題8.函數(shù) f(x) 4sin x 一30)的最小正周期是3則其圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度6后得到的函數(shù)的一條對(duì)稱軸是(A. x 4B.C.19D. x12由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為y 4sin 2x 3,再求其對(duì)稱軸方程即可【詳解】解：函數(shù)f (x) 4sin(0)的最小正周期是3 ,則函數(shù)3f (x) 4sin平移后解析式為y 4sinx -4sin 2x6334k (k Z), 92鏟Z）,當(dāng)k

8、1時(shí),19 x12A B C D的面積為（4A. 8B. 16C. 4.2D. 8 2由幾何體的三視圖可得B C 4 , AB2 ,再由斜二測(cè)畫(huà)法求面積即可得解【詳解】解：由正視圖與題意知BC4,由側(cè)視圖與題意知AB 2,所以平行四邊形ABCD 的面積為 BC AB sin454 2 I;/曰 3.得x k2故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題9 .已知某組合體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，其俯視圖的直觀圖如圖（粗線部分）所示,其中四邊形ABCD為平行四邊形，BC Px軸，。為邊AB的中點(diǎn)，則平行四邊形正規(guī)用故選C.點(diǎn)睛】本題考查了三視圖及斜二測(cè)畫(huà)法，屬基礎(chǔ)題

9、10 .一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為 2,圓錐的母線與底面的夾角為一，圓錐內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，則這4個(gè)正方體的體積為（）A. 2(、2 1)B. 8(2 2)3C. 8( .2 1)3D.8( .2 1)3【答案】C【解析】【分析】由已知可設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為即可.2xx ,貝 U =2、2、2，求出x,再利用正方體的體積公式運(yùn)算【詳解】解：圓錐的母線長(zhǎng)為2,圓錐的母線與底面夾角為一，所以，圓錐軸截面為等腰直角4三角形，底面半徑和高均為收,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x ,則 靠 22_x ,所以x-3 2(72 1), 2 1所以正方體的體積為 8( . 2 1)3.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體及正方體的體積

10、公式，屬基礎(chǔ)題2211 .已知雙曲線C：與 2y 2 1(c a 0)的右焦點(diǎn)為F ,右頂點(diǎn)為 M , A, B兩點(diǎn)在 a c a雙曲線C的右支上，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，且 AN BM .若| FN | a c ,則雙曲線C的離心率的取值范圍是()A. (1,2B. 2,)C. (1,2D.2,)【答案】C【解析】b442 22由題意運(yùn)算可得|FN | - a c,即b4 a2 C a ,運(yùn)算可得解.a (c a)b2b2【詳解】解：設(shè)N Xo,0 ,由題意可知M(a,0) , AB x軸，不妨令A(yù) c , B c, aa(其中b2 c2 a2).因?yàn)锳N,2.2b bBM ,所以 T

11、 Tc x0 c a1 ,解得c x0b4a2(c a)由題易知| FN | c x0b4a2(c a)整理得b4a2 c2 a2 ,即 c2 a2a2,即 e22，又 e 1，所以1 e 2.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線C的離心率的取值范圍的求法，屬中檔題lnx,x 0kx 1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則12 .已知函數(shù)f(x) 1,若關(guān)于x的方程f xx 2,x 0實(shí)數(shù)k的取值范圍為()9A. , 4(0,1)9C. ,I ( 2,0)(0,1)B. (, 16)(0,e)D. (,16)( 2,0)(0,e)關(guān)于x的方程f x kx 1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y f x圖象與直線y kx

12、1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，再作圖像觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得解f x的圖象與直線y kx 1有【詳解】解：作出y f x圖象，如圖所示，由題意知函數(shù)兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且直線y kx 1恒過(guò)定點(diǎn)P 0, 1P,又曲線y f x在點(diǎn)1A處的切線萬(wàn)程為y lnx0 xx0 ,將X00,1代入上式,1 ln x0X0的圖象與直線B xjx1y - 2x1所以kBPX0kxf(x)x11x1,解得X) 1 ,所以kAP1 ,結(jié)合圖象知當(dāng)01有兩個(gè)不同的交點(diǎn);1c 一、2 ,則 f (x) x1 一處的切線過(guò)點(diǎn)P ,20,1時(shí)，函數(shù)y9 結(jié)合圖象知當(dāng)41 一、,設(shè)曲線y f (x) x又曲線1代入上式,9 ,一一時(shí)，函數(shù)

13、42在點(diǎn)f x在點(diǎn)B處的切線方程為22x11x1x1,解得x123,的圖象與直線ykx1有兩個(gè)不同的1一.當(dāng)x 0時(shí)，f x lnx,則f x .設(shè)曲線y f x在點(diǎn)A %,ln %處的切線過(guò)點(diǎn) x交點(diǎn);一一1設(shè)點(diǎn)C ,0 ，則kPC 22,由圖象知當(dāng)2k 0時(shí)，方程f(x)kx1也有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為99( 2,0)4(0,1).故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上),r r r rr , r r .一13. |a | 2 , | b | 1 , a , b的夾角為60 ,則b與

14、2b的夾角為【答案】120【解析】【分析】由向量模的運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算可得|a 2br | 2,再由向量的夾角公式運(yùn)算可得解._、r r2 r 2 r r r 2,一 , , rJ , 八【詳解】解：|a2b|2| a |24ab4 | b |24 ,所以 | a2b | 2 ,r ,r r , 一、,設(shè)b與a 2b的夾角為，則cosr bb1-2又因0所以120?.【點(diǎn)睛】本題考查了兩向量的夾角，屬基礎(chǔ)題14.設(shè) X ,x y 1y滿足約束條件 2x 3y3x 2y6 0,6 0若目標(biāo)函數(shù)z x 2y的最大值與最小值分別為4013先作出不等式組表示的平面區(qū)域，再求目標(biāo)函數(shù)2y的最值即可得解.【

15、詳解】解:x , y滿足約束條件2x3x3y2y0的可行域如圖，由02x 3y3x 2y6 30,13 13x y 13x 2y得B 4, 3 ,將目標(biāo)函數(shù)化為1 z- x -,由圖可知，當(dāng)直線1 z ,x 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得取小值， 所以 22Zmin661z,一；當(dāng)直線y x 經(jīng)過(guò)點(diǎn)b1322時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值，所以zmax2,所以有M m【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，屬基礎(chǔ)題2【解析】6640131315.已知點(diǎn)P在直線l : x y 4 0上，過(guò)點(diǎn)P作圓O : x2 y2 1的切線，切點(diǎn)分別為A , B ,則當(dāng)直線ABPI時(shí)，弦AB的長(zhǎng)為.【分析】由圓的切線段長(zhǎng)的求法可得：|

16、AP| J|OP |2一|OA|2 J7 ,再由等面積法即可得解.【詳解】解：如圖連接 OA, OB, OP.由題易知，OP AB ,又AB Pl ,所以O(shè)P I,則 |OP| 喪 2衣，易知 OA AP,所以 |AP| J| OP |2|OA |2 4.,_11八由等面積法，得 2 -|OA| |AP| -| AB| |OP|,2|OA| 1Api 2包|OP| 2；22【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線問(wèn)題，屬中檔題16.在 ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, a25b2 2c2 0, A 60 ,SVABC3g，則 tan B 3：35【解析】【分析】3由余弦定理可得：b c,再由

17、三角形面積公式可得 b 3, c 4,結(jié)合正弦定理運(yùn)算即可 4得解.【詳解】解：根據(jù)余弦定理，得a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 bc（*）因?yàn)?a2 5b2 2c2 0,所以 a2 5b2 2c2.代入（*）式得 4b2 bc 3c2 0，所以（4b 3c）（b c）又 S ABC1,. “bcsin60233所以 bc 12, b 3, c 4,根據(jù)正弦定理bsin Bc /口 3，得 .a sinC sin B4，所以業(yè)sin 120 B ' cosBtan B3n5【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，及同角三角關(guān)系，屬中檔題三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)

18、程或演算步驟17.在4ABC中，角A, B,C所對(duì)的邊分別為a,b, c, b 2向(sin B sinC)(2、3 c) (a c)sin A.(1)求角B 大小；(2)若 ABC的面積為2 J3，求a c的值.【答案】(1) B (2)3(1)由正余弦定理可得:(2)由三角形的面積公式【詳解】解:由正弦定理得又B 0,(2)由題得由(1)得b2aac(1)由題sin B sin C(b c)(b)a(a c),所以B3ac一ac 42b21 -acs2ac (a c)再結(jié)Nte理可得 a得解.6,(sin B sinbc)osBbc所以8,3 ，ac(ac，即c)- 24-12,222a

19、c b 1,2ac 2(a c)sin A,所以a c 6【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理及三角形的面積公式，屬中檔題18.已知數(shù)列 4 前n項(xiàng)和Sn滿足Sn 2n 1 2 .(1)求數(shù)列 a的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn ,求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn ；log 2 an log2 an 1，、1(3)在(2)的情況下，求證：T1T2 L Tn -.2、_n*n.,【答案】(1) an 2 n N(2) Tn (3)詳見(jiàn)解析n 1(1)由數(shù)列前n項(xiàng)和及當(dāng)n 2時(shí)，an Sn Sn 1 ,求數(shù)列通項(xiàng)即可；(2)先求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可.(3)由(2)求出T1 T2L

20、Tn即可得解.【詳解】解：(1)由題得當(dāng)n 1時(shí)，a1 S1 2,當(dāng) n 2 時(shí)，an Sn Sn 1 2n 1 2n 2n,當(dāng)n 1時(shí)，a12也符合上式,所以an2n n N(2)由(1)得 bn nni log2 2log2 2 n(n 1)所以Tn1112 2 31n(n 1)(3)由(2)得 T1T2 LTn所以T1 T2LTn【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及裂項(xiàng)求和法，屬中檔題19.如圖，在四B隹P ABCD中，PA 矩形ABCD , PA AD 4 , AB 3 ,點(diǎn)E在PC 上.(1)若PD 平面ABE,證明：E是PC的中點(diǎn)；(2)當(dāng)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐 P ABE的

21、體積.【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2) 4【解析】【分析】(1)由PD 平面ABE,即PD AF .即F為PD的中點(diǎn)，故E為PC中點(diǎn);(2)由等體積法V三棱錐p abe V三棱錐E PAB運(yùn)算可得解.【詳解】解：(1)過(guò)點(diǎn)E作EF/ CD交PD于點(diǎn)F ,連接AF ,如圖所示則EF /AB ,所以F,E,B,A四點(diǎn)共面.因?yàn)镻D 平面ABE ,又AF 平面ABE ,所以PD AF .又PA AD,所以F為PD的中點(diǎn)，所以E為PC中點(diǎn).1(2)因?yàn)镋為PC中點(diǎn)，所以E到平面PAB的距離為點(diǎn)C到平面PAB的距離的一.2因?yàn)镻A 矩形ABCD , BC 平面ABCD ,所以PA BC .PAB ，又 BC

22、 AB , PAI AB A , PA 平面 PAB , AB i 平面 PAB ,所以 BC 1 平面所以點(diǎn)C到平面PAB的距離為4,所以點(diǎn)E到平面PAB的距離為2.111人V三棱錐 P ABE7三校錐 E PAB _ S>A PAB 2- 3 4 2 433 2即三棱錐P ABE的體積為4.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)及三棱錐的體積，屬中檔題20.由于往屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式大都是“刷題一講題一再刷題”的模式，效果不理想，某市一中的數(shù)學(xué)課堂教改采用了 “記題型一刷題一檢測(cè)效果”的模式，并記錄了某學(xué)生的記題型時(shí)間t (單位：h)與檢測(cè)效果y的數(shù)據(jù)如下表所示.記題型時(shí)間t/h1

23、234567檢測(cè)效果y2.93.33.64.44.85.25.9(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與t之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明(若|r| 0.75,則認(rèn)為y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，否則認(rèn)為沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系)(2)建立y關(guān)于t的回歸方程，并預(yù)測(cè)該學(xué)生記題型8h的檢測(cè)效果;(3)在該學(xué)生檢測(cè)效果不低于3.6的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求檢測(cè)效果均高于4.4的概率.參考公式：回歸直線 y bxa中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為nxixYiybxi 1x2in1yiy 4.3,yi y77.08, ti i 1tyi14, J198.24 14.08.【答案】(1) r 0.990.75,y與t有

24、很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.(2)y關(guān)于t的回歸方程為y 0.5t 2.3，預(yù)測(cè)值為36.3 (3)10【分析】(1)求出相關(guān)系數(shù)即可得解；(2)由圖表信息求出 y關(guān)于t的回歸方程;(3)先求出各種情況的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率求法，運(yùn)算即可得解一-1 2 3 4 5 6 7詳解(1)由題得t3456 7 4 ,7_ 2ti t 9 4 1 0 1 4 9 28 , i 1ti t yi yi 1r 7一 2. 7_ 2i1 t t i1 yi y14.28 7.080.99 0.75所以y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(2)由(1)可得7tiyii 1b 771ti ti 11428所以 a

25、y bf 4.3 0.5 4 2.3,所以y關(guān)于t的回歸方程為y 0.5t2.3.當(dāng) t 8 時(shí)，y 0.5 8 2.3 6.3，所以預(yù)測(cè)該學(xué)生記題型8h的檢測(cè)效果約為6.3.(3)由題知該學(xué)生檢測(cè)效果不低于3.6的數(shù)據(jù)有5個(gè)，任取2個(gè)數(shù)據(jù)有3.6,4.4 , 3.6,4.8 ,(3.6,5.2) , 3.6,5.9 , 4.4,4.8 , 4.4,5.2 ,4.4,5.9 , 4.8,5.2 , 4.8,5.9 , 5.2,5.9共10種情況，其中檢測(cè)效果均高于 4.4的有4.8,5.2 , 4.8.5.9 , 5.2.5.9 ,共3種結(jié)果,.一 、3故所求概率為一.10【點(diǎn)睛】本題考查了變

26、量間的相關(guān)性、回歸方程及古典概型，屬中檔題如 已知拋物線C: y2 2Px(p 0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B(m,2J3)在拋物線C上，A(0, J3),且 |BF | 2|AF |.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;PN的(2)過(guò)點(diǎn)P(1,2)作直線pm , PN分別交拋物線C于M , N兩點(diǎn)，若直線PM ,傾斜角互補(bǔ)，求直線 MN的斜率.【答案】(1) y2 4x (2)1【解析】【分析】(1)由拋物線的定義及兩點(diǎn)的距離公式運(yùn)算可得解；(2)由直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用斜率公式求解即可.【詳解】解：(1)由題得F -,02則 |BF | m P, |AF |3,因?yàn)锽F | 2|

27、 AF |,所以m P 2叵3,2-1 4因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線C上，所以12 2pm ,即pm 6 .聯(lián)立得p4 8p2 48 0,解得p 2或p 2 (舍去)， 所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 4x.(2)由題知直線 PM , PN的斜率存在，且不為零，且兩直線的斜率互為相反數(shù)設(shè) M oy , N X2,y2，直線 PM : y k(x 1) 2(k 0)y k(x 1) 2 y2 4x得 k2x22 k2 4k 4 x k2 4k 4 0,o2。o貝U2k 4k 4 4k (k 2)16(k 1) 0,2又點(diǎn)P在拋物線C上，所以x1k2 4k 4k同理得X2k2 4k 4k1則XiX22k2 8k2X28kyiy2xi iX2 iXiX22k2k22k8k'所以k|MNyiy2XiX28 k _8 k即直線MN的斜率為-i.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線與方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題i 222.已知函數(shù)f(x) -ax2In X(a i0)的極小值為2e(i)求f X的單調(diào)區(qū)間;2證明：f X X eX(其中2.7i828L為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【答案】(i)單調(diào)遞減區(qū)間為0,ei,單調(diào)遞增區(qū)間為e 2(2